运筹学实例 含解析 - 图文

案例1. 工程项目选择问题

某承包企业在同一时期内有八项工程可供选择投标。其中有五项住宅工程，三项工业车间。由于这些工程要求同时施工，而企业又没有能力同时承担，企业应根据自身的能力，分析这两类工程的盈利水平，作出正确的投标方案。有关数据见下表：

表1 可供选择投标工程的有关数据统计

工程类型 住宅每项 工业车间每项 企业尚有能力 试建立此问题的数学模型。

预期利润/元 50011 80 000 抹灰量/m 25 000 480 108 000 2混凝土量/ m 280 880 3 680 3砌筑量/ m 4 200 1 800 13 800 3解：

设承包商承包X1项住宅工程，X2项工业车间工程可获利最高，依题意可建立如下整数模型：

目标是获利最高，故得目标函数为

Maxz?50011X1?80000X2

根据企业工程量能力限制与项目本身特性，有约束：

X?480X?108000 2500012

280X?880X?368012 4200X?1800X?1380012 X?5， X2?3；X1，X2为整数1

利用WinSQB建立模型求解：

综上，承包商对2项住宅工程，3项车间工程进行投标，可获利最大，目标函数Max z=340022 元。

案例2. 生产计划问题

某厂生产四种产品。每种产品要经过A，B两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A工序，以 A1 ， A2表示；有三种规格的设备能完成B工序，以B1 ， B2， B3 表示。产品D可在A，B任何一种规格的设备上加工。产品E可在任何规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1设备上加工。产品F可在A2及B2 ， B3上加工。产品G可在任何一种规格的A设备上加工，但完成B工序时只能在B1 ， B2设备上加工。已知生产单件产品的设备工时，原材料费，及产品单价，各种设备有效台时如下表，要求安排最优的生产计划，使该厂利润最大？

设设 A1 A2 B1 B2 B3 原料费（元/件） 单价 （元/件） 产品 1 5 7 6 4 7 2 10 9 8 3 12 11 10 0.50 2.80 4 6 8 10 8 0.4 2.4 6011 10000 4000 7000 4000 设备有效台时

0.25 0.35 1.25 2.00 解：

设Xia(b)j为i产品在a(b)j设备上的加工数量,i=1,2,3,4;j=1,2,3，得变量列表如下： 设备 产品 1 A1 A2 B1 B2 B3 X1a1 X1a2 X1b1 X1b2 X1b3 2 X2a1 X2a2 X2b1 X3b2 X3b3 3 X3a1 X3a2 X3b1 X3b2 X3b3 4 X4a1 X4a2 X4b1 X4b2 X4b3 6011 10000 4000 7000 4000 设备有效台时Ta(b)j

原料费Ci（元/件） 0.25 1.25 单价Pi（元/件） 0.35 2.00 0.50 2.80 0.4 2.4 其中，令X3a1，X3b1，X3b2，X3b3，X4b3=0 可建立数学模型如下： 目标函数: Maxz??[?Xiaj*(Pi?Ci)]

i?1j?142=1.00*（X1a1+X1a2）+1.65*（X2a1+X2a2）+2.30* X3a2+2.00*（ X4a1+X4a2）

约束条件：

?Xj?14i?142iaj??Xibjj?13i?1,2,3,4j?1,2j?1,2,3?X?Xi?1iajTiaj??TajTibj??TbjibjX3a1?X3b1?X3b2?X3b3?X4b3?0Xiaj ??0且为整数Xibj ??0且为整数i?1,2,3,4;i?1,2,3,4;j?1,2j?1,2，3利用WinSQB求解（X1~X4，X5~X8,X9~X12,X13~X17,X18~X20分别表示各行变量）：

综上，最优生产计划如下： 设备 产品 1 A1 A2 B1 B2 B3

目标函数 Max 2 77 423 500 3 400 400 4 873 2 875 z=3495，即最大利润为3495

案例3. 高校教职工聘任问题 （建摸）

各类人员承担的工作量、工资及所占比例如下表： 变量 承担的教学工作量 本科生 研究生 x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 y1 y2 y3 y4 y5 0 0 所占教师的百分比 最大 最小 — — 7% — 7 — 15 — 5 — 2 — 1 — — 1% — — — 21 — 14 — 23 2 — — 2 3，000美元 3，000 8，000 13，000 15，000 17，000 2，000 30，000 4，000 13，000 15，000 17，000 2，000 30，000 年工资 6学时/周 0 12 0 9 0 9 0 6 0 3 0 0 3学时/周 — — 6 3 6 3 3 3 0 3 0 3 由校方确定的各级决策目标为：

P1 要求教师有一定的学术水平。即：要求75%的教师是专职的。要求担任本科生教学工作的教师中，至少有40%的人具有博士学位。要求担任研究生教学工作的教师中，至少有75%的人具有博士学位。 P2 要求各类人员增加工资的总额不得超过176，000美元，其中x1、x2和x9增加的工资数为其原工资基数的6%，而其他人员为8%。

P3 要求能完成学校的各项教学工作。即学校计划招收本科生1，820名，研究生100名。要求为本科生每周开课不低于910学时。要求为研究生每周开课不低于100学时。要求本科生教师与学生人数比为1：20，即为本科生上课的教师数不超过1820/20=91人。要求研究生教师与学生人数比为1：10，即为研究生上课的教师数不超过100/10=10人。

P4 设教师总数T??xi??yii?1i?185，要求各类教学人员有适当比例，如上表。

P5 要求教师与行政管理职工之比不超过4：1。 P6 要求教师与助研x1之比不超过5：1。

P7 设所有人员总的年工资基数为1，850，000美元，要求其尽可能小。 试建立其目标规划的数学模型。

解：

依题意，建立目标规划模型：

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