数学史

参考书目:

1、M?克莱因著：《古今数学思想》； 2、鲍尔加尔斯基著：《数学简史》； 3、梁宗巨著：《世界数学史简编》； 4、李 迪著：《中国数学史简编》.

绪论：学习与研究数学史的意义

? 对数学科学有一个整体的认识； ? 可帮助找到最根本的教学方法；

? 是进行辩证唯物主义、历史唯物主义和爱国主义教育的素

材；

? 是数学课程改革与发展的需要。

法国著名数学家庞加莱曾说过:“如果我们想要预知数学的未来,最适合的途径就是研究数学这门科学的历史和现状.”本课程以数学发展的脉络为主线,系统介绍数学科学的历史,并对其一些重要的思想方法进行探讨.

1.1 古埃及的数学

1.1.1 古埃及的记数制与算术

1.1.3 古埃及的几何学

? 古埃及人知道:

? 任何三角形的面积均为底与高的乘积的一半；

? 圆的面积等于直径的的平方，由此可知，他们把圆周率近似地取为3.16; ? 直圆柱的体积为底面积与高的乘积. ? 古埃及数学中“最伟大的埃及金字塔”:

1.2 古巴比伦的数学

古巴比伦，又称美索波大米亚，位于亚洲西部的幼发拉底与底格里斯两河流域. 公元前2000年左右，古巴比伦人在这里建立起了自己的奴隶制王国.

? 古巴比伦的数学记载在泥版书上.所用文字为楔形文字.

1.2.1古巴比伦的记数制与算术

? 古巴比伦人很早就有了数的写法，他们用楔形文字中较小的 (竖写)代表１，较大的 （竖写）代表60.由此可知，古巴比伦人的记数系统是60进制.他们还用 较小的 (横写) 代表10，较大的 (横写)代表100.

? 古巴比伦人也使用分数

? 古巴比伦人的算术运算也是借助于各种各样的表来进行的.

1.2.2 古巴比伦的代数

? (1)求解方程 :例:英国大不列颠博物馆13901号泥板记载了这样一个问题：“我把

我的正方形的面积加上正方形边长的三分之二得35/60，求该正方形的边长.”这个问题相当于求解方程

? 其解法相当于将方程 的系数代入公式 求解 .

? (2)在洛佛尔博物馆的一块泥板上，人们还发现了两个级数问题.用现代形式可表

述为

哥伦比亚大学普林顿收集馆中收藏的第322号泥板

? 该泥板已缺损了一部分，在残留的部分上刻有三列数，专家研究认为：这是一张勾股数(即的整数解)表，并且极有可能用到了下列参数式

? .

? 这是1000多年后古希腊数学一个极为重要的成就.

1.2.3古巴比伦的几何

已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及直角梯形面积的计算和长方体，以及特殊梯形为底的直棱柱体积计算的一般规

则，他们知道取直径的三倍为圆周的长，取圆周平方的1/12为圆的面积，还用底和高相乘求得直圆柱的体积.

1.2.4 古巴比伦的天文学

? 古巴比伦人已开始使用年、月、日的天文历法，一年有12个月，第一个月是以“金牛座”命名的，每月有30天，每6年加上第13个月作为闰月.

? 一个星期有7天，这7天是以太阳、月亮和金、木、水、火、土七星来命名的，每个星神主管一天，如太阳神主管星期日.

? 他们把圆周分为360度，每度60分，每分60秒，1小时60分，1分60秒的记法，也是来自古巴比伦.

在古巴比伦或古埃及数学中，虽然出现了一些令人信服的数表和许多重要的公式，但:

仅表现为对于一些实际问题观察的结果和某些经验的积累;

数学学科所特有的逻辑思维与理论概括甚至还未被他们觉察;

数学还只是作为一种用来处理日常生活中遇到的计算与度量问题的工具或者方法.

其所给出的仅仅是“如此去做”，而基本没有涉及到“为什么要这样做”，这标志着他们的数学还远远地没有进入理性思维的阶段.

第一章 思考题

1、世界四大文明古国是哪几个？它们的古老文明各自又有哪些特征？ 2、数学最基本、最古老的概念有哪些？它们在数学科学的发展中有什么重要作用？

3、古巴比伦人和古埃及人解方程各自用了什么方法?试举例予以说明。 4、古巴比伦人在天文学研究方面有什么创见？他们留下的遗产哪些在我们的生活中还在使用？ 5、普林顿322号泥版书上记载了古巴比伦人怎样的数学成就？其有什么重要的数学意义？

6、人称古埃及数学中“最伟大的金字塔”指的是什么？它有什么重要的数学价值？

2.1 希腊数学文明产生

公元前8世纪前后，希腊进入奴隶制形成时期，产生了许多奴隶制城邦，并在东西地中海及黑海一带兴建了许多殖民城市，这些城市加强了希腊与海外各地的联系。

2.2.1 爱奥尼亚学派与泰勒斯

? 泰勒斯 （Thales，公元前636—公元前546年）诞生于爱奥尼亚的海滨城市米利都；

? 泰勒斯早年是一个精明的商人，青壮年时代积累了足够的财富，使他后半生能够从事游历与研究； ? 他的一些奇闻轶事。

下述五个命题的发现是应归功于泰勒斯的： (１)圆被任一直径二等分;

(２)等腰三角形的两底角相等； (３)两条直线相交，对顶角相等；

(４)两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；

(５) (泰勒斯定理)内接于半圆的角必为直角.

泰勒斯对数学的贡献更重要的是在于泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理.

例如对于“两条直线相交，对顶角相等”.泰勒斯是这样证明的：如图，∠a加∠c等于平角，∠b加∠c也等于平角，因为所有的平角都是相等的，所以∠a等于∠b(等量减等量，余量相等).

泰勒斯还被西方学者称为“测量学的鼻祖”.

据说他曾利用相似直角三角形通过测量手杖和金字塔的影长求出

金字塔的高度，还用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离. 爱奥尼亚学派在哲学特别是自然哲学方面的工作也是无与伦比的，他们肯定在一切表面现象的千变万化之中，有一种始终不变的东西，这一原始物质的内蕴本质是守恒的，而所有的物质形式都

可用它来解释.这种理性思维的观念，正是希腊科学精神的的精髓之所在.

2.1.2 毕达哥拉斯学派与“万物皆数”

毕达哥拉斯(Pythagoras，约公元前572～约公元前497)是古希腊哲学家、数学家、天文家和音乐理论家.出生于爱琴海中的萨摩斯岛(Samos，今希腊东部小岛).青年时期他曾经离开家乡到世界各地游学.40岁左右，他定居意大利半岛南部的克罗多内(Crotone)，并在这里组织了一个集政治、宗教和学术研究于一体的秘密会社，这就是著名的毕达哥拉斯学派.在学术方面，这个学派主要致力于哲学和数学的研究.

毕达哥拉斯学派认为:事物的本原是数.世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用整数或者整数之比表示出来. 这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思想的最初表述形式. 2.对自然数的分类

? 毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念. ? 一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为完全数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）;

? 一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为亏数，如 12（＜1＋2＋3＋4＋6);

? 一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为盈数,10（＞1＋2＋5）.

? 若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为亲和数.,如220与284为亲和数.因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和为（1＋2＋4＋71＋142＝）220 .

3.对形数的研究

? 毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的.他们常把数以点的形式排成各种图形.如图:

又如

其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2 .由此易得,前n个奇数之和即为n的平方. 4.关于数学美的研究

? 毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，

始，建立起了关于数值的比例理论以及数的基本性质，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还给出了许多关于数论的重要定理.

例如欧几里得用归谬法证明了素数有无穷多个. 反证法的依据是逻辑学中的排中律。

哈代：“ 反证法是远比任何弃子术更高超的一种策略。棋手可以牺牲的只是几个棋子，而数学家可以牺牲整个一盘棋。”

? 第10卷讨论无理数，重点研究了形如（其中a，b皆为有理线段）的无理量，并对所有25种可能的形式进行了分类.

? 后3卷是立体几何内容.第11卷给出了立体几何中一些概念的定义；第12卷用穷竭法证明了棱锥与棱锥、圆锥与圆锥、圆柱与圆柱以及球与球之间的体积比；第13卷论述正多边形的性质及其内接于圆时的性质、研究了如何将五种正多面体内接于一个球的问题，并依赖关于多面体各面角之和必小于3600的结论，证明了凸正多面体不多于5种.

? 以外，欧几里得还写了许多其他出色的著作.他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来的仅有两本： ? （１）《数据》（The Data）.这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共９５个问题；

? （２）《论图形的分割》（On Divisions of Figures）.研究将图形分割后成比例的问题，共有36个问题.

2.2.2 阿基米德的数学成就

? 阿基米德出生于意大利西西里岛的叙拉古.

? 青年时代的阿基米德曾到号称“智慧之都”的亚历山大城求学，阿基米德学成后返回故乡，并终身保持同亚历山大学派的联系，研讨学问，成为亚历山大学派最杰出的代表.他一直住在叙拉古.公元前212前，阿基米德死于士兵剑下，临死前他还在思考几何问题.

? 阿基米德的数学著作流传至今的，按时间顺序，依次为：《抛物线的求积》、《论球和圆柱》、《论螺线》、《论劈锥曲面体与球体》、《圆之度量》、《沙粒计》.

? 这些论著无一不是数学创造的杰出之作，正如英国数学史家希思（Heath，1860～1941）所指出的，这些论著“无一例外地都被看作是数学论文的纪念碑.解题步骤的循循善诱，命题次序的巧妙安排，严格摒弃叙述的枝节及对整体的修饰润色，总之，给人的完美印象是如此之深，使读者油然而生敬畏的感情.”

? 对数学的贡献主要有： ? 在平面几何方面

? ①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得 ．

? ②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积.

? ③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的４／３. ? ④定义了螺线ρ＝aθ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为２πa的圆面积的１／３.

? ⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比.

? 在立体几何方面

? ①球表面积等于大圆面积的４倍.

? ②圆的外切圆柱体的体积是球体积的３／２，其表面积（包括上下底）也是球表面积的３／２.

? ③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积. ? ④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积. ? ⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积.

? ⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式.

? 此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等. 阿基米德是应用力学方法进行数学规律探索的倡导者和典范.

? 设有半径为ｒ的球，圆锥和圆柱的高都是２ｒ，底面半径分别是2r与r.图是它的轴截面图. 考虑在三个立体上切下与Ｎ的距离为ｘ、厚为Δｘ的薄片，其近似体积为

? 球体：πｘ（２ｒ－ｘ）Δx ? 柱体： Δx ? 锥体： Δx

? 将球体和锥体的薄片挂在T点(TN=NS=2r)上，则它们关于支点N的组合矩为

? 把大量的这些薄片加在一起得

? 得

? ? ? ?

阿基米德关于圆的著作发表在单行本《圆的度量》中，全篇包括三个命题：

用“穷竭法”证明了圆面积公式；

断言圆与它的外切正方形面积之比为１１/１４； 推算出圆周率在223/71与22/7之间.

阿基米德用穷竭法解决了圆的面积与一个两条直角边分别等于其周长和半径的直角三角形的面积相等.

? 将运动观点引入数学，也是阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在《论螺线》一书中. ? 在这本书中，阿基米德从运动观点出发指出了螺线的定义，他说：“在平面上有一直线，把它的一个端点固定，使直线围绕定点作匀速运动，如果直线上有一点同时从定点开始，沿直线作匀速运动，那么动点最后将描出一条螺线.”用我们熟知的极坐标刻画，其方程即为ρ＝ａθ.

2.2.3 阿波罗尼斯与《圆锥曲线》

? 《圆锥曲线》共８卷，有４８７个命题，现存前７卷.第１卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质，在这一卷中，阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲线的作法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论.需要指出的是，阿波罗尼斯的方程是用几何语言叙述的.

? 第２卷讨论双曲线渐近线的作法、性质和共轭双曲线的性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆锥曲线的中心的概念；怎样求作满足某种条件的圆锥曲线的切线.

? 第３卷讨论了切线与直径所围成的图形的面积；极点和极线的调和性质；椭圆和双曲线的焦点的性质.

? 第４卷讨论了极点和极线的其他性质；讨论了圆锥曲线相交的各种情况；证明了两条圆锥曲线至多有４个交点. ? 第５卷在尚存７卷中最富独创性，讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短线段，并给出了过一定点的法线的作图和计算.

? 第６卷讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的作图和性质. ? 第７卷讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质.

? 总之，亚历山大时期出现了许多著名的数学家，他们的工作大大开拓了希腊数学的领域，正是由于这个时期的成就，希腊数学才能作为一个比较完整的体系截入史册.

? 在这一时期，定量研究有了很大进展，但并没有使偏重几何的方向发生逆转，算术和代数中，演绎式的逻辑结构始终没有建立起来，三角学的研究尚末摆脱天文学，这就决定了对于数的研究仍然是直观的、经验的，其发展是缓慢的，从而使几何的发展步履艰难.

2.3 希腊数学的衰落

? 希腊数学自阿波罗尼斯之后开始走下坡路，但在后来的岁月里也还是有一些数学成就值得人们去研究的. ? 1.代数大师丢番图

? (1)第一次系统地提出代数符号 ? (2)以高超的技巧解不定方程

? 2.托勒密 写成三角学的最早系统性论著《数学汇编》.在该书中有著名的托勒密定理：在圆内接四边形中，两对角线之积等于两对对边乘积之和.

? 3.海伦、梅乃劳斯和帕普斯等人的工作

? 整个希腊数学的消亡是由于罗马人的入侵所导致的. ? 公元前146年，罗马人征服了希腊本土.

? 公元前４７年，凯撒纵火焚毁停泊在亚历山大港的埃及船队，大火延及该城，并无情地将图书馆两个半世纪以来收集的藏书毁于一炬.

? 罗马统治者推崇的基督教的传播，迅速地以强烈的宗教狂热淹没了丰富的科学想象，使希腊数学蒙受了更大的灾难，查封学园、禁止学习研究数学，使欧洲数学进入了漫长的黑暗时期.

印度的泰姬陵

3.1 印度的数学

? 印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右.从5世纪始，印度文明又不断受到其它民族的侵占，多民族的文化在这里交融，这就孕育了印度数学的繁荣.

? 大约在５０００年前印度人就兴建起了具有相当规模的城市与宫殿，并且有了书写、计算和度量衡的体系.由于印度以农业为经济来源，很早就开始观察星象，编造历书，因而带动了数学研究.

? 公元３世纪至１２世纪是印度数学的繁荣时期，而其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家兼数学家.他们主要是：阿耶波多（Aryabhata，约476～550）、婆罗门笈多（Brahmagupta，598～665）、摩诃毗罗（Mahavira,850年左右）和婆什迦罗（Bhaskara,1114～1185）．

阿耶波多，又译圣使，出生于华氏城（今称巴特那）. 其著作有《阿耶波多文集》，其中有一章专讲数学 ，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率为3．1416的较好的近似值.

婆罗门笈多，又译梵藏.其著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、“不定方程讲义”等章，其中有算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法.还利用 内插公式造了一张正弦表。特别是该著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学

4.1.5 数学教育的开始

? 《周礼·地官》中保氏称：“保氏掌谏王恶，而养国子以道.乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五御，五曰六书，六曰九数.”

? 其中礼、乐、射、御为大艺，书、数为小艺，前者为大学所授，后者乃小学所习.并称：“六年教之数（shǔ），十年学书计.”

? 由此可见,早在周代国家就已把数学列为贵族子弟的必修课艺之一.对数学教学如此重视，且以典制的形式规定下来，这在世界历史上是罕见的.

4.2 汉唐时期——中国传统数学体系的形成

? 从汉代开始，中国的经济文化有了进一步的发展，经济的繁荣给科学的进步提供了物质基础，特别是从秦代开始实施的文字与度量衡的统一、铁器的使用以及大量兴修水利工程和水陆交通的工程，为人们探索大自然的奥秘增强了动力，数学也有了长足的发展，其主要标志是以《九章算术》为代表的中国传统数学体系的形成. 4.2.1 《周髀算经》和勾股定理 ? 《周髀算经》

? 该书原名《周髀》，大约成书于公元前2世纪的西汉时期，其许多内容甚至可以追溯到西周（公元前11世纪-公元前8世纪）.这是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量中的应用.

? 卷首记述：“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方.圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一.故折矩以为勾广三，股修四，径隅五.……故禹之所以治天下者，此数之所生也.”接着又借陈子之口又给出了一般的勾股定理：“求邪至日者，以日下为勾 ，日高为股.勾股各自乘，并而开方除之，得邪至日.” ? 这就是我国有关勾股定理的最早记录.

? 中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的数学家赵爽给出的.

? 赵爽是中国历史上首次对《周髀》 进行认真研究和注释的学者.他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图.其中最为精彩的是 “勾股圆方图注”:

? 此外，在《周髀算经》中还介绍了许多种利用勾股定理进行测量的方法，如测量太阳的直径、太阳的高等.同时，在勾股测量与计算中，还涉及到十分复杂的分数计算，这在以前的著作中是没有的.

4.2.2 《九章算术》

? 标志着中国传统数学理论体系的形成. ? 该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元一世纪初.

? 中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数学概念，但没有成功.也许正是这种原因，决定了《九章算术》所特有的处理方式，并形成了中国传统的数学体系.

? 全书采用问题集的形式，每题大致由“问”、“答”、“术”三部分组成，其中“术”通常是解题的思想方法、公式和法则。 ? 全书共有246个应用题。大多数都是与生产实践、日常生活有联系的实际应用问题.

? 这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章.

第一章.“方田”

? 本章主要论述了各种平面图形的地亩面积算法及分数的运算法则.其中，平面图形有方田（长方 形田地）、圭田（三角形田地）、邪（斜）田（直角梯形田地）、箕田（ 等腰梯形田地）、圆田（圆形田地）、宛田（说法不一，未有定论）、弧田（弓形田地）、环田（圆环或环缺形田地）的面积算法，除宛田、弧田是近似计算方法外，其他各种图形的面积算法都是正确无误的.分数运算法则包括约分术（约分与通分）、合分术（分数加法）、减分术（分数减法）、课分术（两个分数的大小比较）、平分术（求几个分数的算术平均值）、乘分术（分数乘 法）、经分术（分数除法）和大广田术（带分数除法），这些算法也都是正确的，且与现今的计算方法在理论上是一致的.

第二章.“粟米”

? 该章主要论述了20种粮食及其成品如稻、米、麦 、面、饭等之间的

兑换比率及四项比例算法.四项比例算法当时称为“今有术”，其计算方法是：所求数＝（所有数×所求率）／所有率，这里，所有率、所求率、所有数与所求数是比例算法的四个专用名词.如“已知麦与米的比率是３∶２，现有麦子６０斤，问能兑换大米多少斤？” 在这个问题中，所有率是麦子的比率３，所求率是大米的比率２，所有数是已有麦子的斤数，所求数就是欲求的大米斤数，这样，按上述公式，能兑换大米的斤数为（６０×２）÷３＝４０(斤)，《九章算术》还将这一算法用于解决一些更复杂的问题. 第三章.“衰分”

? 主要论述配分比例算法，其中问题多与商业、手工业及社会制度有关.

? 例如:“今有大夫、不更、簪niao 、上造、 公士五人，共猎得五鹿，欲以爵次分之，问各几何？” ? 分配原则是“位高者多得，位卑者少得” 第四章.“少广”

? 主要成就包括开平方、开立方的算法. 第五章“商功”

? 主要论述各种立体图形的体积算法，其中包括柱、锥、台、球体等，内容涉及筑城、修堤、开渠、粮垛等施工方面的计算问题. 第六章“均输”

? 主要论述较为复杂的配分比例问题.其中最引人注目的是“均输术”.这是我国古代实行的“均输制”在数学上的反映，主要解决按人口多少、路途远近、谷物贵贱等条件，平均缴纳赋税或摊派徭役等实际问题，这很类似于条件极值问题. 第七章“盈不足”

? 主要论述盈亏问题的解法.盈不足的典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人出a1钱，则多出b1钱;若 每人出a2(a2

? 这一方法除了对于线性问题给出精确的解外，也为非线性问题提供了一个有效的近似解法.

? 例如“双鼠穿垣”题

第八章“方程”

? 主要研究线性方程组的解法，其基本思想是消元.在解方程组时，将方程组的系数（包括常数）分离出来排成一个数表，相当于现在线性代数中的增广矩阵，然后通过类似于矩阵初等变换的方法消元，这一思想方法在数学发展史上是非常重要的，在西方被称为“高斯消去法”.

? “方程”章的另一个重点就是对负数的概念、运算进行了研究.

第九章“勾股”

? 主要讨论有关勾股问题的解法，并论及简单的勾股测量. 4.2.2 刘徽和祖氏父子

? 刘徽，魏晋时期人，祖籍淄乡（今山东临淄或淄川一带），生卒年月不详，他年轻时十分好学，尤其喜爱数学.公元263年（魏陈留王景元四年），刘徽的《九章算术注》问世， 书中载录了刘徽在数学上的许多重要贡献.

? 在算术方面，刘徽阐发了《九章算术》中的分数理论.他的分数的意义、表示 方法、运算法则等代表了当时世界上的最高水平.他把分数看作比，由此发展出“率”的概念，又在“率”的基础上提出了算术中的比例理论、“盈不足”方法等. ? 在代数方面，给线性方程组解法以及正负数加减运算这两项算法以完整的理论说明，给出了方程的定义并揭示了方程组的同解原理. 并把正与负看成是相对存在的数的两种情况，并把数的正负与加减运算关系统一起来.还运用平面与立体图形对中国古代的开平方与开立方法作出了直观解释.此外，他由取 平方根的近似值而提出的小数概念和表示方法.

? 在几何方面，以别具一格的证明方法对中国古代提出的几何命题予以科学的证明， 这些方法包括“图形割补法”、“代数法”、“极限法”以及“无穷小分割法 ”等等.

刘徽对球体积计算的研究

? <九章算术>少广章的“开立圆术”给出的球体积(V3)计算方法相当于公式

(这里的D为球直径)

? 刘徽对这一公式的正确性产生了怀疑，他使用截面法进行验证，发现内切圆柱的体积（V2）与正方体的体积（V1）之比为 ，在《九章算术》取的情况下，只有在内切球与圆柱的体积之比也是 时，上述近似公式才成立，而实际上后者是不成立的.为此，刘徽又以正方体相邻的两个侧面为底分别作两次内切圆柱切割，剔除外部，剩下的内核部分刘徽称之为“牟合方盖”（如图 )证明内切球与“牟合方盖” 的体积之比为 而明显地可以看出，“牟合方盖”

的体积比圆柱要小， 故上述公式是错误的.

? 显然，如果能求出牟合方盖的体积，球的体积就自然可以求出了，但对于牟合方盖的体积如何求出，刘徽百思不得其解，故最后不得不“付之缺疑，以俟能言者”. 祖氏父子对球体积计算的贡献

? 祖氏父子在研究《九章算术》及刘徽注时发现了刘徽遗留下的如何计算“牟合方盖”的体积问题，并开始沿着刘徽开辟的道路继续探索.经父子两代人不懈的努力，终于由祖日恒解决了牟合方盖体积的计算，得到牟合方盖与其外切正方体的体积比为2/3.

? 祖日恒还将其推导过程中所用的、事实上也是刘徽已经使用过的不可分量原理，总结提炼成一般的命题：“缘幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，若所得截面总相等，则此二几何体体积相等.

4.2.3 《算经十书》

? 从隋开始，中国有了专门的数学教育机构，在其最高学府——国子监中，设立算学科，专门从事数学教学.

? 唐在隋的基础上，继续在国子监中设立数学教育机构，他们把数学教育与明经、明法、明书等并列为六科，称作明算科。

? 明算科设有算学博士与算学助教各二人，并招收算学生80人.

? 由数学家李淳风等人共同审定并注释了十部算经作为数学教材，这十部著作是《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张邱建算经》、《五曹算经》、《五经算术》、《夏侯阳算经》、《缀术》和《缉古算经》，这就是历史上著名的“算经十书”，其记载了汉唐的数学成就，并成为后人数学教学与研究的重要源泉.

4.3 宋元时期——中国传统数学的兴盛

? 这一时期包括宋元两代，即900年至1368年.众所周知，宋代结束了五代十国的封建割据的局面以后，出现了社会稳定、生产发展、经济繁荣的景象。

? 统治者鼓励发展科学技术，同时改革旧的科举制度，极大地推动了科学文化技术的发展.闻名于世的中国古代“四大发明”中的指南针、火药和活字印刷这三大发明就都是在宋代完成并获得广泛的应用的.

? 到了元代，蒙古骑兵占领了欧亚广大地区，促进了中外交流，印刷术的发展也推动了数学教育与研究，再加上前一时期数学知识的大量积累，诸多因素的汇集，促使中国以算筹为主要工具的传统数学出现了极其辉煌的成就，到达了兴盛时

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mew6.html