2020-2021学年四川省遂宁二中高二上学期半期考试数学(理)试题 word版

- 1 - 遂宁二中2020-2021学年高二上学期半期考试

数学（理科）试题

本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，满分60分）

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。

2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

3．考试结束后，将答题卡收回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。）

1．过点()2,M a -和(),4N a 的直线的斜率为1，则实数a 的值为 （ ）

A. 1

B. 2

C. 1或4

D. 1或2 2．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()22

2 2516:C x y -+-= ，则圆C 1与圆C 2的

位置关系是

（ ）

A. 相离

B. 相交

C. 外切

D. 内切

3．平行线0943=-+y x 和620x my ++=的距离是（ ）

A ．58

B ．2

C ．511

D ．57

4．设有直线m ，n 和平面α，β，下列四个命题中，正确的是 （ ）

A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n

B ．若m ?α，n ?α，m ∥β，l ∥β，则α∥β

C ．若α⊥β，m ?α，则m ⊥β

D ．若α⊥β，m ⊥β，m ?α，则m ∥α

- 2 - 5．对于a ∈R ，直线（x +y ﹣1）﹣a （x +1）=0恒过定点P ，则以P 为圆心，5为半径的圆的

方程是（ ）

A ． 5)2()1(22=-++y x

B ．5)2()1(22=+++y x

C ．5)2()1(22=++-y x

D ．5)2()1(22=-+-y x 6．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）

A ．6

B ．4

C ．3

D ．2

7．半径为

R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为

（ ）

A ．324πR 3

B ．38πR 3

C ．525πR 3

D ．58πR 3 8．已知,x y 满足约束条件020x y x y y -≥??+≤??≥?

，若z ax y =+的最大值为4，则a =

（ ）

A ．3

B ．-3

C ．-2

D ．2

9．如图，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦

值为（ ）

A ．51

B ．5

2 C ．53

D ．54

10．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是 （ ）

A ．2＋ 5

B ．4＋ 5

C ．2＋2 5

D ．5

11．在三棱锥A BCD -中,1,AB AC ==2DB DC ==,3AD BC ==,则三棱锥A BCD -1A 1B 1C 1

D A B C

D

- 3 - 的外接球表面积为 （ ）

A ．π

B ．7π4

C ．7π

D ．4π 12．N 为圆x 2+y 2=1上的一个动点，平面内动点M （x 0，y 0）满足|y 0|≥1且∠OMN=30°（O 为

坐标原点），则动点M 运动的区域面积为 （ ）

A ．

334-π B ．3238-π C ．332+π D ．33

4+π 第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题四小题，每小题5分，共20分。

13．两圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0和x 2＋y 2－6x ＝0的公共弦方程是_______________．

14．在z 轴上与点()543，，

A 和点()712，，

B 等距离的点

C 的坐标为______________． 15．若,x y 满足约束条件10040x x y x y -≥??-≤??+-≤?，则y x 的最大值为 ． 16．已知直线l 1：ax ﹣y +1=0与l 2：x +ay +1=0，给出如下结论：其中正确的结论有 ．

①不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直；

②当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A （0，1）和B （﹣1，0）；

③不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x +y =0对称；

④当a 变化时，l 1与l 2的交点轨迹是以AB 为直径的圆（除去原点）．

三、解答题：本大题共六小题，共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

17．（本题满分10分）

在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是AB 、11B C 的中点．

（1）求证：BD ⊥平面11ACC A ；

（2）求证：EF ∥平面11ACC A ．

- 4 -

18．（本小题满分12分）

已知三角形ABC 的顶点坐标为(1,5)A -，(2,1)B --，(4,3)C ，M 是BC 边上的中点．

（1）求AB 边所在的直线方程；

（2）求中线AM 的长；

（3）求AB 边的高所在直线方程．

19．（本小题满分12分）

已知直线l 1的方程为01243=-+y x ．

（1）若直线l 2与l 1平行，且过点()3,1-，求直线l 2的方程；

（2）若直线l 2与l 1垂直，且l 2与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线l 2的方程．

20．（本题满分12分）

已知点M （3，1），圆O 1：()()4212

2=-+-y x ． （1）若直线04=+-y ax 与圆O 1相交于A ，B 两点，且弦AB 的长为32，求a 的值；

（2）求过点M 的圆O 1的切线方程．

21．（本题满分12分）

如图，正四棱锥S ABCD -的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，2CD =P 在侧棱SD 上，且3SP PD =．

- 5 - （1）求证：AC SD ⊥；

（2）求三棱锥APC D -的体积；

（3）求二面角P AC D --的大小．

22．（本题满分12分）

已知圆4:22=+y x O ,直线4:-=kx y l ．

(1)若直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B ,当2π

=∠AOB 时，求k 的值；

(2)若1=k ，P 是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD 切点为C 、D ， 问：直线CD 是否过定点?若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；

（3）若EF 、GH 为圆4:22=+y x O 的两条相互垂直的弦，垂足为()

2,1M ，求四边形EGFH 的 面积S 的最大值．

- 6 -

答案

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C

B

D

A

B

A

D

D

C

C

B

12．解：如图，过M 作⊙O 切线交⊙O 于T ，根据圆的切线性质，有∠OMT≥∠OMN=30°．

反过来，如果∠OMT≥30°，则⊙O 上存在一点N 使得∠OMN=30°． ∴若圆C 上存在点N ，使∠OMN=30°，则∠OMT≥30°． ∵|OT|=1，∴|OM|≤2．即（|y 0|≥1）．

把y 0=1代入，

求得A （

），B （

），∴

，

∴动点M 运动的区域面积为2×（）=

．

二、填空题

13．x ＋3y ＝0 14．(0，0，1) 15．3 16．①②④

16．【答案】①②④ 【解析】①a×1﹣1×a=0恒成立，l 1与l 2垂直恒成立，故①正确； ②直线l 1：ax ﹣y+1=0，当a 变化时，x=0，y=1恒成立，所以l 1经过定点A （0，1）； l 2：x+ay+1=0，当a 变化时，y=0，x=﹣1恒成立，所以l 2经过定点B （﹣1，0），故②正确 ③在l 1上任取点（x ，ax+1），关于直线x+y=0对称的点的坐标为（﹣ax ﹣1，﹣x ）， 代入l 2：x+ay+1=0的左边，显然不为0，故③不正确；

④联立直线l 1：ax ﹣y+1=0与l 2：x+ay+1=0，消去参数a 可得：x 2+x+y 2﹣y=0（x≠0，y≠0）， ∴当a 变化时，l 1与l 2的交点轨迹是以AB 为直径的圆（除去原点），故④正确． 三、解答题

17．解：（1）∵1111ABCD A B C D -为正方体，∴BD AC ⊥，

又1CC ⊥平面ABCD ，

∵BD ?平面ABCD ，则1BD C C ⊥， 又∵C C C AC =1 ，

- 7 -

∴BD ⊥平面11ACC A

（2）设BC 的中点为G ，连接,EG FG

∵E 、G 分别是AB 、BC 的中点，则EG AC ∥， ∵1111,EG ACC A AC ACC A ??平面平面， ∴EG ∥平面11ACC A ， 同理FG ∥平面11ACC A 。 又∵G FG EG = ， 则平面EGF ∥平面11ACC A ， ∵EF ?平面EGF ， ∴EF ∥平面11ACC A 18．解：（1

）由两点式写方程得

51

1521

y x -+=

---+，即6110x y -+=．

（3）因为直线AB 的斜率为51

632

AB k +=

=--+，

设AB 边的高所在直线的斜率为k ，则有(6)1AB k k k ?=?-=-， ∴16

k =

， 所以AB 边上高所在直线方程为1

3(4)6

y x -=-， 即6140x y -+=．

19．解：（1）由直线l 2与l 1平行，可设l 2的方程为3x+4y+m=0，

以x=﹣1，y=3代入，得﹣3+12+m=0，即得m=﹣9， ∴直线l 2的方程为3x+4y ﹣9=0．

（2）由直线l 2与l 1垂直，可设l 2的方程为4x ﹣3y+n=0，

令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=，

E

A

B

D

C

1A

1B

1C

1

D

F

G

- 8 - 故三角形面积S=?|﹣|?||=4∴得n 2=96，即n=±4

∴直线l 2的方程是4x ﹣3y+4=0或4x ﹣3y ﹣4=0．

20．解：（1）根据题意，圆O 1：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2＝4，圆心为（1，2），半径r ＝2，

若弦AB 的长为，则圆心到直线ax ﹣y +4＝0的距离d ＝， 又由圆心为（1，2），直线ax ﹣y +4＝0，

则有d ＝，解得；

（2）根据题意，分2种情况讨论：

当切线斜率不存在时，其方程为x ＝3，与圆相切，符合条件，

当切线斜率存在时，设其方程为y ﹣1＝k （x ﹣3）， 圆心到它的距离，解得，

切线方程为3x ﹣4y ﹣5＝0，

所以过点M 的圆的切线方程为x ＝3或3x ﹣4y ﹣5＝0

20．解：（1）设AC 的中点为O ，连接,OD OS 。

由已知，AC OD ⊥，SO ⊥底面ABCD ，

∵AC ?平面ABCD ，∴SO AC ⊥，

又∵O DO SO = ，∴AC ⊥平面SOD ，

∵SD ?平面SOD ，∴AC SD ⊥

（2）在OD 边上找一点Q ，连接PQ ，使PQ SO ∥。

由已知，SO ⊥底面ABCD ，∴PQ ⊥底面ABCD ， 又由已知2,2CD AC SC AS ====，则223OS SD OD =-= ∵SDO △∽PDQ △，且3SP PD = 则1

3

4PQ SO ==，1

12ACD S AC CD =?=△,

∴=-APC D V 1

3

3P ACD ACD V S PQ -=?=△。

（3）连接OP ，作PQ OD Q ⊥=。由已知，,AP CP AD CD ==

- 9 - ∴APC △与ADC △为等腰三角形，∵O 为AC 的中点，∴,PO AC DO AC ⊥⊥， ∴POQ ∠即为二面角P AC D --的平面角，

又由已知3

1

,,122CD SP PD OD ====，

则OS =

∵SDO △∽PDQ △

，则1

1

1

1

3

,1444444PQ SO QD DO OQ ====?=-=，

∴tan 3PQ POQ OQ ∠==，即6POQ π

∠=

∴二面角P AC D --的大小为6π

。

22．解：（1）r d l O AOB 22

2=∴=∠的距离到点，π ， 即722214

2±=??=+k k

(2) 由题可知O,P,C,D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上，

设P （t,-t ）,其方程为x (x -t)+y(y-t+4)=0,

即0)4(22=--+-y t y tx x ，又C,D 在圆422=+y x 上

∴044)(04)4(:=--+=--+y t y x y t tx l CD 即

由???-==????=--=+1

10440

y x y y x ，

所以直线过定点（1，-1）

（3）设圆心O 到直线EF,GH 的距离分别为d 1,d 2， 则2

2222212122221422,422,3d d r GH d d r EF d d -=-=-=-=∴=+ ()()544442212

2212221=-+-≤--==∴d d d d GH EF S ，

当且仅当2

22144d d -=-时等号成立，

此时26

21==d d ，四边形EFGH 面积的最大值为5.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mes4.html