北京市东城区2015-2016学年高一下学期期末考试数学试卷

北京市东城区2015-2016学年下学期高一期末考试

数学试卷

本试卷共100分，考试时长120分钟。

第一部分（选择题 共24分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 不等式x2?2x?3的解集是 A. ?x|?1?x?3? C. x|x??3或x?1

B. ?x|?3?x?1? D. x|x??1或x?3

????2. 为了大力弘扬中华优秀传统文化，某校购进了《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》和《西游记》若干套，如果每班每学期可以随机领取两套不同的书籍，那么该校高一（1）班本学期领到《三国演义》和《水浒传》的概率为

A.

21 B. 32C.

1 4D.

1 63. 已知a?b?0，则

A. a2?ab B. ab?b2 C. a2?b2

D. a2?b2

4. 某商品销售量y（件）与销售价格x（元/件）负相关，则其回归方程可能是 A. y??10x?200 C. y??10x?200

→→?B. y?10x?200 D. y?10x?200

→???→1→5. 已知非零向量OA, OB不共线，且BM=BA，则向量OM=

31→2→2→1→A. OA+OB B. OA+OB

33331→2→1→4→C. OA-OB D. OA-OB

33336. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，那么输出的S的值为

A. -1 B. 0 C. 1

D. 3

7. 已知?an?是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3,a4,a8成等比数列，则 A. a1d?0,dS3?0 C. a1d?0,dS3?0

B. a1d?0,dS3?0 D. a1d?0,dS3?0

8.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈（1匹=40尺，一丈=10尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为

A.

第二部分 （非选择题 共76分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）

18尺 B. 尺 215C.

16尺 29D.

16尺 31

9. 某学院A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院A专业有380名学生，B专业有420名学生，则该学院C专业应抽取______名学生.

10. 如图所示，在边长为1的正方形中，随机撒豆子，其中有1000粒豆子落在正方形中，180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_________.

11. 若非零向量a，b满足a?b,(2a?b)?b?0，则a与b的夹角为_________.

12. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC?ccosB?asinA，则?A的度数为_______________. 13. 已知x?0,y?0，且满足

xy??1，则xy的最大值为___________. 3414. 已知平面向量a，b和c在同一平面内且两两不共线，关于非零向量a的分解有如下四个命题： ①给定向量b，总存在向量c，使a=b+c；

②给定向量b和c，总存在实数λ和μ，使a=λb+μc；

③给定单位向量b和正数μ，总存在单位向量C和实数λ，使a=λb+μc； ④给定正数λ和μ，总存在单位向量b和单位向量c，使a=λb+μc. 则所有正确的命题序号是________.

三、解答题：本大题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15. （本题满分8分）

在平面直角坐标系xOy中，点A（-1，-2），B（3,2），D（-3，-1），以线段AB，AD为邻边作平行四边形ABCD. 求

（I）点C的坐标；

（II）平行四边形ABCD的面积. 16. （本题满分9分）

已知数列?an?是等比数列，满足a1?3,a4?24，数列?bn?满足b1?4,b4?22，且?bn?an?是等差数列.

（I）求数列?an?和?bn?的通项公式； （II）求数列?bn?的前n项和。

17.（本题满分9分）

△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA?3acosB. （I）求角B的大小；

（II）若b?3,sinC?2sinA，求a，c的长. 18. （本题满分9分）

为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月投递的快递件数记录结果中分别随机抽取8天的数据如下：

甲公司某员工A：32 33 33 35 36 39 33 41 乙公司某员工B：42 36 36 34 37 44 42 36

（I）根据两组数据完成甲、乙两个快递公司某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图，并通过茎叶图，对员工A和员工B投递快递件数作比较，写出一个统计结论：

统计结论：__________________________________________________________

（II）请根据甲公司员工A和乙公司员工B分别随机抽取的8天投递快递件数，试估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率。 19.（本题满分9分）

已知关于x的不等式(ax?1)(x?2)?2的解集为A，且3?A. （I）求实数a的取值范围； （II）求集合A. 20.（本体满分8分）

对于项数为m的有穷数列?an?，记bk?max?a1,a2,?,ak?(k?1,2,?,m)，即bk为

a1,a2,?,ak中的最大值，并称数列?bk?是?an?的控制数列.如1,3,2,5,5的控制数列是1,3,3,5,5.

（I）若各项均为正整数的数列?an?的控制数列为2,3,4,5,5，写出所有符合条件的数列?an?； （II）设

m=100，若an?|2n?4|，

?bn?是

?an?的控制数列，求

(b1?a1)?(b2?a2)???(b100?a100)的值；

（III）设?bn?是?an?的控制数列，满足ak?bm?k?1?C（C为常数，k?1,2,?,m）. 求证：bk?ak(k?1,2,?,m).

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 题号 答案 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分. 题号 答案 三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. （本题满分8分）

9 40 10 0.18 11 120° 12 90° 13 3 14 ①② 1 B 2 D 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 C ????????解：（I）AB?(4,4),AD?(?2,1)， ????????????AC?AB?AD?(2,5)，点C的坐标为（1,3）.??????????4分

????????（II）AB?42,AD?5.

????????????????AB?AD10. cos?AB,AD????????????10AB?AD????????310. sin?AB,AD??10????????????????SABCD?AB?AD?sinAB,AD??12.????????????8分

16. （本题满分9分）

解：（I）设等比数列?an?的公比为q，由题意得q3?a424??8，解得q?2. a13所以an?a1qn?1?3?2n?1(n?1,2,?).????????????3分 设等差数列?bn?an?的公差为d，

所以b4?a4?(b1?a1)?3d.即22?24?(4?3)?3d.解得d??1.??????5分 所以bn?an?(b1?a1)?(n?1)d?1?(n?1)?2?n.

从而bn?2?n?3?2n?1(n?1,2,?).????????????6分 （II）由（I）知bn?2?n?3?2n?1(n?1,2,?). 数列?2?n?的前n项和为

n(3?n)，数列?3?2n?1?的前n项和为 2

1?2n3??3(2n?1)?3?2n?3..????????9分

1?2所以，数列?bn?的前n项和为17.（本题满分9分）

解：（I）∵bsinA?3acosB，由正弦定理可得sinBsinA?3sinAcosB.???2分 ∵sinA?0，∴tanB?3.??????????3分 ∴B?n(3?n)?3?2n?3. 2?3.????????????4分

（II）∵sinC?2sinA，由正弦定理得c?2a，????????5分 由余弦定理b2?a2?c2?2ac?cosB， 得9?a2?4a2?2a?2acos?3.??????????7分

解得a?3.????????????8分 ∴c?2a?23.????????????9分 18.（本题满分9分）

解：（I）某员工A和某员工B投递快递件数的茎叶图如下：

统计结论：通过茎叶图可以看出，乙公司某员工B投递快递件数的平均值高于甲公司某员工A投递快递件数的平均值.（其它正确的结论照样给分）????????4分

（II）设事件Ai为“甲公司某员工A在抽取的8天中，第i天投递的快递件数”， 事件Bi为“乙公司某员工B在抽取的8天中，第i天投递的快递件数”，i=1,2，?，8. 设事件C为“甲公司某员工A比乙公司某员工B投递的快递件数多”.由题意知

C?A4B4?A5B4?A6B2?A6B3?A6B4?A6B5?A6B8?A8B2?A8B3?A8B4?A8B5UA8B8因此

P(C)?123?.????????????8分 64163.??????9分 16因此可以估计甲公司员工比乙公司员工该月投递快递件数多的概率为19.（本题满分9分）

解：（I）∵3?A，∴当x?3时，有(ax?1)(x?2)?2，即3a?1?2.

∴a?1，即a的取值范围是?a|a?1?.??????????3分 （II）

(ax?1)(x?2)?2?(ax?1)(x?2)?2?0?ax2?(2a?1)x?0??????4分

当a=0时，集合A??x|x?0?；????????????5分 当a??11??时，集合A??x|0?x?2??；????????6分 2a??1时，原不等式解集A为空集；????????7分 2当a??当?11???a?0时，集合A??x|2??x?0?；????????8分 2a??当0?a?1时，集合A??x|x?0或x?2?20. （本题满分8分）

??1??.????????9分 a?解：（I）数列?an?为2,3,4,5,1；2,3,4,5,2；2,3,4,5,3；2,3,4,5,4；2,3,4,5,5.??????2分 （II）∵an?|2n?4|，?bn?是?an?的控制数列， ∴b1?a1?2,a2?0,b2?2. 当n≥3时，bn?an，

∴(b1?a1)?(b2?a2)???(b100?a100)?2.??????????5分 （III）因为bk?max?a1,a2,?ak?,bk?1?max?a1,a2,?ak,ak?1?， 所以bk?1?bk.??????????????6分 因为ak?bm?k?1?C,ak?1?bm?k?C，

所以ak?1?ak?bm?k?1?bm?k?0，即ak?1?ak.??????????7分 因此，bk?ak.????????????8分

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