2、 导数与微分

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二、 导数与微分学

[选择题]

容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。

1．设函数y?f(x)在点x0处可导，?y?f(x0?h)?f(x0)，则当h?0时，必有( )

(A) dy是h的同价无穷小量. (B) ?y-dy是h的同阶无穷小量。 (C) dy是比h高阶的无穷小量. (D) ?y-dy是比h高阶的无穷小量. 答D

2． 已知f(x)是定义在(??,??)上的一个偶函数，且当x?0时，f?(x)?0,f??(x)?0， 则在(0,??)内有（ ）

（A）f?(x)?0,f??(x)?0。 （B）f?(x)?0,f??(x)?0。 （C）f?(x)?0,f??(x)?0。 （D）f?(x)?0,f??(x)?0。 答C

3．已知f(x)在[a,b]上可导，则f?(x)?0是f(x)在[a,b]上单减的（ ）

（A）必要条件。 (B) 充分条件。

（C）充要条件。 （D）既非必要，又非充分条件。 答B

x2arctanx的渐近线的条数，则n?（ ） 4．设n是曲线y?2x?2(A) 1． (B) 2 (C) 3 (D) 4 答D

5．设函数f(x)在(?1,1)内有定义，且满足f(x)?x, f(x)的（ ）

（A）间断点。 （B）连续而不可导的点。

2?x?(?1,1)，则x?0必是

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（C）可导的点，且f?(0)?0。 （D）可导的点，但f?(0)?0。 答C

6．设函数f(x)定义在[a，b]上，判断何者正确？（ ）

（A）f（x）可导，则f（x）连续 （B）f（x）不可导，则f（x）不连续 （C）f（x）连续，则f（x）可导 （D）f（x）不连续，则f（x）可导 答A

7．设可微函数f(x)定义在[a，b]上，x0?[a,b]点的导数的几何意义是：（ ）（A）x0点的切向量 （B）x0点的法向量 （C）x0点的切线的斜率 （D）x0点的法线的斜率 答C

8．设可微函数f(x)定义在[a，b]上，x0?[a,b]点的函数微分的几何意义是：（ （A）x0点的自向量的增量 （B）x0点的函数值的增量

（C）x0点上割线值与函数值的差的极限 （D）没意义 答C 9．f(x)?x，其定义域是x?0，其导数的定义域是（ ）

（A）x?0 （B）x?0 （C）x?0 （D）x?0 答C

）

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10．设函数f(x)在点x0不可导，则（ ）

（A）f(x)在点x0没有切线 （B）f(x)在点x0有铅直切线 （C）f(x)在点x0有水平切线 （D）有无切线不一定 答：D

11．设f?(x0)?f??(x0)?0, f???(x0)?0, 则( ) (A) x0是f?(x)的极大值点 (B) x0是f(x)的极大值点 (C) x0是f(x)的极小值点

(D) (x0,f(x0))是f(x)的拐点

答：D

12． （命题I）: 函数f在[a,b]上连续. （命题II）: 函数f在[a,b]上可积. II是命 题 I的（ ）

（A）充分但非必要条件 （B）必要但非充分条件 （C）充分必要条件

（D）既非充分又非必要条件

答：B

13．初等函数在其定义域内（ ）

（A）可积但不一定可微 （B）可微但导函数不一定连续 （C）任意阶可微 （D）A, B, C均不正确 答：A

14． 命题I）: 函数f在[a,b]上可积. （命题II）: 函数 |f| 在[a,b]上可积. I是命题II的 （ ） （A）充分但非必要条件 （B）必要但非充分条件 （C）充分必要条件

（D）既非充分又非必要条件

答：A

则命题则命题3

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15．设 y?eu(x) 。则 y'' 等于（ ） （A） eu(x) （B） eu(x)u''(x)

（C）eu(x)[u'(x)?u''(x)] （D）eu(x)[(u'(x))2?u''(x)]

答： D

16．若函数 f 在 x0 点取得极小值，则必有（ ）

（A） f'(x0)?0 且 f''(x)?0 （B）f'(x0)?0 且 f''(x0)?0 （C） f'(x0)?0 且 f''(x0)?0 （D）f'(x0)?0或不存在 答： D

17． f'(a)? （ ）

(A)limf(x)?f(a)f(a)x?ax?a； (B).?lim?f(a??x)x?0?x；

(C).limf(t?a)?f(a)f(a?s2)?f(a?s2)t?0t； (D).lim S?0s 答：C

18． y 在某点可微的含义是：（ ） （A） ?y?a?x,a是一常数; （B） ?y与?x成比例

（C） ?y?(a??)?x,a与?x无关，??0(?x?0).

（D） ?y?a?x??,a是常数，?是?x的高阶无穷小量(?x?0). 答： C

19．关于?y?dy，哪种说法是正确的？（ ）

（A） 当y是x的一次函数时?y?dy. （B）当?x?0时，?y?dy （C） 这是不可能严格相等的. （D）这纯粹是一个约定. 答： A

20．哪个为不定型？（ ）

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（A）

?00? （B） （C）0 （D）? 0?答： D

2321．函数f(x)?(x?x?2)x?x不可导点的个数为

(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3

答：C

22．若f(x)在x0处可导，则limh?0f(x0?h)?f(x0)?（ ）

h

（A）?f?(x0)； （B）f?(?x0)； （C）f?(x0)； （D）?f?(?x0).

答：A

23．f(x)在(a,b)内连续，且x0?(a,b)，则在x0处（ ）

（A）f(x)极限存在，且可导；

（B）f(x)极限存在，且左右导数存在；

（C）f(x)极限存在，不一定可导； （D）f(x)极限存在，不可导.

答：C

24．若f(x)在x0处可导，则|f(x)|在x0处( )

（A）必可导；（B）连续，但不一定可导；（C）一定不可导；

答：B

25．设f(x)?(x?x0)|?(x)|，已知?(x)在x0连续，但不可导，则f(x)在x0处（ ） （A）不一定可导；（B）可导；（C）连续，但不可导； （D）二阶可导. 答：B

26．设f(x)?g(a?bx)?g(a?bx)，其中g(x)在(??,??)有定义，且在x?a可导，则

（D）不连续.

f?(0)=（ ）

（A）2a； （B）2g?(a)； （C）2ag?(a)；

答：D

27．设y?f(cosx)?cos(f(x))，且f可导， 则y?=（ ）

（A）f?(cosx)?sinx?sin(f(x))f?(x)；

（D）2bg?(a).

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（B）f?(cosx)?cos(f(x))?f(cosx)?[?sin(f(x))]；

（C）?f?(cosx)?sinx?cos(f(x))?f(cosx)?sin(f(x))?f?(x)； （D）f?(cosx)?cos(f(x))?f(cosx)?sin(f(x))?f?(x).

答：C

28．哪个为不定型？（ ） （A）答： D

29．设f(x)?x(x?1)(x?2)?(x?99)(x?100)，则f'(0)?(?00? （B） （C）0 （D）? 0?).

（ A） 100 （B ） 100！ （C ） -100 （D） -100！ 答：B

f(n?1)(x)?f(n)(a)，则f(n?1)(a)?(30．设f(x)的n阶导数存在，且limx?ax?a（A ） 0 （ B） a （C） 1 （D） 以上都不对 答： A

31．下列函数中，可导的是（ ）。

（ A ） f(x)?xx （B） f(x)?sinx

)

1?2??x,x?0?xsin,x?0 （C ） f(x)?? （D ） f(x)?? x??x,x?0?x?0?0, 答：A

32．初等函数在其定义域区间内是（ ）

（ A） 单调的 （B ） 有界的 （C） 连续的 （D） 可导的 答：C

33．若f(x)为可导的偶函数，则曲线y?f(x)在其上任意一点(x,y)和点(?x,y)处 的切 线斜率（ ）

（A ） 彼此相等 （B ） 互为相反数

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（C） 互为倒数 （ D）以上都不对 答：B

34． 设函数y?f(x)在点x0可导，当自变量由x0增至x0??x时，记?y为f(x)的增量， dy为f(x)的微分，则

?y?dy?x?()（当?x?0时）。

（A ） 0 （ B） ?1 （C ） 1 （D ） ? 答：A 35． 设f(x)?loglogxlogx，则f'(x)?()

（A ）

x?loglogxx(logx)2 （B ） 1?loglogxx(logx)2 （C）

x?loglogx1?logx(logx)2 （ D） logxx(logx)2

答：B

(x)??x236．若f,x?1;?ax?b,x?1.在x?1处可导，则a,b 的值为（ )。 (A).

a?1,b?2; (B).a?2,b??1; (C).a??1,b?2(D).a??2,b?1。 答：B

37．若抛物线y?ax2与y?lnx相切，则a?（ )。

1 (A). 1 ; (B). 1/2; (C). e2; (D).2e . 答：C

38．若f(x)为(?l,l)内的可导奇函数，则f?(x)（ )。

(A).必为(?l,l)内的奇函数； （B).必为(?l,l)内的偶函数；

(C).必为(?l,l)内的非奇非偶函数；(D).可能为奇函数，也可能为偶函数。 答：B

39．设f(x)?xx, 则f?(0)?（ )。

(A). 0; (B). 1 ; (C). -1 ; (D). 不存在。

;

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答：A

40．已知f(x)在(??,??)上可导，则（ ）

(A) 当f?(x)为单调函数时，f(x)一定为单调函数. (B) 当f?(x)为周期函数时，f(x)一定为周期函数. (C) 当f?(x)为奇函数时，f(x)一定为偶函数. (D) 当f?(x)为偶函数时，f(x)一定为奇函数. 答：C

41．设f(x)在(??,??)内可导，则（ ）

（A） 当limf?(x)???时，必有limf(x)???。

x???x???（B） 当limf(x)???时，必有limf?(x)???。

x???x???（C） 当limf?(x)???时，必有limf(x)???。

x???x???（D） 当limf(x)???时，必有limf?(x)???。

x???x???答：A

42．设周期函数f(x)在(??,??)内可导，周期为3，又limx?0f(1?x)?f(1)??1，则曲线

2x 在点(4,f(4))处的切线斜率为（ ）

（A）2． （B）1. (C) ?1。 （D）?2。 答：A

43．设f(x)有二阶连续导数，且f?(1)?0,limx?1f??(x)??1，则（ ） x?1（A）f(1)是f(x)的一个极大值。 （B）f(1)是f(x)的一个极小值。 （C）x?1是函数f(x)的一个拐点。 （D）无法判断。 答：A

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2244．设f(x)?(x?x?2)x(x?x?2)，则f(x)不可导点的个数是（ ）

（A）0． （B）1 。 （C）2。 （D）3。 答：B

45．设f(x)?xx，则其导数为（ ）

（A）f?(x)?xx （B）f?(x)?xxlnx （C）f?(x)?xx(lnx?1) （D）f?(x)?xx?1 答：C

46．设y?sin4x?cos4x，则( )

（A）y(n)?4n?1cos(4x?n?2),n?1 （B）y(n)?4n?1cos(4x),n?1 （C）y(n)?4n?1sin(4x?n?2),n?1 （D）y(n)?4cos(4x?n?2),n?1 答：A

47．设f(x)?1?e?x2，则（ ）

（A）f??(0)??1 （B）f??(0)??1 （C）f??(0)?0 （D）f??(0)不存在 答：A

48．设f(x)?(x?1)arcsinxx?1，则（ （A）f?(1)?0

） 9

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（B）f?(1)?1 （C）f?(1)??4

（D）f?(1)不存在 答：C

49．下列公式何者正确？（ ）

（A）(cscx)???cscxcotx （B）(secx)???tanxsecx （C）(tanx)??csc2x （D）(cotx)??csc2x 答：A

)???g(x)?e?x50．设f(xx?0?0x?0, 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0)?1, g?(0)??1, 则 (A) f(x)在x?0连续, 但不可导,(B)f?(0)存在但f?(x)在x?0处不连续

(C) f?(0)存在且f?(x)在x?0处连续, (D) f(x)在x?0处不连续

答：C

51．设f(x)可导, 且满足条件limf(1)?f(1?x)x?02x??1, 则曲线y?f(x)在

(1,f(1))处的切线斜率为

(A) 2, (B) -1, (C)

12, (D) -2 答：D

52．若f(x)为(??,??)的奇数, 在(??,0)内f?(x)?0, 且f??(x)?0, 则(0,??) 内有 (A) f?(x)?0, f??(x)?0

(B) f?(x)?0, f??(x)?0

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二、 一元函数微分学 第 26 页 共 28 页

1/41/2122．方程x

?x?cosx?0在(??,??)内

(A) 无实根, (B) 恰有一实根, (C) 恰有二个实根, (D) 有无穷多个实根

答：C

123．设f?(x0)?f??(x0)?0, f???(x0)?0, 则

(A) x0是f?(x)的极大值点 (B) x0是f(x)的极大值点 (C) x0是f(x)的极小值点 (D) (x0,f(x0))是f(x)的拐点

答：D

124．设在[0,1]上f?(x)?0, 则f?(0),f?(1),f(1)?f(0)或f(0)?f(1)的大小顺序是

(A) f?(1)?f?(0)?f(1)?f(0) (B) f?(1)?f(1)?f(0)?f?(0) (C) f(1)?f(0)?f?(1)?f?(0) (D) f?(1)?f(0)?f(1)?f?(0)

答：B

125．设f(x)在x?a的某领域内连续, 且f(a)为其极大值, 则存在??0, 当 x?(a??,a??)时, 必有

(A) (x?a)[f(x)?f(a)]?0 (B) (x?a)[f(x)?f(a)]?0

(C) limt?af(t)?f(x)?0 (x?a)

(t?x)2f(t)?f(x)?0 (x?a) 2(t?x)

(D) limt?a答：C

126．以下哪个条件可保证对开区间X上的任意两点a，b，必存在常数L>0，使

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二、 一元函数微分学 第 27 页 共 28 页

f(a)?f(b)?La?b成立 （ ）

（A）f(x)在X上有界 （B） f（x）在X上连续 （C） f’（x）在X上有界 （D） f’（x）在X上连续

答： C

1?2?xsin127．设f(x)??x??0则??(0)?（ ）

x?0x?0，g(x)?max{x,x?x3}，?(x)?f(x)g(x)，

（A）1； （B）0； （C）2； （D）不存在.

答：B

128．设f(x)在x0可导，g(x)在x0不可导，则f?g与f?g在x0处（ ）

（A）都不可导； （B）至多有一个不可导； （C）至少有一个可导； （D）都可导.

答：C

g(x)在x0可导，129．设f(u)在u0不可导，则复合函数f?g(x)与g?f(x)(u0?g(x0))，

（ ）

（A）都不可导； （B）至少有一个不可导； （C）至多有一个不可导； （D）不一定不可导.

答：D

f?(x) （ ） 130． 等式f??(x0)?lim?x?x0f?(x)存在时，成立； （A）一定成立； （B）当lim?x?x0（C）不一定成立； （D）当f?(x)在x0不连续时，不成立.

答：C

131．若函数f在(a,b)内可导，则导函数 f’ 在（a,b）内一定 (A) 连续 (B) 没有第一类间断点

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二、 一元函数微分学 第 28 页 共 28 页

(C) 没有第二类间断点 (D) A, B, C 均不正确 答：B

132．极限 limsin(?n?n) 等于

n??22 （A） 0 (B) 1 (C) ? (D) 不存在 答：B

133．设 x, y > 0, a >

（A） (x?y)aa（C） (x?y)aa1ab则

?(x?y) （B）(x?y)b1b1aa1a?(x?y)bb1b

1a?(xb?yb)b （D）A, B, C均不成立

答：B

134．设函数 f 在［a, b］上有定义， 且对任意 x1,x2?[a,b] 均有

|f(x1)?f(x2)|?(x1?x2)2. 则 f 等于

（A） sinx （B） cosx

（C） 常数 （D） A, B, C均不正确

答：C

135．设函数f(x),?(x),g(x)二 阶可导，且

lim1f(x?h)?(x?h)h?0hkf(x?2h)?(x?2h)f(x)?(x)g(x)g(x) g(x?2h)则k?()

A 1 B 2 C 3 D 4 答： C

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