甘肃省l兰州市第36中学2017年九年级数学中考模拟试卷(三)含答案

甘肃省l兰州市第36中学2017年九年级数学中考模拟试卷（三）含

答案

一、选择题

1.如图，在△PQR是⊙O的内接三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，BC∥QR，则∠AOR=（ ）

A．60° B．65° C．72° D．75° 【答案】D. 【解析】

试题分析：连结OD，如图，

∵△PQR是⊙O的内接正三角形， ∴PQ=PR=QR，

∴∠POR=×360°=120°，OP⊥QR， ∵BC∥QR， ∴OP⊥BC，

∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴OP⊥AD，∠AOD=90°， ∴弧AP=弧DP， ∴∠AOP=∠DOP， ∴∠AOP=×90°=45°， ∴∠AOQ=∠POQ-∠AOP=75°．

故选D.

考点：1.圆周角定理；2.垂径定理．

2.若关于x的方程x＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是（ ） A．a＜l B．a＞1 C．a≤1 D．a≥1 【答案】B 【解析】

试题分析：△=4-4a＜0，得a＞1． 故选：B

考点：一元二次方程根的判别式

3.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）

2

A．y=﹣2x B．y=2x C．y=﹣x D．y=x 【答案】C 【解析】

试题分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式

2

为：y=ax，利用待定系数法求解． 解：设此函数解析式为：y=ax，a≠0； 那么（2，﹣2）应在此函数解析式上． 则﹣2=4a 即得a=﹣， 那么y=﹣x． 故选：C．

【点评】根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．

4.如图，抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：

2

2

2

2222

①4ac＜b；

②方程ax+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x＜0时，y随x增大而增大 其中结论正确的个数是（ ）

2

2

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B． 【解析】

试题分析：由图象可知抛物线与x轴有2个交点，所以b﹣4ac＞0，所以①正确；再由抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），所以方程ax+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；因x=﹣

2

2

=1，即b=﹣2a，而x=﹣1

时，y＜0，即a﹣b+c＜0，所以a+2a+c＜0，即③错误；因抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），所以当﹣1＜x＜3时，y＞0，④错误；抛物线的对称轴为直线x=1，即可得当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故选B． 考点：二次函数图象与系数的关系．

5.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且∠DCE=∠B，那么下列说法中，错误的是（ ）

A．△ADE∽△ABC B．△ADE∽△ACD C．△ADE∽△DCB D．△DEC∽△CDB 【答案】C 【解析】

试题解析：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，∠BCD=∠CDE，∠ADE=∠B，∠AED=∠ACB， ∵∠DCE=∠B，

∴∠ADE=∠DCE， 又∵∠A=∠A， ∴△ADE∽△ACD；

∵∠BCD=∠CDE，∠DCE=∠B， ∴△DEC∽△CDB； ∵∠B=∠ADE，

但是∠BCD＜∠AED，且∠BCD≠∠A， ∴△ADE与△DCB不相似；

正确的判断是A、B、D，错误的判断是C； 故选：C．

考点：相似三角形的判定．

6.如图，已知AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A，点C是的中点，则下列结论不成立的是（ ）

A．OC//AE B．EC=BC C．∠DAE=∠ABE D．AC⊥OE 【答案】D 【解析】

试题分析：∵点C是的中点 ∴

=

∴EC=BC ∠CAE=∠CAB即∠BAE=2∠CAB ∵∠BOC=2∠CAB ∴OC//AE

∵ AB是直径 ∴∠BEA=90° ∴∠ABE+∠EAB=90° ∵AB是⊙O的直径，AD切⊙O于点A

∴DA⊥BA ∴∠DAB=90°即∠DAE+∠EAB=90° ∴∠DAE=∠ABE

所以A、B、C选项都正确，由于点D和点E的不确定性，D选项不一定成立(如下图).

考点：1、圆周角定理；2、弧、弦、圆心角定理；3、平行线的判定.

7.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系．直至水温降至30℃，饮水机关机．饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在上午第一节下课时（8：45）能喝到不超过50℃的水，则接通电源的时间可以是当天上午的（ ）

A．7：20 B．7：30 C．7：45 D．7：50 【答案】A. 【解析】

试题分析：∵开机加热时每分钟上升10℃，∴从30℃到100℃需要7分钟. 设一次函数关系式为：y=k1x+b，将（0，30），（7，100）代入y=k1x+b得k1=10，b=30. ∴y=10x+30（0≤x≤7）. 令y=50，解得x=2. 设反比例函数关系式为：将y=30代入

，解得

，将（7，100）代入，∴

（7≤x≤

）.

得k=700，∴

。

令y=50，解得x=14. ∴饮水机的一个循环周期为温不超过50℃. 逐一分析如下：

选项A：7：20至8：45之间有85分钟．85﹣选项B：7：30至8：45之间有75分钟．75﹣不可行；

×3=15，位于14≤x≤

时间段内，故可行；

时间段内，故

分钟．每一个循环周期内，在0≤x≤2及14≤x≤

时间段内，水

×3=5，不在0≤x≤2及14≤x≤

选项C：7：45至8：45之间有60分钟．60﹣内，故不可行；

选项D：7：50至8：45之间有55分钟．55﹣内，故不可行.

×2=≈13.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段

×2=≈8.3，不在0≤x≤2及14≤x≤时间段

综上所述，四个选项中，唯有7：20符合题意. 故选A.

考点：1.一次函数和反比例函数的应用；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.分类思想的应用. 二、解答题

1.如图，抛物线y=ax+bx+c经过A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点．

2

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．

（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】y=x﹣x+3；在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9；点M的坐标为（，）或（，）． 【解析】

试题分析：（1）把点A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；

（2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时

PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得；（3）分两种情况分别讨论，即可求得

2

试题解析：（1）由已知得解得． 所以，抛物线的解析式为y=x﹣x+3．

2

（2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC， ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，

∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）， ∴OA=1，OC=3，BC=

=5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9；

∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9．

（3）∵B（4，0）、C（0，3）， ∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b）， ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ=b， ∵MQ∥y轴， ∴△MQB∽△COB， ∴=，即

=，解得b=，代入y=﹣x+3得，=﹣a+3，解得a=， ∴M（，）；

②当∠QMB=90°时，如图3， ∵∠CMQ=90°， ∴只能CM=MQ， 设CM=MQ=m， ∴BM=5﹣m，

∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴=

，解得m=，

作MN∥OB， ∴==，即==， ∴MN=，CN=， ∴ON=OC﹣CN=3﹣=， ∴M（，），

综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）． 考点：二次函数综合题

2.如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，AC=FC．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）已知圆的半径R=5，EF=3，求DF的长． 【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

试题分析：连结OA、OD，如图，根据垂径定理的推理，由D为BE的下半圆弧的中点得到OD⊥BE，则∠D+∠DFO=90°，再由AC=FC得到∠CAF=∠CFA，根据对顶角相等得

∠CFA=∠DFO，所以∠CAF=∠DFO，加上∠OAD=∠ODF，则∠OAD+∠CAF=90°，于是根据切线的判定定理即可得到AC是⊙O的切线；由于圆的半径R=5，EF=3，则OF=2，然后在Rt△ODF中利用勾股定理计算DF的长．[来

试题解析：（1）证明：连结OA、OD，如图，∵D为BE的下半圆弧的中点，∴OD⊥BE，∴∠D+∠DFO=90°，

∵AC=FC，∴∠CAF=∠CFA，∵∠CFA=∠DFO，∴∠CAF=∠DFO，而OA=OD，∴∠OAD=∠ODF， ∴∠OAD+∠CAF=90°，即∠OAC=90°，∴OA⊥AC，∴AC是⊙O的切线； （2）解：∵圆的半径R=5，EF=3，∴OF=2，在Rt△ODF中，∵OD=5，OF=2， ∴DF=

．

考点：切线的判定

3.计算:(π﹣4)+|3﹣tan60°|-()+【答案】

0

﹣2

．

【解析】试题分析：根据零指数幂的性质、绝对值的性质、负整数指数幂的性质、二次根式的化简方法依次计算各项后，合并即可. 试题解析： 原式=1+3﹣4+3

2

=．

4.解方程:3x＋2x＋1=0. 【答案】原方程没有实数根．

【解析】试题分析：利用公式法解方程即可. 试题解析：

∵a＝3，b＝2，c＝1， ∴b－4ac＝4－4×3×1＝－8<0. ∴原方程没有实数根．

5.如图,在每个小正方形的边长均为1的方格纸中,有线段AB,点A、B均在小正方形的顶点上.

2

（1）在方格纸中画出以AB为一边等腰△ABC,点C在小正方形顶点上,且△ABC面积为6. （2）在方格纸中画出△ABC的中线BD,并把线段BD绕点C逆时针旋转90°,画出旋转后的线

段EF（B与E对应，D与F对应），连接BF，请直接写出BF的长．

【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析.BF=5

【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质画出图形即可；(2)根据图形旋转的性质画出线段EF，再根据勾股定理求得BF的长即可. 试题解析：

（1）如图所示，△ABC为所求三角形； （2）如图所示，EF为所求的线段，BF=\．\

6.（本题8分）某班“2011年新春联欢会”中，有一个摸奖游戏，规则如下：有4张纸牌，背面都是喜羊羊头像，正面有2张笑脸、 2张哭脸．现将4张纸牌洗匀后背面朝上摆放到桌上，然后让同学去翻纸牌．

（1）现小芳有一次翻牌机会，若正面是笑脸的就获奖，正面是哭脸的不获奖．她从中随机翻开一张纸牌，小芳获奖的概率是 ．

（2）如果小芳、小明都有翻两张牌的机会．小芳先翻一张，放回后再翻一张；小明同时翻开两张纸牌．他们翻开的两张纸牌中只要出现笑脸就获奖．他们获奖的机会相等吗？请说明理由．

【答案】（1）（或填0.5）．………………………………………………………2分 （2）他们获奖的机会不相等……………………………………………………………3分 P（小芳获奖）=………………………………………………………………………5分 P（小明获奖）=………………………………………………………………………7分 因为

，所以他们获奖的机会不相等……………………………………………8分

【解析】略

7.如图,一艘轮船以18海里/时的速度由西向东方向航行,行至A处测得灯塔P在它的北偏东60°的方向上,继续向东行驶20分钟后,到达B处又测得灯塔P在它的北偏东45°方向上,求轮船

与灯塔的最短距离．（精确到0.1，≈1.73）

【答案】轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．

【解析】试题分析：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意可得AB=6海里，BC=PC，在Rt△PAC中，tan30°==，由此求得PC的长，即可得轮船与灯塔的最短距离． 试题解析：

解：过点P作PC⊥AB于C点，即PC的长为轮船与灯塔的最短距离，根据题意，得 AB=18×=6，∠PAB=90°﹣60°=30°，∠PBC=90°﹣45°=45°，∠PCB=90°， ∴PC=BC，在Rt△PAC中，tan30°=解得PC=3

=

，即=

，

+3≈8.2（海里），∴轮船与灯塔的最短距离约为8.2海里．

三、填空题

1.在矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∠BED的角平分线EF与DC交于点F，若AB=9，DF=2FC，则BC= ．（结果保留根号）

【答案】6【解析】

+3

试题分析：先延长EF和BC，交于点G，再根据条件可以判断三角形ABE为等腰直角三角形，并求得其斜边BE的长，然后根据条件判断三角形BEG为等腰三角形，最后根据

△EFD∽△GFC得出CG与DE的倍数关系，并根据BG=BC+CG进行计算即可．延长EF和BC，交于点G

∵矩形ABCD中，∠B的角平分线BE与AD交于点E，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=9，

∴直角三角形ABE中，BE=∴∠BEG=∠DEF

=，又∵∠BED的角平分线EF与DC交于点F，

∵AD∥BC∴∠G=∠DEF∴∠BEG=∠G∴BG=BE=

=9+2x+x 解得x=

由∠G=∠DEF，∠EFD=∠GFC，可得△EFD∽△GFC∴设CG=x，DE=2x，则AD=9+2x=BC ∵BG=BC+CG ∴∴BC=9+2（﹣3）=

考点：（1）矩形的性质；（2）等腰三角形的判定；（3）相似三角形的判定与性质 2.已知x+3x+5的值为11，则代数式3x+9x+12的值为 . 【答案】30. 【解析】

试题分析：因为x+3x+5=11，所以x+3x=6，代数式3x+9x+12=3（x+3x）+12=3×6+12=30.故答案为30. 考点：代数式求值.

3.如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点是B，AO的延长线交⊙O于点C，若∠BAC=30°，则劣弧

的长为_____．

2

2

2

2

2

2

【答案】

【解析】已知AB是⊙O切线，根据切线的性质可得AB⊥OB，即可得∠ABO=90°， 再由∠A=30°， 可得∠AOB=90°﹣∠A=60°， 所以∠BOC=120°， 所以

的长为

.

点睛：本题主要考查了切线的性质和弧长的计算公式，计算出∠BOC的度数是解决本题的关键. 四、单选题

1.下列函数中，①y=1-x；②y=

2

；③y=x(1-x)；④y=(1-2x)(1+2x)，是二次函数的有( )

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C

【解析】把关系式整理成一般形式，根据二次函数的定义可得①③④是二次函数，故选C.

2.下列三个命题中，①对角线相等的四边形是矩形；②三个角是直角的四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形．是真命题的有（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】B

【解析】对角线相等的平行四边形是矩形，①错误；三个角是直角的四边形是矩形，②正确；有一个角是直角的平行四边形是矩形，③正确，所以真命题有2个故选B.，

3.如图,反比例函数y1=mx图象与正比例函数y2=nx图象交于点（2,1）,则使y1>y2的x取值范围是（ ）

-1

A．0＜x＜2 B．x＞2 C．x＞2或﹣2＜x＜0 D．x＜﹣2或0＜x＜2 【答案】D

【解析】根据函数对称性可得反比例函数y1=mx图象与正比例函数y2=nx图象的另一个交点坐标为（-2，-1），观察图象可得使y1>y2的x取值范围是 x＜﹣2或0＜x＜2，故选D. 4.在△ABC中,(tanA﹣

)+|

2

-1

﹣cosB|=0,则∠C的度数为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．75° 【答案】D

【解析】根据非负数的性质可得tanA=

，cosB=

，根据特殊角的三角函数值可得

∠A=60°，∠B=45°，再由三角形的内角和定理可得∠C=75°，故选D.

5.如图,已知∠α的一边在x轴上,另一边经过点A（2，4）,顶点为（﹣1，0）,则sinα的值是（ ）

A．0.4 B．【答案】D

C．0.6 D．0.8

【解析】过点作AC⊥x轴于点C，由题意可得AC=4，BC=1+2=3，根据勾股定理可求得AB=5，所以sinα=

=\，故选D.

6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB=5，AC=6，过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，则△BDE的面积为________．

【答案】24

【解析】已知AD∥BE，AC∥DE，可得四边形ACED是平行四边形，根据平行四边形的性质可得AC=DE=6，根据菱形的性质可得OA=OC= AC=3，在RT△BCO中，BO=可得BD=8，因△BDE是直角三角形，即可得S△BDE= DE?BD=24．

=4，即

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