函数极限求解方法的研究

渤海大学本科毕业论文（设计）

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

学 院（系）： 数理学院 专 业： 数学与应用数学（师范） 学 号： 学 生 姓 名： 入 学 年 度： 2011年 指 导 教 师： 完 成 日 期： 2015年4月19日

渤海大学

Bohai University

函数极限求解方法的研究

摘要

函数极限是高等数学的重要构成部分，是探究微积分的基础，因此对求解函数极限方法的探究就成了我们研究高等数学必经之路.求解函数极限方法的方法众多，例如: 利用函数极限的定义、连续性、两个重要极限、泰勒公式、洛必达法则、级数收敛性等方法.

本文系统地介绍了如何利用定义法、函数连续性、两个重要极限、无穷小量及等价无穷小代换、洛比达法则、级数、泰勒公式、定积分等求函数极限的技巧和方法，分析了不同方法之间的特点并结合相应的例子，指出了在求解函数过程中遇见的一些常见问题。

关键词: 函数极限; 洛必达法则; 无穷小量及等价无穷小代换；级数收敛性

函数极限求解方法的研究

The Subject of Undergraduate Graduation Project (Thesis)

of Study on the method of function limit

Abstract

We know that the function limit is the important part of higher mathematics, is the basis of research on mathematical analysis and differential and integral calculus. Therefore, explore to the method of solving the function limit is our path to study the higher mathematics,the method to solve the function limit of many laws, such as: use the definition of function limit, continuity, two important limits, Taylor formula, Hospital laws, series convergence and so on.

This paper systematically introduces the using the method of definition, function continuity, two important limits, dimensionless and equivalent infinitesimal substitution, than to rule, series, Taylor formula, the technique and method of definite integral, etc for function limit, and combined with the corresponding examples, points out the some of the common problems met in the process of solving function.

Key words: Function limit; Hospital laws; Dimensionless and equivalent infinitesimal substitution; The series convergence

函数极限求解方法的研究

目录

摘要 ............................................. 错误！未定义书签。 Abstract ........................................................ III 引言 .............................................................. 1 1. 用定义法求函数的极限 ........................................... 2 2. 利用连续性求函数极限 ........................................... 4 3. 利用四则运算法则求函数的极限 ................................... 5 4. 利用两个重要极限求函数的极限 ................................... 6 5. 利用夹逼准则求函数的极限问题 ................................... 7 6. 利用洛必达法则求函数的极限问题 ................................. 8 7. 利用无穷小的性质及等价无穷小代换求函数的极限 .................. 10 8. 利用归结原则及柯西准则求 ...................................... 12

1、归结原则 ................................................... 12 2、柯西准则 ................................................... 12 9. 利用级数求解函数极限问题 ...................................... 13

1、利用收敛数通项趋向零 ....................................... 13 2、利用收敛级数余项趋向零 ..................................... 13

3、利用级数?xn?xn?1的收敛性 ................................. 13

n?1?10. 利用中值定理及泰勒定理求函数的极限问题 ....................... 14 1、柯西中值定理 ............................................... 14 2、积分中值定理 ............................................... 15 11. 利用泰勒定理求函数的极限问题 ................................. 15 12. 利用定积分求函数的极限问题 ................................... 17 结论 ............................................................. 19 参考文献 ......................................................... 20

函数极限求解方法的研究

引言

我们都知道数学分析的研究对象是函数，而研究函数的主要方法便是通过对极限的的探究，故函数极限的学习一直是研究数学分析的重要内容之一。同时函数极限又是微积分的基础理论之一，因而可以说高等数学作为一门基本的学科便是通过极限来研究函数的，函数极限贯穿了高等数学学习的始终，离开了极限的思想高等数学就失去了基础的价值。

通过我们对求解函数极限方法的总结会发现，求解函数极限的方法众多。本文是在考虑函数极限存在的前提下撰写的，下面介绍一下如何通过定义、连续性、两个重要极限、夹迫定理、洛必达法则、泰勒公式、中值定理、无穷小及其等价变换、级数、定积分等方法来求函数的极限问题，从而帮助大家系统的掌握如何求解极限问题的方法。

通过对这些方法的学习，我们会发现求解极限的方法并不是一成不变的，并且方法众多灵活多变，每一种方法都有其优缺点，有其试用范围。只要一个函数极限存在，总会有一种或多种方法能用来求解它，希望通过以下给出的这些例题能够让我们更好的确定如何选取恰当的方法来求取函数的极限问题。当然以下只是列举了大部分函数的求解方法，求解函数极限方法并不只限这几种方法，还需要我们不断的去领悟、去体会。

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1. 用定义法求函数的极限

用极限的???定义或??X定义证明函数极限问题时，关键的一点是找出?或X，必要时可先将x限定在某一取值范围之内再进行讨论.

定义1 设f为定义在?m,???上的函数，A为定数，如果对任给的??0存在正数X(?m)，使得当x?X时有

f(x)?A??, 则称函数f当x趋于??时以A为极限，记作

limf(x)?A 或 f(x)?A(x???)

x?? 下面列举两个应用??X定义来求取函数极限的例子.

例1 证明 limarctany??y????2 .

证： 任给??0，因为

arctany?(?)?? 2?所以可以得出

????2?arctany????2, 由于不等式的左半部分对任何y都成立，故只需考察其右半部分y的变化范围即可.由此，可先限定???2，则可得

y?tan(??)?tan(??) 22??所以对任意的正数??arctayn??(2?，只需取M?tan(??，)则当y??M时便有22???)?成立.则此题得证.

1 .

z???2 证: 设z?0.对???0，由于 例2 证明 lim(z2?z?z)?1(z?z?z)??221z?z2?z?=

22z?z?z22(z?z?z)zz2?z?z2(z?z?z)2 =?z2?2z?1?z1?,

2z2z

2

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故可取X?1,则当z?X时有 2?(z2?z?z)?1??, 2即得

1.

x???2定义2（函数极限的???定义） 设函数f在点x0的某个空心邻域U0(x0,?')lim(z2?z?z)?内有定义，A为定数，若对任给的??0，存在正数??(?'),使得当0?x?x0??时有f(x)?A??，则称函数f当x趋于x0时以A为极限，记作

x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A(x?x0)

下面列举一些应用???定义来求取函数极限的实例，通过这些实例我们来了解下如何利用???定义求函数极限。

z2?1?2. 例3 证明 limz?2z?1证：由于

z2?1?2?z?1 z?1z2?1故对 ???0, 取???， 则当0?z-1?? 时 ，有 ?2=z?1??.

z?1故此题得证.

例4 证明 lim?2y?2??6.

y→2 证:对???0，由 (2y?2)?6?2y?2??成立， 解得

y?2??2

故取?=所以

?2,于是????2,对?x有0?y?2?? ,因此

?2y?2?－6??,

lim?2x?2??6.

y→1注1. 一般情况下，我们需要先对f(x)?A进行估计，从而得到

f(x)?A?Lz?z0,

这里的L往往是与z0有关的一个常数，当然这个估计也大多是在给定的一个z

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（比如z?z0?1）的前提下得出的。

注2.?的取值的确定一般都要依赖于?，但是?并不是决定?值的唯一的条件。在例4例中就把?取得更小了一些，这取决于函数式放缩的程度。一般在运算中我们为了求解方便可采用适当放大的方法，但需要注意的是这种放大必须要做到“适度”，这样才能根据给定的?来确定，同时还要注意此题中L不一定非要是整数，只要是正数就可以.

注3. 函数在所求点的极限与函数在此点是否连续无关，函数极限表示的是自变量趋向某点时函数值的变化规律.

综上可得，虽然我们可以通过定义法求解一些函数极限过程，但并不可能每一道题都可以通过直接观察就可以总结出极限值，因此这种方法存在一定的局限性，不适合较为复杂的题目。

2. 利用连续性求函数极限

由于一切初等函数在其定义域范围内都连续，所以求初等函数在其定义域内某点x0处的极限，可直接用lim f(x)?f(x0)来求取。

x?x0但是若x?x0，则函数f(x)在点x0是间断点，不能直接代入数值计算。而应根据具体函数的特征，对它进行适当的变形，这样再去利用函数的连续性求极限即可。

下面举个具体的例子来探讨一下，如何利用连续性来求函数极限的问题.

y2?2y?5例1 求极限lim.

y??1y2?1解：

2y2?2y?5（?1）?（2?1）?5lim??2. 22y??1y?1（?1）?1注1.由连续性可知如果函数f(y) 在 y?y0 点连续，就有limf(y)?f(y0).且

y?y0y2?2y?52（??，??）是有理函数，分母是上y?1?0(?y?(??,??).因此，它是2y?1的连续函数.

注2.若可找到一个以y0为极限的数列?yn?，使limf?yn?不存在，或找到两个都

n??以y0为极限的数列?yn'?与?yn''?，使limf?yn'?与limf?yn''?都存在而不相等，则

n??n??y?y0limf?y?不存在．

综上所述,这个方法对初等函数特别重要,因为初等函数在其有定义的点都连续,所以求初等函数当自变量趋于有定义的点的极限时,又等于求该点的函数值.

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3.利用四则运算法则求函数的极限

定理3.1(四则运算）若函数f(x)与g(x)在a都收敛，则函数f(x)?g(x),

f(x)g(x),

f(x)(g(x)?0) 也收敛，且 g(x)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x) ;

x?ax?ax?a limf(x)g(x)?limf(x)?limg(x) ;

x?ax?ax?af(x)f(x)limx?a? ,其中 lim g(x)?0. limx?ag(x)x?alimg(x)x?a利用四则运算法则求函数极限时要注意以下两点：

(1)首先只有当limf(x)和limg(x)都存在时才可以使用此定理，否则定理无

x?ax?a效。 比如f(x)?11,g(x)??. xxx?ax?ax?a (2)若由此定理可推得：lim?f(x)?g(x)?=limf(x)?limg(x),而limf(x)和

x?alimg(x)都不存在，则可得出，lim?f(x)?g(x)?也不存在的错误结论.然而

x?ax?alim?f(x)?gx(?)=. 0x?a所以在使用四则运算法则求函数极限时，一定要注意(1)(2)的限制条件。 下列是用四则运算法则求极限的例子.

例1 利用四则运算法则求下列极限

（1）lim（1?y)1?n(1?y)(1?3y)... (1?ny), n?2为正整数.

y?11?y1?3y1?ny解: 原式?lim?...y?11?y1?y1?y ?limy?11?y(1?y)(1?y)(1?y)(y?y?1)3323?1?3y...1?ny(1?ny)(nyn?1?...?ny?1) ?4 （2）lim解:

x?161.n !x?2. x?4

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4x?2(4x?2)(4x?2)1??, 44x?4(x?4)(x?2)x?24x?16所以

limx?211?lim4?. x?4x?16x?244.利用两个重要极限求函数的极限

我们知道两个重要极限及其变形形式为 1.两个重要极限:

sinx(1)lim?1; x?0x1(2) limnsin?1.

n??n

2.两个重要极限的变形形式：

1（1）lim(1?)x?e;

x??x1（2）lim(1?n)?e.

n??n注: 一般采用两个重要极限首先应该采用换元法和配指数的法,把所给函数化为两个重要极限或它的变形形式,进而利用两个重要极限或其变式形式进行求值计算.

下面我们通过一些例子来了解一下两个重要极限及其变形在求函数极限中的应用.

例1 求极限 limcosz?ez?0z4?z22.

解：本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解，考虑到极限公式的分母为z4,我们用麦克劳林公式表示极限的分子（取n?4）

z2z4cosz?1???o(z5),

224e?z22z2z4?1???o(z5),

28?z22cosz?e因而求得

z4???o(z5). 12limcosz?ez?0z4?z2214z?o(z5)1?lim124??. z?0z12?

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1??例2 limm?e?(1?)m（要求不用(北京大学). Hospital法则）?y?0m??解： ?1?y??e1yln(1?y)yy??ey2?o(y2)2y?ey1???(y)2,

e??1?y?1?e故原式=lim?elimy?0y?0yy1yy??o?y?2e?. 25.利用夹逼准则求函数的极限问题

夹逼准则：设函数f(x)、g(x)和h(x)满足f(x)?h(x)?g(x)且

limf(x)?limg(x)?Ax?x0x?x0

0且在某U（内有定义. x0;??）注:用迫敛性求极限limh(x)，关键就是要将函数h(x)放大及缩小成f(x)与g(x),

x?x0即使得f(x)?h(x)?g(x),x?U0(a,?)成立，且limf(x)与limg(x)易求并且相等，那

x?ax?a么根据夹逼准则就可以求出limh(x).

x?x01??1???1?例1 求limz?????表示不大于的最大整数?.

z?0z?z???z??解 ：

1?1?1 ?1????(z?0时），zzz???1??1? 1?z?z???1，当z?0时，1?z?z???1，故 由此当z?0时，?z??z??1?limz???1. z?0?z?例2 求lim(1?2?3).

m??m1mm（1+2+3）?3?3, 解：由于3?m1mm1m而lima?1(a?0).故由夹逼原理知，lim(1?2?3)?3.

m??m??1mm1mm由以上两例可得用迫敛性求函数极限，关键在于视具体问题选择灵活的方法对变量进行合理的缩放。

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6.利用洛必达法则求函数的极限问题

0定理6.1（型未定式，x?a）设函数f(x)、g(x)在a点邻域内有定义（点a本

0身可以除外），且满足：

(1) limf(x)?0, limg(x)?0,

x?ax?a(2)f(x)、g(x)在点a的一某邻域内（a本身可以除外）均可导，且g(x)'?0,

则当 limx?af'(x)f(x)存在（或为?）亦存在（或为?）时lim，且

x?ag(x)g'(x)f(x)f'(x)lim=lim. x?ag(x)x?ag'(x)?定理6.2 （型未定式，x?a）设函数f(x)、g(x)在点a邻域内有定义（点a本身

?可以除外），且满足：

（1） limf(x)??, limg(x)??，

x?ax?a（2)f(x)、g(x)在点a的一某邻域内（a本身可以除外）均可导，且g(x)'?0, 则当 limx?af'(x)f(x)存在（或为?）时lim， 亦存在（或为?）x?ag'(x)g(x)f(x)f'(x)=lim且 lim.

x?ag(x)x?ag'(x)注1：利用洛必达法则求未定式的极限,是一种简便而又有效的方法,前面出现的许多极限都可以利用此法则.但使用时,要注意适当地化简、换元,并与前面的其他方法互相结合使用,这样便可大大的简化极限的运算。

注2：虽说用洛必达法则是求极限的一种简单而有效的方法，但是使用时必须注意几下几点：

1）每次在使用洛必达法则之前，务必考查它是否属于七种不定型，否则不能用；

x?sinx2）一旦用洛必达法则算不出结果，不等于极限不存在。例如lim?1，

x???x?cosx就是如此.这是因为洛必达法则只是充分条件，而不是必要条件；

3）洛必达法则是求不定型极限最常用的方法，而且几种常用的等价关系，也变得十分明显易记.如x?0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?x)~

ax?1(1?x)??11~(a?0,??0),以及x2~(1?cosx)等皆如此. lna?2?4）型的洛必达法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子不趋向?没有?

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关系。

5)洛必达法则可重复使用，但每次使用之前，都要考察条件，一旦发现不是不定式，就要停止使用。

下面列举一些具体的利用洛必达法则解决函数极限的问题.

?11? 例1 求极限lim???.

z?0ln(1?z)z?? 解：将其化简得

11z?ln(1?z)0（故为型可用洛必达法则） ?=ln(1?z)zzln(1?z)0（z?ln(1?z))?(z)?原式=lim?lim?z?0(zln(1?z))?z?0?(1?z)ln(1?z)?z? ?lim11?.z?0ln(1?z)?2211?cosy

?siny? 例2 求极限lim??y?0?y?.

0 分析：先将其化简，显然是故如1）可用洛必达法则。

0???siny1?lny?1?cos?siny?y1siny? 解：limln??limln=lim??y?0y?01?cosyy?0y2y?y?()?2ycosy?siny(ycosy?siny)??lim?lim?y?0y2siny y?0 y3??

故可得原式?e. ek 例3 求极限lim3.

k???k?13?lim?ysiny1??. 2y?03y3 解: 因为limek?limk3???，并有?ek?'?ek，?k3?'?3k2?0，

k???k???因此由洛比达法则可得

ekeklim?lim2， k???k3k???3k由于函数f?k??ek，g?k??3k2均满足洛比达法则的条件，故再次利用洛比达法则得

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ekekekeklim?lim2?lim?lim??? k???k3k???3kk???6kk???6注3：尽管洛必达法则是求未定式极限的一种非常有效的方法，许多极限题目用了洛必达法则能很快得出结果，但是必须指出的是该法则并不是万能的。对有些题目如使用法则求导后出现极限不存在的现象，法则就失效了，应改用其它求极限方法。

11例如:当y?0时，函数中含有sin或cos时或当y??时函数中含有

yysiny或cosy时.

以上提到的几点关于应用洛必达法则的注意，对我们掌握洛必达法则法则求函数极限，有一定的所帮助。但由于所举例题有限，不可能将各种情况都提到。如果使用洛必达法则解题时，过程越来越烦且前景不太乐观，就要即使停止，改用其他方法。因此在碰到具体问题时，还需根据实际情况灵活应用洛必达法则及其他方法求出其极限。

7.利用无穷小的性质及等价无穷小代换求函数的极限

有限个（相同类型）无穷小的和、差、积仍有无穷小，有界变量与无穷小的积为无穷小。常用的等价无穷小：当x?0时有

sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,ax?1~xlna,ex?1~x,

ln(1?x)~x,1?cosx~当x?1时有lnx~x?1.

12nxx,1?x?1~,(1?x)a?1~ax. 2n等价代换定理：设x?x0时有f(x)~g(x),则

limf(x)h(x)?limg(x)h(x)；limx?x0x?x0x?x0h(x)h(x)?lim. x?x0f(x)g(x)利用无穷小性质求下列极限.

13sinz?z2cosz. 例1 limz?0(1?cosz)ln(1?z)3sinz?z2cos解：原式=limz?0ln(1?z)1z?11?lim1?cosz2z?03sinz?z2cosz1z

1?sinz1?13 =?lim3??limzcos???3?0??.

z?02?z?0zz?22

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cosy?3cosy 例2 lim. y?0sin2y? 解:原式?limy?0cosy?1???y23cosy?1??limy?03cosy?1cosy?1?lim y?0y2y2 ?limy?0cosy?1y2??cosy?1????limy?0y2??cosy?132cosy?3cosy?1???

?limy?0y212y2?limcosy?1y?0y212y12??.

312cos2y?3cosy?1 例3 lim ln(1?3x)ln(1?1x).

x???11 解:当x?+?时，ln(1+)?,所以

xx11111lim ln(1?3x)ln(1?)=lim ln[3x(1?x)]?=lim [ln3x?ln(1?x)]? x???xx???3xx???3x =lim [x?ln3x?ln(1?x???1111x)]?=lim [x?ln3?ln(1?)]? xxx???3x3x =lim ln3x? limx???ln(1?x???11)3x= ln 3 +lim3x

n??xx =ln 3

注1：等价无穷小因子替换只能在极限的乘除运算中使用，不能随意在极限的加减运算中

使用，否则常会出错。

tank?sink比如：在极限lim 时，若由k?0时，sink?k,tank?k, 2k?0sinktank?sink则lim =0. 2k?0sink而

1k?k2sink(1?cosk)2?lim1=1 lim =limk?0k?0k??0coskcosksink3k32由此可见对于此题中加减法中使用等价替换是错误的。

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8.利用归结原则及柯西准则求函数的极限问题

（1)归结原则

x?x0limf(x)?A?对任何xn?x0(n??)有limf(xn)?A.若存在

x?x0n??'xn?x0(n??)，使得limf?xn?不存在；或存在xn?x0，xn?x0(n??), 使得'limf?xn?与limf?xn?都存在但不相等，则极限limf?x?不存在. n??n??n??（2)柯西准则

limf?x?存在?对???0，???0，对?x'，x\?U0(x0;?)有

n??f(x?)?f(x??)??,limf?x?不存在???0?0，对

n?????0,?x?,x???U0(x0;?),使得f(x?)?f(x??)??0.

利用归结原理及柯西准则解题的实例。 例

?x?x01 设f(x)在点x0的某空心右邻域U0?（x0;??）内有定义。证明：

limfx?(A)?对任意以x0为极限的递减数列

证明：

f(x)?A,则???0(????),当x0?x?x0?? 时有 “?” 对???0,因为lim?x?x0f(x)?A??,又limxn?x0且?xn??U0?(x0;??),则对上述的??0,存在正整数N，当n?N时，n??有x0?x?x0?? ，从而有f(x)?A??，即limf(xn)?A.

n??0?f(x)?A，“?”若lim则???0,对???0,?x?U?(x0;?),使得f(x?)?A??0. 0?x?x0取?1???，则?x1?U0?(x0;?1),使得f(x1)?A??0;

????取?2?min?,x1?x0?，则?x2?U0?(x0;?2),使得f(x2)?A??0;

?2?????取?n?min?,xn?1?x0?，则?xn?U0?(x0;?n),使得f(xn)?A??0;

?n?显然

?xn??U0?(x0;??)且?x0?单?x?x0调递x减f(xn)于?a??00,但趋，即

ln??矛盾，因此limf(xn)?A. if(xmn)?A，例2 设D(x)为狄利克雷函数，x0?R，证明极限lim?D(x)不存在

x?x0分析：证明函数极限不存在的方法一般有如下两种：一是利用柯西收敛准则的否定形式；二是归结原则的否定形式。

证明：方法1：利用柯西准则的否定形式

取?0?1，对???0及x0?R,由实数的稠密性知，存在x?,x???U0(x0;?)使2?0

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函数极限求解方法的研究

得?x?x0x?,x??一个是有理数，一个是无理数，于是有D(x?)?D(x??)?1??0从而limD(x)不存在。

方法2：利用归结原则的否定形式

?对?x0?R,存在趋于x0的有理数列xnx?x0?? 及无理数列

????xn,使得

???1D??D?xn,?x(n??0(从而lim),?D(x)不存在。 n??9.利用级数求解函数极限问题

数项收敛的必要性：若级数?un收敛，则un?0(n??)。运用这个方法首

n?1先判定级数?un收敛，然后求出它的通项的极限。

n?1 利用级数求级数的常见方法： （1）利用收敛数通项趋向零

例1 求下列极限limxm，其中xm?m??m5m?m!?2m?m（天津大学）.

mm?1xm?15??m?1?!?2m?5?m?解:因为???? m?1mxm?2m?2??5m!2?m?1? ?515??1（当m??时）. m2?2e1?1????m?故正项级数?xm收敛，从而通项xm?0（当m??时）.

m?1? (2）利用收敛级数余项趋向零

?111?例2 求lim?2?. ?...?22?n??n?n?1??2n?????解：因级数?1收敛，因此其余项 2kk?1Rn?1?0（当n??时） ?2kk?n?1??0?111， ?????Rn?1?0（当n??时）

n2(n?1)2(2n)2故原极限为零（用Cauchy准则也行）. （3）利用级数?xn?xn?1的收敛性

n?1?

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?n若?xn?xn?1收敛，则x1也收敛，因此xn=??xk?xk?1?+x1极限存在（当n??n?1k?1时）。

例3 设xn?1? 证：xn?xn?1?11?...??lnn,证明xn收敛.

2n1??lnn?ln(n?1)? n对lnn?ln(n?1)利用Lagrange中值公式

lnn?ln(n?1)?1,其中n?1??n?n

?n因此有

xn?xn?1??n??n1， ?n??n(n?1)2?n1而?收敛，故?xn?xn收敛，从而xn??(xk?xk?1)?x1也收敛. 2n?1(n?1)n?1k?1 综上所述求极限求正无穷小量的极限时，采用此方法较简便。对于一个具求极限的问题，可能有多种方法都能解决，这就要求我们选择恰当的方法，以取得事半功倍的效果。

10.利用中值定理求函数的极限问题

10.1柯西中值定理

若函数f 和g满足如下条件：

(1)在闭区间[a,b]上都连续； (2)在开区间(a,b)上都可导； (3)f(x)'和g(x)'不同时为零； (4)g(a)?g(b),

（a,b），使得 则存在一点??f?(?)f(b)?f(a)?. ?g(?)g(b)?g(a)注1：利用中值定理可以求一些函数极限，但适应面较窄。

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函数极限求解方法的研究

10.2积分中值定理

定理10.1（积分第一中值定理) 若f在[a,b]上连续，则至少存在一点

??[a,b],使得?f(x)dx?f(?)(b?a).

ab 注2：对于求含积形式的极限可以利用积分中值定理把它转化成无积分的一般极限。进而可以采用相应的方法求出结果。 下面是利用它们求极限的实例。

例1 求极限 limt?0t22cost?et4?.

解:本题可用洛必达法则求解（较繁琐），在这里可应用泰勒公式求解，考虑到极限式的分母为t4，我们用麦克劳林公式表示极限的分子（n?4）

tt??t2t4t2t4t45522cost?1???o(t)，e?1???o(t)，cost?e???o(t5).

224281222因此得

14t?o(t5)cost?e112. lim?lim??44t?0t?0tt12t22?1例2 求极限lim??y??001?y?212dy.

解：由积分中值定理知

??0lim??11 dy=（?介于0和1之间）22?y?2??01所以

??0lim??111. dy?lim?22??0????2?y+22011.利用泰勒定理求函数的极限问题

定理11.1（ 泰勒定理）

若函数f 在点x0存在直至n阶导数，则有f(x)?Tn(x)?o((x?x0)n)，即

f??(x0)f(n)(x0)2f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)???(x?x0)n?o((x?x0)n).

2!n!f(x)0?对于所求极限lim是或型未定式这种类型，当f(x),g(x)的导数计算较

x?ag(x)0?

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复杂而易求f(x),g(x)的泰勒公式时，则可用泰勒公式求极限limx?af(x)。 g(x)注1：利用泰勒公式求极限

用麦克劳林公式计算某些不定式极限时十分有效，它不像洛必达法则，分子、分母每求一次导数，分子、分母的无穷小阶数都只减少一次，而利用麦克劳林公式可以马上得到分子、分母的无穷小阶数，然后可直接迅速地得到答案。 注2：对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛比达法则更为方便，下列为常用的展开式

t2tn1.e?1?t??????o(tn)

2!n!tt3t5t2n?1n?12.sint?t??????(?1)?o(t2n)

3!5!(2n?1)!2nt2t4nt3.cost?1??????(?1)?o(t2n?1) 2!4!(2n)!nt2n?1t?o(tn) 4.ln(1?t)?t?????(?1)2n5.(1?t)??1??t?6.

?(??1)2!t2????(??1)?(??n?1)n!tn?o(tn)

1? 1?t?t2????tn?o(tn) 1?t上述展开式中的符号o(xn)都有

o(tn)limn?0. t?0t例1 求极限limt?0et22?cost－?2.

t40型未定式，满足洛必达法则求极限.如果直接0分析：当t?0时，此函数为

用洛必达法则过程十分复杂，所以先用泰勒公式将分子展开再去求极限。

解： 由

24?ttt1????(t4)?e2?＝?28 ?24?cost?1－?t?t??(t4)?2!4!?2得

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t22et4?cost?2???(t4)

6故

limt?0et22t4??(t4)?cost－?216. ?lim?44t?0tt6例2 求下列极限

1??. limn?e?(1?)n（要求不用Hospital法则）?x???n??1xln(1?x)xx?x2?o(x2)2xx1??o(x)2解：（1?x）?e?e?e

1x??o(x)1?e2ex ?lim?elim?.

x?0x?0xx2综上利用泰勒公式计算极限有3个问题需要解决：

e?(1?x) 1.是在哪个点对函数进行泰勒展开； 2.是泰勒展开到第几次幂结束； 3.是展开式中需要哪种余项形式．

在计算未定式极限时，一般都是利用已知的的麦克劳林公式，不需要对余项进行估计，因此只需皮亚诺型余项即可．对于泰勒展开，展开到几次幂结束，一般是展开到展开系数不能相互抵消为止。

12.利用定积分求函数的极限问题

由定积分的定义知，若f?x?在?a,b?上可积，则可对?a,b?用某种特定的方法

并取特殊的点，所得积分和的极限就是f?x?在?a,b?上的定积分．因此，遇到求一些和式的极限时，若能将其化为某个可积函数的积分和，就可用定积分求此极限．这是求和式极限的一种方法． 注：用定积分求极限

(1) 根据变量的特征，借助定积分的几何意义，获得简捷的解题方法。 (2)若遇到某些求和式极限问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限，关键在于根据所给和式确定被积函数以及积分区间。 例1 求下列极限

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（1）lim(n??111??...?) n?1n?2n?nn??1dx1???ln2. 0in1?xi?11?nn解：（1）原式?lim?n1? （2）limn??(n?1)...(n?n)

n11n?i??ln(1?x)dx?2ln2?1 ?ln?1?????ni?1?n?n???0解：取对数后变为（积分和里?i选右端点）

故

原式?e2ln2?1?4. e?1?11????? 例2 求limm?. 222?m???m?m?????m?1??m?2?? 解：

?1?11limm?????? 222?m???m?m?????m?1??m?2??????111??1 ?lim??????222m???1??2???m??m??1???1???1????m????m??m? ?lim?m??i?1m1i??1????m??21． m因为函数f?t??1?1?t?2是区间?0,1?上的一个积分和，所以

?1?11limm?????? 222?m???m?m?????m?1??m?2?????110?1?t?dt??2110?1?t?d1?t???2?11?0 1?t1. 2

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结论

总之，在高等数学中求解函数极限的方法有很多．在利用以上介绍的方法

求解函数的极限问题时，我们不仅要掌握求解函数极限的方法，还需要注重使用这些方法时所要满足的条件，切勿胡乱套用公式，这样才能确保求得的函数极限准确无误．

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参考文献

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/me58.html