同济六版课件习题课(2)

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习题课 导与微分数第二章

一 导数、微和分概的及应用念二 、 导数和分的求微

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一、 导法数微和分概的及应念用 数 导:当时 ,右导数为当 微 分:时,为导数左

系 关 :导

可微可

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0例

求函数 y 1x x x导数的. (x x x )解 y 2 x xx1 1( (x x ) ) 2 x x2x x 1 1x (1 ( 1 ) 2 )x2 x x 2x x x 11

4x2 x x2x 8 1x xx x x 2

x.

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EXREICSE d 1S .[s(i x n ocs x)( cso x s n x i]) _ ___; xd2.y 设 10 x atn2 x , 则 y' _ __;_

d (sin 21( x )) 3 . e __ ; _ d x 4.dx tna( 1 2e x ) __;_dx .5y 设 xx e 2 ,x( x 0),则 y ' __; e2 _x x6 d .(actanr) ___de ; 2

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应用 :1) (用导利数义定决解的问题

1)推 出三个最本的基数公导及求导法式则

C( ) 0 ; l(nx ) 1 ; (snix) cosx x他其求公导都式可由们及它求法导推则;出2 求)段函分在分界点处数的导数 及,些某殊 特数函在殊点处的特导数

;) 3导由数义证明定一些命题.2)(用导定义求数限 极3)微(分近似在计与误算估差中计的应用

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例1设 f. ( x ) 存在,0求

f (x 0 x ( )x2 ) f( 0x) im l . x0 x解:

f( 0x x ( x )2 ) f( x 0 ) x ( )x2 原 式 =il m 2 x 0 x x ( x ) f ( x0)

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f s(in2 x cso x) .例 2若 f. 1( )0 且f 1) 存(在, lim x x 求 0 (e 1 )t a n fx si( n2 x cso )x解 :原 式 =il x m x20 联且到凑想导数定义的式

f1( in 2sx oc xs )1 f1) (ins2 x oc x s 1 ilm 2x 0 si xn oscx 1 2x1 1 f (1) 1 ( ) f ()12

2f

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( )xf (x ) x在 2连续处,且 iml例 3设 . 3, x x2 2 求f (2 ).f ( x) l m f ( xi ) lim [ x( 2 ) ] 0 解: f (2 ) 2x x 2 ( x 2) f( x) f( 2) f (2 ) li x m x22 f ()x lm i3x 2 2x

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4.例设试定确数 a常, b 使 (x) f处可导处并求 解: f, ( x) ax b , 1 (a b1), 2 x2, x 1 1 xx 1 f( x) 2 .xx 1 ,时(a b 1) a b 1 1

x2 1 ,时f ( ) xa f (1 ;) f (1 ) (f1 )利 用f( ) 在 x x 处1导，得

可 ( 1 f) (1 f)

即a2

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f (x )

x a ,b 1( ba 1) , 2x2, x 1 x 1x 1 x 1时f (,x ) 2

x x1 时 ,f (x) a, a 2, b 1,

f () 12 2, x 1 f ( ) x 2 x x , 1判:别是否为 连函续 数?

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例.5 设 处的连续性可导及性 .: 解以 又所 在处连.

续 f (0) 0 即在处可导 .

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二、导数 微和分求法1的.正确 用导数及使微公式分和法 则2. 熟掌握求练导方和法技巧(1) 求 分段数函的数导注 意论讨点界左处导右是否存在和数相 (等) 2函隐数求导法( 3)参 方程数导法

求对数分法转微化

极坐标程求方导(4)复 合函数导求 法(利可微分形用不变式性)逐次求 归纳 导;(5 ) 高阶导数的法求 接求导法间 ;利莱布用尼兹式公.E

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exrciess.21P讨下列论函数的连续与性可导性 y sin x||

1 x sin x 0 y x 0x 0 (b )eRc lal thaatf ncuitnf is coalld eeve inf f ( x ) ( fx) fo rall x ni tisdom in ana doddf i f( x ) f x ).( r ovP eaechea hc f theoollfow:s(1) The eridatvvieo afneven f ncutonis ian odd fnctioun ;( 2 )hT edetiva tvieo fa ndofundticnisoa neve fnuntcion ;y 设 ( x 1 )( 2)x (x )n , y 求n ()(0 )设f (x) ( x x 1 ) ( x )2 x( 3) (x 4) (x 1 0)0,则f ' 1( )?

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Exrceseis a( C)aculately

1() y(x 2)8 x (3 ) 6 ;

2( y ) x x x

(3;)y si (nosxc);(4 ) y 1 3 /x x b( S)opopefs i sa dffireneitale fbnutconisu hcthat f(g( x ) ) xandf x () 1 [f x )( ]2 . Sow htha gt ( x) 1 / (1 2 )x. ()c oSppso e fi s aiffdernetibael unctfin ousch hta t f (1) 1 f, (2 ) ,2 f(1) 1 f , (2) 2nad f (3) 3 I.fg (x ) ( fx 3 (fx 2f( x ))) , ealvaue t (1)g.

例6

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设.其中

可微 ,

解:d y ins x e(edinsx ) eis nx d(snie x ) s ine e x

si x

dnsin( )x e in x csos x d(eex )

e si nxx x e co se( cs o xinse ) d xx

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7例 选择. 使可述下函在数2且

存在, 怎问处有二样导阶.数f( )x

xa b x c , x 0 g x(), 0x解 由题设 f: 0) (在,存 此 因 f 0 () f ( 0 ) f() 0,1) 利用 连续,即 在得c g (0 )

()0 f 0)(, 而 2 )利用f g x() (g) (0)0 l mi 0( )f g x0 x0 a( 2x bx c ) (0)g (0 )lm if b x 0 x 0 得

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a x 2bx c ,x 0 f (x) g( )x, x 0c g(0

)(0) b g

0)( f ( )0, 而 3) 利 f 用 0( g) x() g (0) li m 0( f ) g x x0 0 (2a x)b b (0 ) lmi fa 2 x0 x0 1 (0 得 a) g 2

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x t 2 2t 例8设由.方程 2 ty s i ny 1(0 1)定确函数 y y ( x) , 解:求方组两边对 t程求导,得

d x 2t 2 d dyt d y cosy 2t 0td td故dydy td x dt d x ( t)(11 cs o ) dytdx 2( t 1 )d t d 2y dt t 1 c s oy

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d (t d (d y) ) dy d (t t)(1 1 oc s ) y d dtx dx dx2 2t( 1) d t yd( 1 cos )y tt( 1) is y dtn

22 (t 13 (1 c)s y o 2

)

1 ( c so y) 2 2 t 2 t( 1 )in ys 2t (13 )1 ( osc y

)3

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