排队论练习题

例1 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为100辆／小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒／辆。求

1、收费处空闲的概率； 2、收费处忙的概率；

3、系统中分别有1，2，3辆车的概率。 根据题意, ?=100辆/小时，

11=15秒=（小时/辆）,即?＝240（辆/小时）。

240?因此

???1005?? ?24012系统空闲的概率为：

P0?1???1?57??0.583 12125?0.417 12系统忙的概率为：

1?P0?1?(1??)???系统中有1辆车的概率为：

P1??(1??)?5735???0.243 1212144系统中有2辆车的概率为：

7175?5?P2??2(1??)??????0.101

12121728??2系统中有3辆车的概率为：

7875?5?P3??(1??)??????0.0422

?12?122073633

例2 高速公路入口收费处设有一个收费通道，汽车到达服从Poisson分布，平均到达速率为200辆/小时，收费时间服从负指数分布，平均收费时间为15秒/辆。求L、Lq、W和Wq。

根据题意，?=200辆/小时，?=240辆/小时，?=?/?=5/6。

5?6L???551??1?6

5Lq??L?6?5?4.17W?11??0.025(小时)?90(秒)???240?200

5Wq??W?6?90?75(秒)

例3．设公用电话通话的持续时间平均为3分钟，一个人等待打电话的平均忍耐时间也是 3分钟。求一个公用电话可以支持的最大呼叫量。 解：设为M/M/1模型。

平均服务时间：E(ts)?1?3分钟 （隐含c，每个呼叫的平均时间为3分钟）

? 平均服务率：??1呼叫/分钟 （隐含c）

3 平均等待时间： E(w)???3分钟

?(???)3故一个公用电话可以支持的最大呼叫量为： ??此时：????0.5

?21?3??1呼叫/分钟 6?例4．分组交换网中所有信道（链路、线路）容量加倍，每个用户的数据量也加倍。采用固定路径，从任何结点进入的报文流均为泊松流，具有相同的负指数长度分布，平均长1/μ。

这是M/M/1模型，计算结果如下表。 i链服务率 i链报文到达率 全网报文到达率 全网平均时延 E (T) = E (N) /γ 先前 Ci /(1/μ)= μC I λi γ i链平均时延 E (T i ) =1/ (μC i -λi) i链队长 E (N i ) =λi E (T i )=λi / (μCi -λi) E (N) =当前 2Ci /(1/μ)= 2μC i 2λi 2γ i链平均时延 E (T i )’ =1/ (2μC i -2λi) = 0.5 E (T i ) i链队长 E (N i )’ =2λi(0.5) E (T i )= E (N i ) E (N)’ =?iE (N i ) ?iE (N i )’=?iE (N i ) = E (N) E (T) = E (N) / γ E (T)’= E (N) ‘/ 2γ= 0.5 E (T)

例5．某网络的出口线路只有一条，速率为6.4kbps；该网络的外出报文率平均为每秒4个报文，设外出报文的产生为泊松过程，报文长度为指数分布，平均长1408比特。 求：

（1） 90%时延和90%等待时间

（2） 如果90%的报文的排队时延不超过5秒，问允许的报文到达率为多大？此时平均队 长为多大？?及排队时延增大的百分比各为多少？ 解：

（1） 1 =

?c1408?0.22秒 6400λ=4报文/秒

ρ

=??4?0.22?0.88 ?cE(n)??1???7.33报文

E(T)?10.22??1.83秒

?(1??)1?0.88m100(90)?E(T)ln()?2.3E(T) T100?? =2.3?1?2.3?1.83?4.209秒

?(1??)100?(90)?E(T)ln()?3.98秒 mw100?? （2）设

mT(90)?2.3E(T)?5s

1则，E(t)?5?2.174s? 2.3?c???c???1

2.174111???4.085报文/秒 2.1740.222.174 ????c?E(n)??E(T)?8.88报文

ρ增大的百分比为：

4.085?0.22?0.88?100%?2.125%

0.88 排队时延增大的百分比为： 2.174?1.83?100%?18.8%

1.83

例6、某修理店只有一个修理工，来修理的顾客到达的次数服从Poisson分布，平均每小时4

人；修理时间服从负指数分布，每次服务平均需要6分钟。求： （1）修理店空闲的概率； （2）店内有三个顾客的概率； （3）店内至少有一个顾客的概率； （4）在店内平均顾客数； （5）顾客在店内的平均逗留时间； （6）等待服务的平均顾客数；

（7）平均等待修理的时间；

解：这是一个[M/M/1]:[?/?/FCFS]排队系统

?=4，?=10，?=?/?=2/5=0.4 （1） P0=1-?=1-2/5=3/5=0.6

（2） P3=?3(1-?)=0.43×0.6=0.0384 （3） 1-P0=1-(1-?)=?=0.4 （4） L??0.4??0.667 1??1?0.4111 ??(小时）?10（分钟）???10?46（5） W??20.42??0.267 （6） Lq?1??1?0.4（7） Wq????W?0.4?10?4(分钟） ???

例7．一个单人理发点，顾客到达服从Poisson分布，平均到达时间间隔为20分钟；理发时

间服从负指数分布，平均理发时间为15分钟。求： （1）顾客来店理发不必等待的概率； （2）理发店内顾客平均数；

（3）顾客在理发店内的平均逗留时间；

（4）当顾客到达速率是多少时，顾客在店内的平均逗留时间将超过1.25小时。

解：这是一个[M/M/1]:[?/?/FCFS]排队系统

?=3，?=4，?=?/?=3/4=0.75 （1） P0=1-?=1-0.75=0.25 （2） L??0.75??3 1??1?0.7511??1(小时） ???4?311??1.25，?=3.2， ???4??（3） W?（4） W?当顾客到达速率增加到每小时大于3.2人，即顾客相继到达的时间间隔缩短到18.75分钟以下时，顾客在店内平均逗留时间将超过1.25小时。

例8．在上一题（例7）中，如果修理店内已有三个顾客时，店主就拒绝顾客排队。求：

（1）店内空闲的概率；

（2）各运行指标L，Lq，W，Wq。 解：

应用举例

例9．某汽车加油站有两台加油泵为汽车加油，加油站内最多能容纳6辆汽车。已知顾客到达的时间间隔服从负指数分布，平均每小时到达18辆汽车。若加油站中已有K辆车，当K≥2时，有K/6的顾客将自动离去。加油时间服从负指数分布，平均每辆车需要5分钟。试求： （1） 系统空闲的概率为多少？ （2） 求系统满的概率是多少？ （3） 求系统服务台不空的概率

（4） 若服务一个顾客，加油站可以获得利润10元，问平均每小时可获得利润

为多少元？ （5） 求每小时损失掉的顾客数？

（6） 加油站平均有多少辆车在等待加油，平均有多少个车位被占用？ （7） 进入加油站的顾客需要等多长的时间才能开始加油，进入加油站的顾客

需要多长时间才能离去？ 解：

稳态概率关系：

P1=λ/μP0=3/2P0 P2=λ/2μP1=9/8P0 P3=9/16P0 P4=27/128P0

P5=27/512P0 P6=27/4096P0

由 P0=P1+P2+P3+P4+P5+P6=1 解得：P0=0.22433 P1 0.33649

运行指标： (1) P0=0.22433 (2) P6=0.00148

(3) P忙=1-P0-P1=0.43918 (4) Μe=145.78（辆/每小时）

(5) λ损=λ-λe=3.4218（辆/每小时） (6) Lq=0.26223

Ls=1.47708 (7) Wq=1.08分钟

Ws=6.08分钟

例10 某车站候车室在某段时间旅客到达服从泊松流分布，平均速度为50人/小时，每位旅客在候车室内逗留的时间服从负指数分布，平均停留时间为0.5小时，问候车室内平均人数为多少？

解：把旅客停留在候车室看做服务，于是就看为M/M/∞/∞/∞

λ=50 μ=2

P2 0.25237 P3 0.12618 P4 0.04732 P5 0.01183 P6 0.00148

状态概率关系：Pn=1/n!(λ/μ)nP0 ρ=25

代入

得 P0=e-ρ Ls=ρ=25(人)

例11 兴建一座港口码头，只有一个装卸船只的泊位。要求设计装卸能力。装卸能力单位为（只/日）船只。已知：单位装卸能力的平均生产费用a=2千元，船只逗留每日损失b=1.5千元。船只到达服从泊松分布，平均速率λ=3只/日。船只装卸时间服从负指数分布。目标是每日总支出最少。 解： λ=3 μ待定 模型 M/M/1/∞/∞

队长 Ls =λ/μ-λ)

总费用 C=aμ+bLs=aμ+bλ/(μ-λ) 求极值（最小值） 求导dc/du=a+-bλ/(μ-λ)2 所以 μ=λ+(bλ/a)1/2=4.5(只/日)

例12 建造一口码头，要求设计装卸船只的泊位数。 已知：预计到达 λ=3只/天，泊松流

装卸 μ=2只/天，负指数分布。

装卸费每泊位每天a=2千元，停留损失费b=1.5千元/日 目标是总费用最少。

解：模型 M/M/C/∞/∞ C待定

总费用：F=ac+bLs（c） 离散，无法用求导来解。

考虑。 M/M/C/∞/∞ 要求 ρ=λ/cμ<1 即c>λ/μ=1.5 讨论 c=2,3,4…….

P0 Lq Ls F

M/M/2/∞/∞ 0.14286 1.92857 3.42857 9.14286 M/M/3/∞/∞ 0.21053 0.23684 1.73684 8.60526 M/M/4/∞/∞ 0.22099 0.04475 1.54475 10.31713 结论：c=3 即设计三个装卸泊位可使每天的总费用最少,8.60526千元。

课后习题：

1 设顾客以泊松流到达某单服务台理发店，平均每小时到达2人，理发时

间服从负指数分布，平均每人用20分钟，求（1）顾客不用排队等候的概率；（2）理发店平均有几个顾客；（3）如果要是顾客站着等的概率不大于0。1，理发店要设几个座位？

答案：（1）1/3（2）2（3）6

2 某工人看管六台机器，平均每小时机器要更换一次工件，每更换一次工

件平均要6分钟，已知机器完成一个工件的生产时间和工人更换工件的时间都服从负指数分布，试求（1）工人空闲的概率（2）停止生产的机器的平均台数？（3）每台机器为更换工件平均停工的时间？

答案：（1）0.4845（2）0.8454（3）0.164小时

3．在[M/M/1]:[N/∞/FCFS]系统中，设顾客到达速率为λ，服务速率为μ，求单位时间内被

拒绝的顾客数的期望值。

4．在第一题中，设顾客到达速率增加到12人/小时，这时又增加一个同样熟练的修理工，平

均修理时间也是6分钟。求： （1）店内空闲的概率；

（2）店内有两个或更多顾客的概率； （3）计算运行指标L，Lq，W，Wq。

5．如果将第10题中的两个修理工分别安排在两家修理店里，成为两个单人修理店，每个店

顾客到达速率都是6人/小时，服务速率都是6分钟。 （1）求这两个修理店的运行指标L，Lq，W，Wq； （2）将以上运行指标与第10题两个修理工的系统比较。

问题的提出：

在校医院就诊时，我发现外科诊室共有六张诊台，而且经常六张诊台中总有一两张会被闲置下来。据此现象，我便想到了应如何利用运筹学知识来根据就诊人数配置诊台的问题。

问题模型：

此类问题属于排队论的范畴。首先根据诊台为多数个确定其为多服务台问题。其次，考虑到若采取多队方式会因各接待人服务效率不同而造成队伍之间人数的不平衡，不能使系统达到最优配置，故将模型定为单队多服务台型。具体框图如下：

单队多服务台型

设共有c个诊台，每个医生的平均服务率均为u。在正常情况下，病人的平均到达率为?，则?t时间内有一个病人到达的概率为P在?t时间内有一1???t，个病人离去的概率为q1???t。

问题解决：

分三种情况考虑：

（1） 当无病人时，三种互不相容事件的概率分别为：

（a） 在时间t内没有病人排队，?t时刻也没有病人到达的概率为

P0(1???t)。

（b） 在时间t内有一个病人，?t内没有顾客到达，但有一位病人接受

诊断后离去的概率为P1(1???t)u?t。

（c） 在时间t内没有病人排队，但在?t时刻内有一位病人到达，也有

一位病人接受诊断后离去的概率为P0??tu?t。

2则 P0?P0(1???t)?P1(1???t)u?t?P0?u(?t)

略去二阶小量，整理得 P1??P0/u。

（2） 当已有n个病人，且1?n?c时，可分为以下四种情况：

（a） 时间t内有n-1个病人在排队，?t时刻内有一位病人到达，但没

有任何病人被诊断的概率为Pn?1??t(1?nu?t)。

（b） 时间t内有n+1个病人在排队，?t时刻内没有病人到达，但有一

位病人接受诊断后离去的概率为Pn?1(1???t)[(n?1)u?t]。

（c） 时间t内有n个病人在排队，?t时刻内没有病人到达，也没有任

何病人被诊断的概率为Pn(1???t)(1?nu?t)。

（d） 时间t内有n个病人在排队，?t时刻内有一个病人到达，也有一

位病人接受诊断后离去的概率为Pn??tnu?t。

（3） 病人数n?c时，与情况（2）类似，但相应的概率分别为：

（a） Pn?1(??t)(1?c??t) （b） Pn?1(1???t)(c??t) （c） Pn(1???t)(1?c??t) （d） Pn(??t)c??t 由上面的公式得到：

???c??????Pn?1??P??c??n??c???Pn?1

???????????????P，1?n?c P?0n!??????????P，n?c Pn?0c!cn?c解得：

P0?1??????c?1??????n!n?0nnn?????????????c!??1??????c

由此可得，

??????????P0??平均病人数目为Lq?， 2?c?1?!?c????cc?????????P0??每个病人平均候诊时间为Wq? 2?c?1?!?c????问题的深入：

以上仅仅求得了平均病人数目和平均就诊时间，我们可以明显的看到，当有一个诊台数目c时就可以得到对应的平均病人数目和平均就诊时间，但我们并不能判断何时系统的诊台配置为最优，为此我们将此问题进一步加以深入。假设加权系数k1,k2，使得问题化为求min(k1*Wq?k2*c)，即适当选取c值使得系统有最小值，则认为此时的c值即为最优选择。将问题进一步简化，令k?k2/k1，则原问题简化为求min(Wq?k*c)。

由上一步结论可见，在病人平均候诊时间Wq中含有c的阶乘及乘方项，很难对此问题进行求解。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mdzt.html