高二数学数学归纳法综合测试题

选修4--5 数学归纳法

一、选择题

111

1．用数学归纳法证明1＋2＋3＋?＋n1)时，第一步应

2－1验证不等式( )

111

A．1＋2<2 B．1＋2＋3＜2 11111

C．1＋2＋3＜3 D．1＋2＋3＋4＜3 [答案] B

[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项11

为2＝3，故选B. 2－1

2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋?＋a验证n＝1时，左边所得的项为( )

A．1 B．1＋a＋a2 C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3 [答案] B

[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.

111

3．设f(n)＝＋＋?＋2n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )

n＋1n＋211A. B. 2n＋12n＋2

1111C.＋ D.－ 2n＋12n＋22n＋12n＋2[答案] D

[解析] f(n＋1)－f(n)

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n＋1

1－an＋2

＝(n∈N*，a≠1)，在

1－a

?11111?＝?(n＋1)＋1＋(n＋1)＋2＋?＋2n＋2n＋1＋2(n＋1)? ???111?111－?n＋1＋n＋2＋?＋2n?＝＋－ ??2n＋12(n＋1)n＋1

11＝－. 2n＋12n＋2

4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )

A．当n＝6时该命题不成立 B．当n＝6时该命题成立 C．当n＝4时该命题不成立 D．当n＝4时该命题成立 [答案] C

[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.

5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )

A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立 B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立 C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立 D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立 [答案] C

[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.

6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( ) A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋n C．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2 [答案] C

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[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.

7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )

A．n＝1时命题成立 B．n＝1，n＝2时命题成立 C．n＝3时命题成立 D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立 [答案] D

[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2， 当n＝k＋1时2k＋1＝2·2k>2(k2－2) 由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0

?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.

8．已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )

A．30 B．26 C．36 D．6 [答案] C

[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.

9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )

2222A. B. C.n D. (n＋1)2n(n＋1)2－12n－1[答案] B

[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1 ∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an ∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an

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n

∴an＋1＝a (n≥2)．

n＋2n

a11

当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝3＝3 2131a3＝4a2＝6，a4＝5a3＝10. 111

由a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10 2

猜想an＝，故选B.

n(n＋1)

10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下： (1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k

∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( ) A．过程全都正确 B．n＝1验证不正确

C．归纳假设不正确 D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确 [答案] D

[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.

二、填空题

11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．

[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立 [解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立， ∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．

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11111

12．已知数列，，，?，，通过计算得S1＝2，S2

1×22×33×4n(n＋1)23

＝3，S3＝4，由此可猜测Sn＝________.

[答案]

n n＋1

[解析] 解法1：通过计算易得答案． 1111

解法2：Sn＝＋＋＋?＋ 1×22×33×4n(n＋1)

?11?1??11??11??

＝?1－2?＋?2－3?＋?3－4?＋?＋?n－n＋1? ????????

1n＝1－＝. n＋1n＋1

13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.

[答案] 5

[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.

14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.

(1)当

n0＝________时，左边＝____________，右边＝

______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．

(2)假设n＝k时命题成立，即________________________________成立． (3)当n＝k＋1时，命题的形式是_______________________________；此时，左边增加的项为______________________．

[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k； (k－1)[3(k－1)＋1]

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(2)1×4＋2×7＋3×10＋?＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2 (3)1×4＋2×7＋?＋(k＋1)[3(k＋1)＋1] ＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1] [解析] 由数学归纳法的法则易知． 三、解答题

15．求证：12－22＋32－42＋?＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)． [证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立． ②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋?＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.

当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋?＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2

＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．

由①②得，等式对任何n∈N*都成立． 1111n－2

16．求证：2＋3＋4＋?＋n－1>2(n≥2)．

21

[证明] ①当n＝2时，左＝2>0＝右， ∴不等式成立．

②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立． 111k－2

即2＋3＋?＋k－1>2成立．

2111

那么n＝k＋1时，2＋3＋?＋k－1 211＋k－1＋?＋k－1 2＋12＋2k－1

k－211k－2111>2＋k－1＋?＋2k>2＋2k＋2k＋?＋2k

2＋1

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k－22k－1(k＋1)－2＝2＋2k＝， 2∴当n＝k＋1时，不等式成立．

据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．

17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．

n2＋n＋2求证：这n条直线将它们所在的平面分成个区域． 2

[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立． k2＋k＋2(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成块不同的区域，命2题成立．

k2＋k＋2当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成2块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．

k2＋k＋2(k＋1)2＋(k＋1)＋2从而k＋1条直线将平面分成＋k＋1＝块区22域．

所以n＝k＋1时命题也成立． 由(1)(2)可知，原命题成立．

18．(2010·衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．

[分析] 由题目可获取以下主要信息：

①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系； ②利用数学归纳法证明猜想的结论． 解答本题的关键是先利用特殊值猜想． [解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，

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当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4， 当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9， 当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16， 由此可以猜想， 2n＋2>n2(n∈N*)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当n＝1时，

左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边， 所以原不等式成立．

当n＝2时，左边＝22＋2＝6， 右边＝22＝4，所以左边>右边；

当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．

(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立， 即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时， 2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2. 又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3 ＝(k－3)(k＋1)≥0，

即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立． 根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．

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