m序列和Gold序列特性研究

扩频通信实验报告

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Harbin Institute of Technology 扩频通信实验报告

课程名称： 扩频通信 实验题目： Gold 码特性研究 院 系： 电信学院 班 级： 通信一班 姓 名： 学 号： 指导教师： 迟永钢 时 间： 2012年5月8日

哈尔滨工业大学

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第1章实验要求

1.以r=5 1 45E为基础，抽取出其他的m序列，请详细说明抽取过程；

2.画出r=5的全部m序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式；

3.在生成的m序列集中，寻找出m序列优选对，请确定优选对的数量，并画

出它们的自相关和互相关函数图形；

4.依据所选取的m序列优选对生成所有Gold序列族，确定产生Gold序列族的

数量，标出每个Gold序列族中的所有序列，并实例验证族内序列彼此的自相关和互相关特性；

5.在生成的每个Gold序列族内，明确标出平衡序列和非平衡序列，并验证其

分布关系。

6.完整的作业提交包括：纸质打印版和电子版两部分，要求两部分内容统一，

且在作业后面附上源程序，并加必要注释。

7.要求统一采用Matlab软件中的M文件实现。

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- I- 第2章 实验原理

2.1 m 序列

二元m 序列是一种伪随机序列，有优良的自相关函数，是狭义伪随机序列。m 序列易于产生于复制，在扩频技术中得到了广泛应用。

2.1.1 m 序列的定义

r 级非退化的移位寄存器的组成如图1所示，移位时钟源的频率为c R 。r 级线性移位寄存器的反馈逻辑可用二元域GF(2)上的r 次多项式表示

2012() {0,1}r r i f x c c x c x c x c =++++∈ (1)

图 2-1 r 级线性移位寄存器

式(1)称为线性移位寄存器的特征多项式，其给出的表示反馈网络的而逻辑关系式是现行的。因此成为线性移位寄存器。否则称为，非线性移位寄存器。

对于动态线性移位寄存器，其反馈逻辑也可以用线性移位寄存器的递归关系式来表示

112233 {0,1}i i i i r i r i a c a c a c a c a c ----=++++∈ (2) 特征多项式(1)与递归多项式(2)是r 级线性移位寄存器反馈逻辑的两种不同种表示法，因其应用的场合不同而采用不同的表示方法。以式(1)为特征多项式的r 级线性反馈移位寄存器所产生的序列，其周期21r N ≤-。假设以GF(2)域上r 次多项式(1)为特征多项式的r 级线性移位寄存器所产生的非零序列{}i a 的周期为21r N =-，称序列为{}i a 是最大周期的r 级线性移位寄存器序列，简称m 序列。

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- I- 2.2.2 m 序列的自相关函数

根据序列自相关函数的定义以及m 序列的性质，很容易求出m 序列的自相关函数 1 ()1 mN R mN N τττ=??=?-≠?? (3)

但是(3)式给出的是m 序列的自相关函数，并不是m 码的自相关函数。首先将m 序列变换为m 码。将m 序列的每一比特换为宽度为(1/)c c c T T R =、幅度为1的波形函数，当m 序列为0元素时，波形函数取正极性，否则取负极性。通过这样的变换后，周期为N 的m 序列就变为宽度为c T 、周期为c NT 的m 码。

m 码的自相关函数()R τ是一个周期函数，其周期为N ，在(1)c c T N T τ-≤≤-区间内m 码的自相关函数表达式为 11()()()c c T k N R kNT N N ττδτ∞=-∞+=-+Λ*+∑ (4)

2.2.3 m 序列的互相关函数

m 序列的互相关函数不具有理想的双值特性。m 序列的互相关函数是指长度相同而序列结构不同的两个m 序列之间的相关函数。研究表明，长度相同结构不同的m 序列之间的互相关函数不再是双值函数，而是一个多值函数。互相关函数值的个数与分元培集的个数有关。

2.2.4 m 序列的构造

构造一个产生m 序列的线性移位寄存器，首先要确定本原多项式。本原多项式确定后，根据本原多项式可构造出m 序列移位寄存器的结构逻辑图。

本原多项式的寻找是在所有r 次多项式中去掉其中的可约多项式，在剩余的r 次不可约多项式中，根据本原多项式的定义用试探的办法，查看其产生的序列是否为m 序列。若产生的序列是m 序列，则该多项式为本原多项式，否则就不是本原多项式。这一方法可以通过计算机编程来实现。

2.2 Gold 序列

Gold 序列具有良好的自相关与互相关特性，可以用作地址码的数量远大于m 序列，而且易于实现、结构简单，在工程上得到广泛的应用。

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- I- 2.2.1 m 序列优选对

m 序列优选对，是指在m 序列集中，其互相关函数绝对值的最大值(称为峰值互相关函数)max ()R τ最接近或达到互相关值下限的一对m 序列。

设{}i a 是应对于r 次本原多项式1()F x 所产生的m 序列，{}i b 是对应于r 次本

原多项式2()F x 所产生的另一m 序列，当序列{}i a 与{}i b 的峰值互相关函数(非归

一化)max ()ab R τ满足下列关系： 112max 2122 ()2 r

ab r r R r τ++++??≤???为奇数为偶数且不是4的倍数 (5)

则1()F x 与2()F x 所产生的m 序列{}i a 与{}i b 构成m 序列优选对。

2.2.2 Gold 序列族

在给定了移位寄存器级数r 时，总可以找到一对互相关函数值是最小的码序列，采用移位相加的方法构成新的码组，其互相关旁瓣都很小，而且自相关函数与互相关函数均是有界的。这一新的码组被称为Gold 码或Gold 序列。

Gold 序列是m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对的模2和序列构成。每改变两个m 序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。当相对位移1,2,,21r - 个比特时，就可以得到一族21r -个Gold 序列，加上原来的两个m 序列，共有21r +个Gold 序列，即

21r r G =+ (6) 产生Gold 序列的移位寄存器结构有两种形式。一种是乘积型的，即将m 序列优选对的两个特征多项式的乘积多项式作为新的特征多项式，根据此2r 次多项式构成新的线性移位寄存器。另外一种是直接求两m 序列优选对输出序列的模2和序列。由于这样产生的复码的后期是组成复码的子码周期的最小公倍数，由于组成复码Gold 序列的子码的周期都是21r -，所以Gold 码序列的周期是21r -。Gold 码族同族内互相关函数取值已有理论结果，且具有三值互相关函数的特性。但是不同Gold 码族之间的互相关函数取值已不是三值而是多值，而且互相关值已大大超过了同族内部的互相关值。

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2.2.3 平衡Gold序列

Gold序列就其平衡性来讲，可以分为平衡码序列和非平衡码序列。在一个周期内，平衡码序列中1码元与0码元的个数之差为1，非平衡码元中1码元与0码元的个数之差多余1。在扩频通信中，对系统质量影响之一就是扩频码的平衡性，平衡码具有更好的频谱特性。在直接序列系统中码的平衡性与载波的抑制度有密切的联系。码不平衡时直接序列系统的载波泄露增大，这样就破坏了扩频系统的保密性、抗干扰与侦破能力。

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第3章 实验设计

3.1 抽取m 序列

由文献[2]可知，给定一个最大周期的r 级线性移位寄存器序列，可以从中抽取出所有可能的最大周期的r 级线性移位寄存器序列。即给定一r 级小m 序列，可以抽取出其他所有r 级的小m 序列。下面首先简单叙述小m 序列抽取的定义和相关性质。

3.1.1 抽取m 序列定义

设原m 序列 0121{,,,,}N u u u u u -= ，序列()u q 为对m 序列u 进行等间隔采样，采样间隔为q 。即()023{,,,}q q q u q u u u u = 。我们定义这个过程为m 序列的抽取过程。

3.1.2 m 序列抽取性质

（1）()()2i u q u q =，即按照采样间隔为q 和按照q 二的倍数间隔采样得到是处在不同相位的同一组序列。

（2）当以间隔q 对一个m 序列采样时，新得到的序列的周期为gcd(,)

v N N N q =。即当gcd(,)=1N q 时抽取获得的序列满足21r v N =-，即抽取所得为m 序列。

3.1.3 抽取m 序列设计

本实验中抽取m 序列的函数文件为sample.m ，对r 级m 序列抽取的q 可以

取为22r - 1,2,

，使用Matlab 抽取获得这22r -个序列。如果某序列移位循环k 位与另一序列相同，则它们是处于不同相位的同一m 序列，将它们对应的q 归为一类。

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- I- 3.2 m 序列优选对的寻找

3.2.1 相关函数设计

本试验中求取m 序列自相关函数的函数文件为Autorelation.m 文件，求取m 序列互相关函数的函数文件为Cross_Correlation.m 文件。在求取相关函数的过程中，我们利用的是2个序列循环移位相加的形式得到结果的，并且自相关函数是归一化的，而互相关函数则未进行归一化。

3.2.2 优选对的寻找设计

m 序列的定义详见2.2.1节，本项实验利用前面抽取获得的m 序列，依次检查两项之间的互相关函数是否满足式（5），若满足，即为优选对，，最后记录下优选对的个数和每一对的八进制表示。

3.3 Gold 序列和平衡Gold 序列

3.3.1 生成Gold 序列设计

Gold 序列是m 序列的复合码序列，它是由两个码长相等、码时钟速率相同的m 序列优选对模2和或模2乘法构成。本报告采用模2加法实现。利用前面获得的优选对，每改变两个序列相对位移就可得到一个新的Gold 序列。当相对位移1,2,,21r - 个比特时，就可以得到一族21r -个Gold 序列，加上原来m 序列优选对，共有21r +个Gold 序列，构成一个Gold 序列族。最后记录并求其族内序列的自相关函数和互相关函数。

3.3.2 平衡Gold 序列设计

若Gold 序列中元素1的个数比元素0的个数多且仅多一个，那么这个Gold 序列就是平衡Gold 序列。

那么将所得到Gold 序列一周期内的元素相加（序列采用+1，0表示），若结果为121r -+（例如当5r =时，平衡Gold 序列中应该有17个1元素，16个0元素，相加的结果就为17），则为平衡Gold 序列，否则为不平衡Gold 序列。记录下族内平衡和非平衡Gold 序列个数再与理论值对比。

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第4章实验仿真环境和结果

4.1 实验仿真环境

操作系统：Windows XP sp3；

仿真软件：Matlab 2010b。

4.2 m序列抽取结果

当r=5时的m序列可以由5级线性反馈移位寄存器产生出，移位寄存器的结构图如图4-1所示：

图4-1 m序列发生器

由于寄存器不同的初始状态会产生同一序列的不同的相位，在本实验中寄存器初始值统一00…01。运行程序文件sample.m，可得到如下图结果：

图4-2 抽取结果

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- I- 由文献可知，按照1,2,4,8,16q =抽取获得的是与原始m 序列相同的序列，按照3,6,12,17,24q =抽取得到另一个m 序列，同理按照5,9,10,18,20q =、7,14,19,25,28q =、11,13,21,22,26q =、15,23,27,29,30q =、抽取得到另四个m 序列，一共有6组m 序列。分别选取()1u 、()3u 、()5u 、()7u 、()11u 和()15u 作为5r =的6个m 序列的到如下所示（()u q 的定义详见3.1.1节）：

1q =时：1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1

1 0 1 0 0 1 0 0 0 0

3q =时：1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0

0 1 0 0 1 1 0 0 0 0

5q =时：1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1 0 1 1 1

7q =时：1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1

1 0 1 1 1 0 0 0 1 0

11q =时：1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1

0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 1

15q =时：1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1

4.3 m 序列寄存器结构

实验要求画出r=5的全部m 序列移位寄存器结构，并明确哪些序列彼此是互反多项式。首先查书上附录可得r=5全部的寄存器结构：45E 、57G 、67H 、51E 、75G 、73G 。作图并标明互反多项式如下：

（a-1）45E 521()1f x x x =++

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(a-2) 51E 532()1f x x x =++

即45E 和51E 两个结构为互反多项式。

(b-2) 57G 5323()1f x x x x x =++++

(b-1) 75G 54324()1f x x x x x =++++

即57G 和75G 两个结构为互反多项式。

(c-1) 67H 5425()1f x x x x x =++++

(c-2) 73G 5436()1f x x x x x =++++

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- I- 即67H 和73G 两个结构为互反多项式。 我们可以发现，两互反多项式之间满足下述关系：'1()()r f x x f x

=。 4.4 m 序列优选对查找结果

4.4.1 m 序列的自相关特性

由2.2.2节可得，m 序列的自相关值满足如下条件：

1 ()1 mN R mN N

τττ=??=?-≠?? 我们在用4.2节中得到r=5的6个m 序列：()1u 、()3u 、()5u 、()7u 、()11u 、()15u ，详情参见表4-1，现做他们的自相关函数，运行Autorelation.m 文件可以得到下述结果：

图4-2 m 序列的自相关函数

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由图可得m序列有很好的尖锋自相关函数，且符合2.2.2节中式（3）所示，实验验证结果和理论相符。

4.4.2 m序列优选对查找

根据 2.2.3的基础知识和 3.2节的设计思想编程得到程序文件Cross_Correlation.m，运行得到优选对的结果如下：

图4-3 查找优选对的结果

并同时得到相应优选对的互相关函数曲线，分别如下图所示：

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图4-4 优选对序列1与序列2的互相关函数

图4-5 优选对序列1与序列3的互相关函数

图4-6 优选对序列1与序列4的互相关函数

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图4-7 优选对序列1与序列5的互相关函数

图4-8 优选对序列2与序列3的互相关函数

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图4-9 优选对序列2与序列5的互相关函数

图4-10 优选对序列2与序列6的互相关函数

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图4-11 优选对序列3与序列4的互相关函数

图4-12 优选对序列3与序列6的互相关函数

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图4-13 优选对序列4与序列5的互相关函数

图4-14 优选对序列4与序列6的互相关函数

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图4-15 优选对序列5与序列6的互相关函数

由这些互相关曲线可以看出，m 序列优选对的互相关性具有3值特性：()()11,,2t n t n N ---???

?，其中()t n 满足下面的表达式： ()122221214r

r r t n r ++?+?=??+?为奇数为偶数但不是的整倍数

4.5 Gold 序列生成和相关性质结果

4.5.1 Gold 序列数量

由3.3.1节可知道，每个m 序列优选对可以产生21r +个Gold 序列，构成一个Gold 序列族。在本试验中，由4.4.2节可以知道，当r=5时，功能找到12个优选对，即有12个Gold 序列族，而每个Gold 序列族功能产生33个Gold 序列，合计396个Gold 序列。

4.5.2 Gold 序列结果及平衡性标示结果

运行函数文件GoldSerial.m ，将产生12个Gold 序列族，共396个Gold 序

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列，并标明了是否为平衡序列。下面我们将运行结果给出，如下图所示：

图4-16 优选对序列1与序列2产生的Gold 序列族

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图4-17 优选对序列1与序列3产生的Gold序列族

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mdsq.html