A+20004005+ 周旭、赵基宇、毛建锋

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 20004005 所属学校（请填写完整的全名）： 中南大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 周 旭 2. 赵基宇 3. 毛建锋 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 郑洲顺

日期： 2007 年 9 月 24 日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛

编 号 专 用 页

评 阅 人 评 分 备 注

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

中国人口增长预测

摘 要

本文对中国人口2001年-2005年抽样数据进行统计分析，建立中国人口增长的Leslie模型；根据中国的实际情况和人口增长的特点，对Leslie模型及参数进行改进和修改，对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

首先，我们对人口数据进行统计分析，得到各年龄人口平均死亡率和各年龄育龄妇女平均生育率。利用获得的数据代入模型一——静态Leslie模型，利用MATLAB7.0软件，对人口发展作出中短期预测和长期预测。预测结果中总和生育率为1.4，小于《国家人口发展战略研究报告》中给出的总和生育率值1.8。于是，在模型二中我们在保证总和生育率为1.8的前提下对各年龄育龄妇女生育率进行了修正，再次对人口发展状况进行预测，改进了静态Leslie模型。但在实际中各年龄段育龄妇女的生育率、男女性别比等参数随时间变化，非固定值。因此，改进后预测值仅只符合中短期人口发展规律，对人口发展长期预测仍然误差较大，不适用。为了减小预测误差，我们引入模型三——动态参数Leslie模型。具体步骤为：第一步，用灰色GM（1，1）模型预测出人口出生性别比；第二步，引入反馈机制对各年龄段育龄妇女的生育率预测数据进行逐年调节；第三步，以此动态参数代回模型对中短期和长期人口发展趋势进行预测。预测结果见表5.4.3。

其次，研究出生性别比对人口发展的影响。通过男女性别比例与出生性别比

?[x(n)(1?d)k(n)]?x(n?1)br(n?1)的关系给出以下男女性别比预测模型： k(n+1)=?x(n?1)ii0iii针对男女性别比持续升高的问题，引入国家控制力度值P，P值直接作用于出生性别比，进而缓减男女性别比的持续上升趋势（不同P值下的男女性别比例发展情况见图5.5.3）。

再次，对本文模型优缺点进行评价。动态Leslie模型具有预测结果精度高、预测时间长、可调性强、反馈效果明显、模型适用范围广等优点。模型的缺点是难以确定国家政策与模型中控制力度P的量化关系以及没有考虑死亡率随时间的变化。

最后，利用预测数据与实际数据进行对比，检验模型的精确性；增加考虑城乡人口迁移等因素，对模型进行推广，提出用因素分析的方法研究人口系统之外的各因素对人口发展的影响等的模型调整和改进思路。

关键词：Leslie模型，灰色GM（1，1）预测，动态参数，反馈机制，出生性别比，国家控制力度

1

一、问题的重述

1.1 问题背景

一个国家和地区的人口对当地的经济会产生重要影响，因此人口预测对未来社会、经济的发展会起到非常重要的作用。中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。 1.2 基本信息

附录1 《国家人口发展战略研究报告》 2007年初发布； 附录2 人口数据（《中国人口统计年鉴》中的部分数据）及其说明 1.3 问题的提出

因此，我们根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测。

为了能够更好地对人口进行预测，首先，从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型；其次由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；最后，重点指出模型中的优点与不足之处。

二、问题的分析

2.1 发展概况

20世纪30年代A.J.洛特卡建立了人口的定常积分方程模型。40年代莱斯利建立了差分方程组模型。60年代又出现了弗尔斯特的偏微分方程模型。70年代波拉德在莱斯利模型基础上提出了随机模型。建立完善的人口系统闭环控制模型，则是最近几年的事。中国控制论学者在这项工作中取得了重要成果。

人口模型分为两类，一类是确定性模型，另一类是随机模型。如果按年龄和时间是连续量还是离散量，又可将人口模型分为连续模型和离散模型两种。连续模型是由偏微分方程描述的带边界控制的分布参数系统，离散模型是由差分方程组描述的双线性系统。离散模型可用离散化方法从连续模型得到。连续模型便于理论分析，而离散模型适合于计算机仿真。

所以为了有效减少计算量，更好处理数据，本问引进离散形式模型——Leslie模型。 2.2 问题分析

针对中国人口发展所出现的一些新特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等的因素，我们要建立适合中国人口增长的数学模型，并对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指出优缺点。

首先，要对附录提供的人口数据进行数据处理。先求出每年市镇乡男女的平均死亡率，再对2001-2005年的各年男女死亡率求总平均值。以及总男女比例平均值、总妇女生育率平均值等。

2

然后，通过对数据的初步分析，我们决定引入离散形式的经典人口模型——Leslie模型。引入模型之后，就是要针对模型对人口统计数据代入模型，得出模型中的各个参数及预测结果，主要是育龄妇女的一生平均生育的儿女数等等。再对模型这些结果进行分析，建立Leslie模型的改进模型。改进模型中，考虑到中国人口发展的这些特点，硬性确定其中的主要变量，即假设每个育龄妇女一生平均生育的儿女数为达稳定状态的固定值等，再代入数据得出适合中国人口发展的模型。但是这样求出的人口发展模型只适合短期的人口预测，所以在此基础上，重新设定参数，假设每一育龄妇女一生平均生育的儿女数不同的年份为一波动的变化值，继而建立并完善最终的人口发展模型。

此人口发展模型中，关键是要考虑人口的出生率问题以及出生率的变化情况，具体便是每一育龄妇女一生平均生育的儿女数的控制问题，结合中国人口的发展状况来求解。

三、问题的假设

1）在未来的几年时间里中国人口政策不变；

2）社会经济环境以及国际环境相对稳定，人口变化遵循自身发展规律，不会受到自然灾害、战争等的影响；

3）各年龄段人口死亡率波动很小，相对恒定，设为常数； 4）《国家人口发展战略研究报告》中关于全国总和生育率在未来30年应保持在1.8左右的判断正确；

四、符号说明

x i(k) 表示k年i岁的女性人数；

d i 表示i岁的女性死亡率； si 表示i岁的女性存活率； bi (k) 表示k年i岁的女性生育率；

?(k) 表示k年i岁的女性一生平均生育的儿女数； hi 表示年龄为i的女性的生育加权因子，即生育模式； L(k) 表示生育率和存活率矩阵；

A(k) 表示人口存活率矩阵； B(k) 表示育龄妇女生育模式矩阵；

br(k) 表示出生性别比（即每出生100个女婴所对应的男婴出生数目）； k(n) 表示男女性别比例；

3

五、模型的建立与求解

5.1 人口数据的统计与分析

根据中国人口的统计数据，首先引入偏差程度δ，并约定偏差程度δ>10%时将不可忍受，对2001年-2005年的数据进行分析，剔除中间出现的一些异常缺失或不全的数据，然后利用MATLAB7.0软件和Microsoft Excel 2003进行处理，主要有以下数据统计结果：

1）对2001年-2005年各年龄人口的死亡率进行分析发现，死亡率的年差异性<0.05%,此处认为人口死亡率相对稳定，可视为常数。下图5.1.1为2001年-2005年各年龄人口存活率的比较图，图表中显示各年的曲线基本相同，说明各年龄人口死亡率相对稳定，所以证明了假设中死亡率相同是合理的；

2001-2005年各年龄存活率存活率（千分比）1500100050002001年2002年2003年2004年2005年

010203040506070548060年龄图5.1.1 2001年-2005年各年龄人口存活率的比较

所以，由以上图中数据我们可以计算出各年龄人口的总平均存活率，结果如下图5.1.2：

各年龄存活率12001000平均存活率800600400200006121824303642486690727884年龄90

图5.1.2 各年龄人口平均存活率

2）对2001年-2005年的数据进行分析发现，2005年数据与平均状态的差距>可忍受的偏差程度，下图5.1.3是2001年-20005年各年龄段女性的生育率的比较图，由图中也可发现2005年数据明显低于其他年份，视为异常数据。因此，

4

仅通过前四年（2001-2004年）的数据取平均值，结果如图5.1.4所示：

90807060504030201001518212427303336394245482001年2002年2003年2004年2005年

图5.1.3 2001年-20005年各年龄段育龄妇女的生育率

平均生育率（千分比）8060402001518212427303336394245年龄图5.1.4 各年龄育龄妇女的平均生育率

各年龄育龄妇女的生育率具体数据如下表表示：

年龄（岁） 生育率‰ 年龄（岁） 生育率‰ 15 0.19209 33 14.061 16 0.38637 34 10.712 17 0.77141 35 7.5944 18 2.4952 36 5.318 19 6.9561 37 3.8526 20 19.163 38 2.6849 21 40.936 39 1.9897 22 59.842 40 1.546 23 71.061 41 1.1177 24 72.074 42 0.66679

5

48

25 26 27 28 29 30 31 32 67.488 60.572 49.634 41.269 33.797 27.025 22.951 19.301 43 44 45 46 47 48 49 0.36554 0.40977 0.29029 0.14674 0.21866 0.2365 0.18866 表 5.1.1 各年龄育龄妇女的生育率

2001年女性人口按年龄分布

14000120002001年女性按年龄分段的人数1000080006000400020000010203040

50年龄60708090100

图5.1.5 2001年女性人口按年龄分布图

下表即是上图对应的各个数据 年龄 各年龄对应人口数（人） 0-9岁 6511.7 5590.7 5590.4 6620 6925 7416.8 8103.8 7980 8778.5 9099.3 10-19岁 10233 11947 11469 11497 12186 10626 9490 8547.8 8364.8 9413.9 20-29岁 8220.6 8149.6 8689.8 8587.5 8421 9746 9966.9 10662 11408 11510 30-39岁 12174 12705 12002 12756 10550 11712 11674 11828 13300 9379.5 40-49岁 6184.6 7513.7 6710 8706.8 9182.5 8743.5 9123.4 8869.5 8138.6 7894.5 50-59岁 7726.7 7044 6602.9 5793.6 5886.4 5305.7 4817.1 4591 4482.6 4354.9 60-69岁 4632.4 4278.2 4018.2 4230.7 4079.1 4094.9 3742.5 3638 3685.2 3136.1 70-79岁 3200.9 2939.1 2513.9 2588.5 2255.8 1996.1 2027.5 1706.7 1570.9 1433 80-89岁 1326.8 1051 931.08 732.34 610.28 533.59 472.4 366.17 320.81 228.29 90岁+ 671.47 表5.1.2 2001年女性人口按年龄分布数据

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5.2 模型一 按年龄分组的人口模型——静态的Leslie模型[1]

如果按年龄和时间是连续量还是离散量，又可将人口模型分为连续模型和离散模型两种。连续模型是由偏微分方程描述的带边界控制的分布参数系统，如人口发展方程等；离散模型是由差分方程组描述的双线性系统，如Leslie模型等。离散模型可用离散化方法从连续模型得到；连续模型便于理论分析，而离散模型适合于计算机仿真。

所以根据对人口数据的分析，我们引进按年龄分组的人口模型——Leslie模型。引进这个模型不但可以使计算简单化，减小很多计算量，其结果也能很好地与人口发展的实际情况吻合。

5.2.1 模型的建立

为了方便起见这里只涉及女性人口（只要考虑性别比函数即可得到总人口） 首先将人口按年龄进行分组，以1岁为1个年龄组，1年为1个时段，在此只考虑女性人口，总人口可以根据性别比的函数给出。

记x i (k)为k年i岁的女性人数；设死亡率与年龄和时间有关，并记k年i岁的女性死亡率为d i ，存活率为si ，有d i + si=1。

设生育率与年龄和时间有关，记k年i岁的女性生育率为bi (k)，育龄区间为[i1,i2]，育龄区间外的bi(k)=0;为了增加人口发展的可控性，我们进一步将bi(k)进行分解：

i2bi(k)??(k)hi(k) ， ?hi(k)?1 （1）

i?i1这样就有：

?(k)??bi(k) （2）

i?i1i2hi(k)是年龄为i的女性k年的生育加权因子，即生育模式；?(k)就代表了k年所有女性平均生育的女儿数，若女性在育龄期内保持生育率不变，则?(k)就是k年i1岁的每位女性一生平均生育的女儿数。

下面给出xi(k)的变化规律。首先，k+1年0岁的人口数量是k年处于育龄区间的各年龄的女性的总生育人口，即

x0(k?1)??bi(k)xi(k) （3）

i?i1

7

i2k+1年 i+1岁的人口数量是k年i岁的女性中存活下来的数量，即

xi?1(k?1)?sixi(k) （4）

记k年各年龄的人口分布为向量形式：

X(k)=[x0(k) , x1(k) , x2(k) , ?? , xn(k) ]T （5）

将生育率和存活率写为矩阵形式：

?b0(k)b1(k)?0s0?L???????0?bn?1(k)bn(k)?????????? （6）

??sn?10?

则女性人口模型可以写为以下形式：

X(k+1)=L X(k) （7）

给出人口的初始分布X(0)，及矩阵L，就可以根据此模型进行人口预测。

5.2.2 模型的求解

通过代入5.1数据的统计与分析中得出的数据结果到模型中，用MATLAB7.0求解（具体程序代码见附录），我们预测出了未来中短期和长期的人口数据，用2001年的女性人数计算得出30年后的总女性人口数量如下:

6.356.36.256.26.156.16.0565.95x 105女性人口总数0510152002-2031年202530

图5.2.2 30年后的总女性人口数预测

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相应的数据： 年段 2002-2006 2007-2011 2012-2016 20017-2021 2022-2026 2027-2031

5.99 6.13 6.24 6.32 6.32 6.22 人数（单位：105 ） 6.03 6.05 6.08 6.15 6.17 6.19 6.26 6.28 6.29 6.33 6.33 6.33 6.30 6.29 6.27 6.20 6.17 6.13 6.10 6.21 6.31 6.33 6.25 6.10 表5.2.2 30年后的总女性人口数预测

9080706050男403020100-100000-50000050000100000

女图5.2.3 2001年男女人口的金字塔图

5.2.3 模型的分析

该Leslie模型为经典的人口模型，能很好地预测出人口的未来走势。但是，针对中国人口发展所出现的老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等的特殊情况，模型并不完全适用于中国的人口发展，并且

?(k)<1.8，违背中国人口发展的方针政策：如果人口总量（不含香港、澳门特别行政区和台湾省，下同）峰值控制在15亿人左右，全国总和生育率在未来30年应保持在1.8左右，过高或过低都不利于人口与经济社会的协调发展。所以在模型二中我们将对模型参数进行修正。

9

5.3 模型二 改进后的静态Leslie模型

5.3.1 模型修正

针对于模型一中的不足，对参数做出修改，如果总和生育率?(k)维持在1.8，并且生育模式不变，我们给出调整后新的bi(k)，这里，bi(k)满足两个条件：

?b(k)?1.8/(1?br) 总和生育率为1.8

ii=i0i1bi(k)??bi(k)bi(k)? 生育模式不变

1.8?由此可以解出：

?bi(k)?1.8???bi(k) （8）

5.3.2 模型求解

同样用2001年的女性人口来预测，取当年的男女出生比1.14算得30年后的女性总人口为：

6.7x 1056.66.5女性人口总数6.46.36.26.160510152002-2031年202530

图5.3.2 30年后的女性总人口预测图

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年 段 2002-2006 2007-2011 2012-2016 20017-2021 2022-2026 2027-2031

6.01 6.23 6.44 6.61 6.69 6.68 人口（单位：105 ） 6.06 6.11 6.15 6.27 6.31 6.35 6.48 6.51 6.55 6.64 6.66 6.67 6.69 6.69 6.69 6.67 6.66 6.65 6.19 6.39 6.58 6.69 6.69 6.64 表5.3.2 30年后的女性总人口预测图

5.3.3 结果和分析

以上结果能很好的预测中国的人口发展状态，但是人口发展模式不可能一成不变。在实际情况中，人口发展的模式（如女性死亡率、存活率等）是处于一个动态变化中，所以为了能使预测出的结果更好的反映实际人口发展情况，我们将在模型三中进一步修正模型一和模型二，使模型动态发展。

5.4 模型三 中国人口发展模型——带反馈系统的动态Leslie模型

5.4.1 模型的建立

人口系统工程通过对人口系统的分析，运用人口控制论的基本原理，研究人口系统的特征和规律，制订人口目标规划和人口指标体系，进行人口预测和人口仿真等项工作，以便为政府制订人口政策提供科学依据。

考虑到上述模型中的参数均会随时间变化，且时间越长数据差异会越大，下面采用动态的参数建立模型，并引入反馈机制（如下图）对参数进行逐年调整，以期提高预测精度并做长期预测。

人口结构输入值 生育率 动态参数Leslie模型 人口结构预测值 出生性别比

图5.4.1 动态参数Leslie模型反馈系统

从控制论观点来看，在动态参数的Leslie模型的人口系统中，人口结构预测值可视为状态变量，生育率视为控制变量，是分布参数系统的边界控制函数。上图结构表明控制输入中含有状态变量，形成状态反馈，出生性别比视为反馈增

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益。并且通常是一种正反馈，即人口结构预测值的变化，通过生育率又使人口结构预测值进一步变化。所以，政府就可以根据这种反馈系统，制定相关人口政策。

仍旧，记x i (k)为k年i岁的女性人数；设死亡率与年龄有关，并记k年i岁的女性死亡率为d i ，存活率为si ，有d i + si=1。

设生育率不仅与年龄有关，并且和时间有关，记k年i岁的女性生育率为

bi (k)，育龄区间为[i1,i2]，育龄区间外的bi(k)=0;进一步将bi(k)进行分解：

bi(k)??(k)hi ， ?hi?1 （9）

i?i1i2这样就有：

?(k)??bi(k) （10）

i?i1i2下面给出xi(k)的变化规律。首先，k+1年0岁的人口数量是k年处于育龄区间的各年龄的女性的总生育人口，即

x0(k?1)??bi(k)xi(k) （11）

i?i1i2k+1年 i+1岁的人口数量是k年i岁的女性中存活下来的数量，即

xi?1(k?1)?sixi(k) （12）

记k年各年龄的人口分布为向量形式：

X(k)=[x0(k) , x1(k) , x2(k) , ?? , xn(k) ]T （13）

则可以将生育率和存活率写为矩阵形式：

?b0(k)b1(k)?0s0?L(k)???????0?bn?1(k)bn(k)?????????? （14）

??sn?10?

则女性人口模型可以写为以下形式：

X(k+1)=L(k) X(k) （15）

至此，问题转化为求解L（k），在这里，bi(k)根据出生性别比进行调整，

12

基本原则是保持?(k)=1.8不变，由于bi(k)为生育女儿的生育率，所以在总和生育率恒定的情况下，出生性别比会影响到bi(k)，并且类似前面对?(k)修正的处理，这里bi(k)及?(k)要满足以下条件：

?b(k)?1.8/(1?br(k))ii=i0i1i1?b(k?1)?1.8/(1?br(k?1))ii=i0 总和生育率为1.8

bi(k?1)i1ii=i0?bi(k)i1ii=i0?b(k?1)?b(k)

生育模式不变

可以解得：

bi(k)[?1br(k)]k?1?) bi( （16）

1?br(k?1)这样便得到了各年龄段生育率的递推式，可以逐年修正bi(k)的取值。下面对br(k)进行求解。

5.4.2

br(k)的求解——男女性别比预测模型——GM（1，1）模型

[3]

5.4.2.1 模型的分析与建立

首先，我们对历年中国人口性别比的趋势作一描述具体图如下：

125120出生性别比历年出生性别比11511010510095196419891995199719992001年代2004

13

图5.4.2 历年出生性别比（1994-2005年）

由上图可知，中国人口性别比目前是持续升高的趋势。如果现在中国政府不采取措施的话，在未来人口性别比将持续增高。因此，我们根据以上这种条件可建立灰色预测GM（1，1）模型 ：

(1)u(k)??z0(k)?? （17）

(1)(1)(0)(1)其中，u(k)为x1的的灰导数u(k)?br0(k)?br0(k?1)?br0(k)；z0为

br0(1)(k)?br0(1)(k?1)； ?为发展系统，?为灰作用量，r的均值数列，z(k)?2(1)0(1)0(1)为白化背景，经过简化可得方程： z0(1)br0(0)(k)??z0(k)?? （18）

将br0(0)(2)…br0(0)(n)代入方程（17），可得：

(1)br0(0)(2)??z0(2)??(1)br0(0)(3)??z0(3)???(1)br0(0)(n)??z0(n)?? （19）

在最小二乘意义下可求解此线性方程组得：u?(BTB)?1Y。其中：

(1)??z0(2)??1?br0(0)(2)?????Tu?(??)G,??????，Y???? （20）

(1)??z0??br(0)(n)?(n)?1???0?由 GM（1，1）灰微分方程（17）所对应的白化微分方程：

dbr0(1)???br0(1)(t)?? dt???k?(1)(0)?br0(k?1)?(br0(1)?)e?,(k?1,2,3..)???br0(0)(k?1)?(br0(0)(1)?

???k)e(1?e?) ?5.4.2.2 模型的求解

基于以上模型，我们用MATLAB7.0对上述模型进行了求解，还是以2001年为准预测了十一个组间的男女出生比率，结果如下（代码见附录）：

14

男女出生比率 % 年份 男女出生比率 % 年份 115.86 116.73 117.62 118.51 119.41 120.31 121.22 1997-1999 2000-2002 2003-2005 2006-2008 2009-2011 2012-2014 2015-2017 122.14 123.07 124 124.94 125.89 126.84 0.001627 残差 2018-2020 2021-2023 2024-2026 2027-2029 2030-2032 2033-2035 表5.4.2.2 灰色预测未来10个组的男女性别比

5.4.3 动态模型的求解

用上述5.4.2.2求得的模型参数代入动态的Leslie模型中，利用MATLAB7.0可求得未来中短期和长期的人口预测值，结果如下（代码见附录）：

女性人口预测值680000660000640000620000600000580000560000女性人口值20022005200820112014201720202023202620292032年份

5.5 基于出生性别比的总体性别比例预测模型

5.5.1 模型的分析与建立

由于出生性别比会影响到男女人口的数量，在此就通过出生性别比来联系相邻两年的男女人口数。容易得到以下表达式：

?x(n)(1?d)k(n) 第n年存活下来的男性人数

iiix0(n?1)br(n?1) 第n+1年新增男性人数

?x(n?1) 第n+1年的女性人数

ii

进一步就可以得出以下性别比的递推式：

15

?[x(n)(1?d)k(n)]?x(n?1)br(n?1)k(n+1)= （21） x(n?1)?ii0iii5.5.2 模型求解

通过上述递推式可以给出性别比的预测： 男女性别比（从左至右排列）： 1.0623 1.0722 1.0815 1.0902 1.0985 1.1064 1.1141 1.1218 1.1297 1.1375 1.1454 1.1533 1.1607 1.1677 1.1741 1.1797 1.1846 1.1888 1.1961 1.19 1.1878 1.1856 1.192 1.1944 1.197 1.1974 1.1975 1.1972 1.1966 1.1959 1.1948 1.1934 1.1918 其图象为： 1.21.15男女人数比1.11.05051015202002-2034253035

图5.5.2 未来35年男女人数比预测图

如果国家任由男女出生性别持续攀升，由表5.4.2.2所示，可以预测出未来的人口数量如图所示：

16

1.651.61.551.5x 109总人口数1.451.41.351.31.251.20510152025302002-2050年35404550

图5.5.3 任由出生男女比例攀升人口数量的预测

由上图可以看出如果不采取措施，未来人口将会持续升高，峰值为1.63亿左右，而且男女人数严重失调，对此我们用国家控制力度p来限制男女出生比例。从2007年开始，逐年减少男女出生比例，最终稳定在1.05左右。下面分别取p=0.01,p=0.05,得出2002-2037年人口数量和性别比例图如下：

1.5x 1091.451.4人口总数1.351.31.25p=0.05p=0.011.2051015202002-203725303540

图5.5.4 不同国家控制力度P人口数量预测

17

1.221.21.181.16男女人数比1.141.121.11.081.06p=0.05p=0.01051015202002-2037年25303540

图5.5.3 不同国家控制力度P下男女人数比预测图

六、模型的优点与不足

通过以上静态经典Leslie模型、改进后的静态Leslie模型以及最终动态Leslie模型对中国人口发展的预测的对比，我们可以知道动态Leslie模型具有以下优点：

1、各年龄育龄妇女总生育率等动态参数随时间不断变化，使得预测结果能很好地和实际情况相吻合，预测结果精度高；

2、预测人口发展状况时间长。不但适合中短期预测人口发展，而且适合长期预测人口发展；

3、模型可调性强，国家可以根据模型针对实际情况对人口发展政策进行调节；

4、采用反馈机制，反馈效果好，运用一次预测的输出决定下次预测的输入，对中短期以及长期的人口发展状况都能很好地进行预测；

模型的主要缺点：

1、难以确定国家政策与模型中控制力度P的量化关系；

2、本文中模型建立在死亡率是定值的基础上，没有考虑死亡率随时间的变化。

18

七、模型的推广

模型中动态Leslie模型中，各年龄育龄妇女总生育率等动态参数随时间不断变化，使预测结果能很好地和实际情况相吻合，预测结果精度高。但是模型还可以从其他方法上来完善。可以增加考虑因素，对模型进行推广，提出加入城乡人口迁移率、用因素分析的方法研究人口系统之外的各因素条件对人口发展的影响等对模型进行调整和改进思路。

考虑城乡人口迁移率，为了更合理的描述人口的迁移，可引入托达罗人口迁移模型，考虑人口迁移的根本原因，分析城乡收入差距、城市的就业率、迁移成本等因素对人口迁移的影响，对人口迁移做出合理的预测。

计划生育是影响中国人口的重要因素，考虑在计划生育的影响下的人口系统的复杂性，为了更加精确合理的描述在计划生育下人口的发展状态，引入Sharpe-Lotka模型，并在Sharpe-Lotka模型的基础上考虑实行计划生育的复杂性，建立人口复杂巨系统的数学模型. 将全体女性人口划分为未育女性人口、节育女性人口、绝育女性人口，考虑其各自的密度函数，建立偏微分方程模型，对计划生育影响下的人口变化做出合理预测。这样便可以更好地反映人口发展状况，使预测结果与实际值更接近，更具有普遍意义。近年来，人口城镇化加速，大量农村人口流入大城市，给大城市的发展带来一定的影响。所以，如何处理好城乡人口迁移率的问题占有重要地位。也可以从托达罗的人口迁移模型中得到相关启发，并做进一步深入做研究工作。

人口老龄化加速也是人口问题的重点。人口的老龄化不断加深，使得社会的生产力水平下降，社会抚养负担加重，人口的生育率也随之发生改变。人口老龄化逐渐成为社会关注的焦点。

人口问题说到底是发展问题，提高人口质量与控制人口数量是相辅相成的。人口素质的提高是经济增长的一个重要源泉。世界银行研究表明，劳动力受教育平均时间每增加一年，国内生产总值就会增加9%。随着我国现代化的不断推进和市场经济的飞速发展，迁移流动人口大量增加，农村剩余劳动力纷纷涌入城市，这给计划生育工作带来新的课题。所以，模型如何从人口素质的方面着手研究人口发展问题意义重大。

本文的动态Leslie模型较好地解决了人口发展状况的预测问题，尤其是其较强的可调性，使得模型能适应不断变化的社会人口发展状况。因此，本模型还可以推广到其他类似的研究领域，如自然界生物种群生长情况的研究、各种离散度高的离散系统的研究等等。

参考文献

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社， 2003年

[2] 徐金明 主编， MATLAB实用教程，北京 ，清华大学出版社*北京交通大学

出版社，2005年7月

[3] 邓聚龙 著，灰色系统基本方法 ，武汉，华中科技大学出版社，2005年8月

19

[4] 宋健 于景元 著，《人口控制论》，科学出版社，北京，1985年 [5] 高海音 郭珊珊，变系数Leslie模型在污染环境下生存问题的研究，

长春大学学报，2006年6月

[6] 中华人民共和国国家统计局，http://www.stats.gov.cn/tjsj/ndsj/ ， 2007年9月21日

附 录

function d=f1(datar,datap) %求各个年龄的死亡率。 n=size(datap); m=size(datar); e=m(2)/n(2); for i=1:n(2) p=datap(:,i);

D=datar(:,1+(i-1)*e:i*e); for j=1:m(1)

t=[D(j,3)*sum(p(1:2)) D(j,7)*sum(p(3:4)) D(j,11)*sum(p(5:6))]; d(j,i)=(t(1)*D(j,4)+t(2)*D(j,8)+t(3)*D(j,12))/sum(t); end end

function b=f2(bwr,datap,datar,databr) %求生育率。 m=size(datar); n=size(datap); e=m(2)/n(2); for i=1:n(2)

w=databr(:,1+(i-1)*3:3*i); D=datar(16:50,1+(i-1)*e:e*i); p=datap(:,i); a=bwr(i,:);

a=100./(a+100); for j=1:35

t=[D(j,3)*sum(p(1:2)) D(j,7)*sum(p(3:4)) D(j,11)*sum(p(5:6))]; b(j,i)=sum(t.*w(j,:).*a)/sum(t); end end

function x=f3(x0,s,b)

%预测下一年的女性人口按年龄分布的向量。 n=length(b);

20

x(1)=x0(16:15+n)*b/1000; n=length(s); for i=1:n-1

x(i+1)=s(i)*x0(i)/1000; end

function x=f4(datap,datar,k)

%求各年度2000+k的个年龄段女性人口的分布向量。 m=size(datar);

D=datar(:,1+(k-1)*12:k*12); p=datap(:,k); for i=1:m(1)

x(i)=(D(i,3)*(p(1)+p(2))+D(i,7)*(p(3)+p(4))+D(i,11)*(p(5)+p(6)))/100; end

function x=f5(x0,s,b,k)

%预测k年后的女性人口分布。k>=2 for i=1:1:k if i==1

x(i,:)=f3(x0,s,b); else

x(i,:)=f3(x(i-1,:),s,b); end end

function X=f6(datap,datar,S,B,k)

%比较2001-2005预测30年每年的人口数量。 s='rbgy'; for i=1:5

x0=f4(datap,datar,i);

X(i,:)=sum((f5(x0,S(:,i),B(:,i),k))'); if i~=5

plot(1:k,X(i,:),s(i)); end

hold on; end

function x=f7(s,b,m,n)

%b,s分别为平均的出生率向量，平均的存活向量,均为列向量。 %m为第2000+m年的人口分布向量； %n为预测的年数。 load datap;

21

load datar;

x0=f4(datap,datar,m); x=f5(x0,s,b,n);

function x=f8(s0,b0,m,n,mr)

°,s0分别为平均的出生率向量，平均的存活向量,均为列向量。 %m为第2000+m年的人口分布向量； %n为短中期预测的年数。 %总和生育率beta=1.8。

%mr表示当前2000+m年男女人数之比。 beta=1.8;

beta=beta/(1+mr);

detabeta=beta-sum(b0)/1000;

b=b0*(detabeta)/(sum(b0)/1000)+b0;%修正生育率。 x=f7(s0,b,m,n);

function [X,Q,kb]=f9(x,s0,b0,k,m)

%°,s0分别为平均的出生率向量，平均的存活向量,均为列向量。 %m表示取2000+m年的人口分布向量为初始迭代向量； %n为短中期预测的年数。 %总和生育率beta=1.8。

%mr表示当前2000+m年男女人数之比。 %x=[115.71 116 116.45 117.76],为1994-1996；1997-1999；2000-2002；2003-2005

%的平均出生率。 beta=1.8;

y=fGM11(k,x);%计算预测序列，k表示预测k个新数据 n=length(x); kb=[x(3),x(3)]; y=y(n:n+k-1);

y=[x(4),y];%并上2003-2005年的出生男女比。 n=length(y); for i=1:n*3

j=fix((i-1)/3)+1; kb(2+i)=y(j); mr=y(j)/100; if i==1

X(i,:)=f8(s0,b0,m,1,mr);%预测第2000+m+i年的女性人口分布向量。 beta=beta/(1+mr);

detabeta=beta-sum(b0)/1000;

b=b0*(detabeta)/(sum(b0)/1000)+b0;

Q(:,i)=b;%第2000+m+i年的生育率分布向量。 else

22

beta=1.8/(1+mr);

detabeta=beta-sum(b)/1000;

b=b*(detabeta)/(sum(b)/1000)+b; Q(:,i)=b;

X(i,:)=f3(X(i-1,:),s0,b); end end

kb=kb(1:3*(k+1));

function K=f10(x,K0,x0,s0,b0,m,k); %求各年的男女人数比

[X,Q,kb]=f9(x,s0,b0,k,m); n=length(X(:,1)); for i=1:n if i==1

K(i)=(x0*s0*K0/1000+kb(i)*X(i,1)/100)/sum(X(i,:)); else

K(i)=(X(i,:)*K(i-1)*s0/1000+kb(i)/100*X(i))/sum(X(i,:)); end end

function [Qp,Xp,Kp]=f11(X,Q,p,s0,a,k,K);

%a为当前的出生性别比，p为政府采取有关措施降低出生性别比的力度。 bsexr=1.05; i=1;

bmnr1=[];

while a-bsexr-p*i>=p bmnr1(i)=a-p*(i); i=i+1; end

n=length(bmnr1); Xp(1:6,:)=X(1:6,:); Qp=Q(:,1:6); b=Q(:,6); for i=1:k if i<=n

mr=a-p*(i-1); else

mr=bsexr; bmnr1(i)=mr; end

beta=1.8/(1+mr);

detabeta=beta-sum(b)/1000; b=b*(detabeta)/(sum(b)/1000)+b;

23

Qp(:,6+i)=b;

Xp(6+i,:)=f3(Xp(6+i-1,:),s0,b); end

n=length(Xp(:,1)); bmnr1; for i=1:n-6 if i==1

Kp(i)=(X(i+5,:)*s0*K(6)/1000+a*X(i+6,1))/sum(X(i+6,:)); else

Kp(i)=(Xp(i+6,:)*s0*Kp(i-1)/1000+bmnr1(i)*Xp(i+6,1))/sum(Xp(i+6,:)) ; end end

function f12(p,k,str)

%画图，不同力度下总人口的预测； load matlab.mat str='r.b0yxg+k*'; for i=1:length(p)

[qp,xp,kp]=f11(X,Q,p(i),s0,1.185,k,K); sw=sum(xp');

kp=[(K(1:6))',kp]; figure(1);

plot(1:length(kp),kp,'*'); hold on;

sall=sw.*(kp+1); figure(2);

plot(1:k+6,sall*1000,'.'); hold on; end

24

Qp(:,6+i)=b;

Xp(6+i,:)=f3(Xp(6+i-1,:),s0,b); end

n=length(Xp(:,1)); bmnr1; for i=1:n-6 if i==1

Kp(i)=(X(i+5,:)*s0*K(6)/1000+a*X(i+6,1))/sum(X(i+6,:)); else

Kp(i)=(Xp(i+6,:)*s0*Kp(i-1)/1000+bmnr1(i)*Xp(i+6,1))/sum(Xp(i+6,:)) ; end end

function f12(p,k,str)

%画图，不同力度下总人口的预测； load matlab.mat str='r.b0yxg+k*'; for i=1:length(p)

[qp,xp,kp]=f11(X,Q,p(i),s0,1.185,k,K); sw=sum(xp');

kp=[(K(1:6))',kp]; figure(1);

plot(1:length(kp),kp,'*'); hold on;

sall=sw.*(kp+1); figure(2);

plot(1:k+6,sall*1000,'.'); hold on; end

24

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