基于小波变换的图像平滑与模糊

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摘要

由于近年来小波变换技术越来越多在用于图像处理技术中，而图像的平滑、模糊等更是其中的重点，Matlab就是其有效的工具。对图像的平滑与模糊来说，其原理基本上都是一样，都是利用小波分析的方法（即小波变换），首先是要对图像进行层分解提取分解的低频和高频系数，然后对其各频率（竖直、水平、斜向）进行重构或弱化细节部分，突出近似部分。由于在编程环境下有许多地方需要值得改进，而利用其工具箱具有独特的优点，能实现许多功能，能够更好的满足用户的需要。近年来，Matlab在各个领域应用中越来越广泛，而小波分析又是基于Matlab的，其强大的工具箱也是实现各种图像变换的基础，由于Matlab本身的优点是效率高、使用方便、扩充的能力强、绘图又很方便。因此，本文利用MATLAB语言给予了仿真实现，给出了具体实验结果，并进行了对比分析，验证了几种算法的有效性。

关键词：小波变换；图像平滑；图像模糊；Matlab仿真

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Abstract

In recent years, wavelet transform technique is more and more used in the image processing technology, image smoothing, fuzzy and so on is the key, Matlab is the effective tool. The smoothing and blurring image, its principle is basically the same, are using the wavelet analysis (i.e. the wavelet transform) first of all, is to decompose the low frequency and high frequency confficients extracted from the decomposition of the image, and then the frequency (vertical, horizontal, oblique) are reconstructed or weakening the details, highlighting the approximate part. Because in the programming environment has many places need to be improved, and the use of the toolbox has unique advantages, can realize many functions, need to be able to better satisfy user. In recent years, Matlab has become more and more widely used in various fields, and wavelet analysis is based on the Matlab, its powerful toolbox is also the basis of achieving various image transform, because the advantages of Matlab itself is the ability of high efficiency, convenient use, extended strong, drawing and very convenient. Therefore, in the next few years, various image analysis technique of Matlab based on will become more and more mature, its applications will become increasingly,widespread and conveniently.Therefore,the use of MATLAB language gives simulation and experimental results are given in detail, and comparison analysis, and verifies the effectiveness of the algorithm.

Keywords: Wavelet transform; mage smoothing ; Image blurring ; Matlab emulating

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目录

第一章绪论 (1)

一、图像处理简介 (1)

二、小波变换 (1)

（一）小波分析的特点 (1)

（二）小波分析的应用 (1)

三、MATLAB简介 (2)

四、图像处理的应用以及发展动向 (2)

（一）发展 (2)

(二) 应用 (3)

第二章图像处理概述 (4)

一、什么是数字图像 (4)

（一）采样 (4)

（二）量化 (4)

（三）采样、量化和图像细节的关系 (5)

二、图像处理概念 (5)

三、图像处理技术 (5)

(一) 主要的处理技术 (5)

(二) 主要的处理方法 (6)

第三章小波变换的基本理论 (7)

一、从傅立叶变换到小波变换 (7)

（一）傅里叶变换 (7)

（二）短时傅里叶变换 (7)

（三）小波变换 (8)

二、连续小波变换 (9)

（一）一维连续小波变换 (10)

（二）高维连续小波变换 (11)

三、离散小波变换 (12)

四、小波包分析 (13)

（一）小波包的定义 (14)

（二）小波包的性质 (15)

（三）小波包的空间分解 (15)

第四章基于小波变换的图像平滑技术 (17)

一、引言 (17)

二、传统的图像平滑技术 (17)

（一）图像中的噪声 (17)

（二）图像平滑化处理 (18)

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（三）多图像平均法 (24)

（四）中值滤波法 (24)

三、基于小波变换的图像平滑 (25)

（一）小波变换下的图像平滑过程 (25)

（二）小波变换用于图像平滑的优势 (26)

第五章基于小波变换的图像模糊技术 (27)

一、引言 (27)

二、模糊集识别法简介 (28)

三、模糊集合及其运算 (28)

（一）模糊子集 (28)

（二）模糊集表示 (30)

（三）模糊集合的代数运算 (30)

（四）模糊熵 (31)

第六章MATLAB模拟仿真 (32)

一、引言 (32)

二、MATLAB概述 (33)

（一） MATLAB产生的历史背景 (33)

（二） MATLAB的发展 (33)

（三） MATLAB语言的特点 (34)

（四） MATLAB软件的主要功能 (34)

（五） MATLAB在图像处理中的应用 (35)

(六) MATLAB仿真 (36)

总结 (43)

致谢 (44)

参考文献 (45)

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第一章绪论

一、图像处理简介

图像处理广义上包含图像处理、图像分析和图像理解等内容。图像处理是对图像本身进行“加工”，以改善其视觉效果或表现形式。图像处理的内容包括点运算、几何处理、图像增强、图像复原、图像形态学处理、图像编码、图像重建、模式识别等。图像处理的处理方法大致可分为:空间(时间)域处理方法和变换域处理方法。前者指利用图像在空域中的特点直接对图像进行各种运算。后者则首先通过某种变换将图像从空间域转换到对应的某变换域中，然后利用图像在该变换域中表现出的特性，对变换过的图像进行处理；如需要，再经过的逆变换转换回到空域中。图像处理中常用变换通常是正交变换，如傅立叶变换、离散余弦变换(DCT)、K一L变换、小波变换等。本论文讲的是小波变换。

二、小波变换

小波理论(Wavelet Transform)是20世纪80年代后期迅速发展起来的应用数学分支，它属于时频分析的一种。1980年法国地球物理学家Morlet仔细研究了Gabor变换，对傅里叶变换和短时傅里叶变换做了深入研究，创造性的提出了“小波”的概念。而传统的信号分析是建立在傅里叶变换的基础之上的，由于傅里叶分析使用的是一种全局的变换，要么完全在时域，要么完全在频域，因此无法表述信号的时频局域性质，而这种性质恰恰是非平稳信号最根本和最关键的性质。为了分析和处理非平稳信号，人们对傅里叶分析进行了推广乃至根本性的革命，提出并发展了一系列新的信号分析理论：短时傅里叶变换、时频分析、小波变换等。小波的基本思想是：通过一个母函数在时间上的平移和在尺度上的伸缩，获得一种能自动适应各种频率成分的有效信号分析手段以取代短时傅里叶变换。在分析非平稳时变信号时，既能用持续时间很短的高频基函数去分析信号的高频成分，又能在持续时间相对较长的低频基函数去分析信号的低频成分。（一）小波分析的特点

1.具有多分辨率，也叫多尺度的特点，可以由粗略到精细的逐步观察信号。

2.选择适当的小波函数，可使小波变换在时、频两域都具有表征信号局部特征的能力，有利于检测信号的瞬态或奇异点。

（二）小波分析的应用

小波分析在时域、频域内具有良好的局部分析特性，在信号分析、图像处理、数据

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压缩、计算机视觉等很多领域得到了广泛的的应用，甚至还包括：数学领域的许多学科、量子力学、理论物理、军事电子对抗与武器的智能化、计算机分类与识别、音乐与语言的人工合成、医学成像与诊断、地震勘探数据处理、大型机械的故障诊断等方面。三、MATLAB简介

本论文运用MATLAB软件进行仿真，下面简单介绍MATLAB软件。MATLAB 软件是美国The MathWorks 公司的产品，它的字面含matrix laboratory (矩阵研究室) ，它在美国以及其它发达国家的大学、科研机构、军事工业、制造业、金融业中广为应用。MATLAB 在大学理工科的教学中也极有价值，它可以方便地进行矩阵、函数、积分、重积分、概率、统计、模糊逻辑、最优化等运算，可以方便地求解高次方程、多元线性方程、常微、偏微方程,可以方便地对静力学、动力学、电磁学中的许多问题进行模拟，可以把复杂的数学解析式、方程式方便地用图形直观地表现出来。所有这些，在理科的基础课，专业课教学中都占有重要地位。

MATLAB 由如下几个方面组成：

1. MATLAB 语言：这是一种适合于矩阵运算的高级语言，它具有函数、数据结构、输入/ 输出、面向对象(OOP) 等特点。

2. MATLAB 工作环境：为用户提供各种分析、模拟、计算的工具，用户也可以用MATLAB 设计自己的专用工具，为此MATLAB 提供了编写程序的控制、调试、扩充工具。

3. MATLAB 数学函数库：MATLAB 拥有庞大的函数库,这些函数都是由诸如加法、三角函数、复数算法等MATLAB 的基本函数或命令所组成。

4. MATLAB 应用程序接口(API) ：充许用户在MATLAB 平台上编写C、FORTRAN 程序。

四、图像处理的应用以及发展动向

（一）发展

图像处理技术未来发展大致可归纳为如下四点：

1. 图像处理的发展将向着高速、高分辨率、立体化、多媒体化、智能化和标准化方向发展。

2. 图像、图形相结合朝着三维成像或多维成像的方向发展。

3. 硬件芯片研究，将图像处理的众多功能固化在芯片上将会有更加广阔的应用领

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域。

4. 新理论和新方法研究。

(二) 应用

图像是人类获取和交换信息的主要来源，因此，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。

图像处理技术的应用大致可归纳为如下四点：

1. 在航空、航天遥感方面，计算机对卫星或飞机的遥感图片进行畸变校正、复原和增强，进而统计地球资源信息，进行环境监测等。

2. 在生物医学领域中，应用数字图像处理技术对心电、脑电、超声波及各种放射性图像进行自动分析，对细胞、染色体等显微图像进行自动检测。最突出的例子是己经广泛应用的计算机层析技术CT。

3. 在工业方面，先进的工业机器人的应用，就是建立在图象处理、模式识别和人工智能基础上。同时，工业自动检测和无损探伤也都依赖于图像处理技术。

4. 图像处理技术在军事、政法等方面也有广泛的应用。如利用遥感图像分析地形地貌，判断军事设施以及伪装，分析指纹等。

随着科技进步以及人类需求的多样化的发展，多学科的交叉、融合已是现代科学发展的突出特点和必然途径，而图像处理科学又是一门与国计民生紧密相连的一门应用科学，它的发展与应用与我国的现代化建设联系密切，影响深远。图像处理科学无论是在理论上还是在实践上都存在着巨大的潜力。总而言之，随着计算机技术的日益发展，图像处理技术将日益完善，图像处理的应用范围将越加深入和广泛。

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第二章 图像处理概述

一、 什么是数字图像

所谓数字图像就是把传统图像的画面分割成如图2-1所示的被成为像素（picture element ，简称pixel 。有时候也用pel 这一简写词）的小的离散点，各像素的灰度值也是用离散值即整数值来表示的。数字图像（digital imagine ）和传统的图像即模拟图像(picture)是有差别的。 灰度，亮度

等的分布 数字化像素（抽样点）

模拟图像

数字图像

图2-1 数字图像 为了从一般的照片，景物等模拟图像中得到数字图像，需要对传统的模拟图像进行采样与量化两种操作（二者统称为数字化）。

（一） 采样

采样（sampling ）就是把在时间上和空间上连续的图像变成离散点（采样点，即像素）的集合的一种操作。

通过采样，如设横向的像素数为M ，纵向的像素数为N ，则画面的大小可以表示为“M*N”个像素。

（二） 量化

经过采样，图像被分解成在时间上和空间上离散分布的像素，但是像素的值（灰度值）还是连续值。像素的值，是指白色-灰色-黑色的浓淡值，有时候也指光的强度（亮度）值或灰度值。把这些连续的浓淡值或灰度值变为离散的值（整数值）的操作就是量化。

对连续的灰度值赋予量化级的，即灰度值方法有：均匀量化（uniform quantization ），

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线性量化（liner quantization ），对数量化，MAX 量化，锥形量化（tapered quantization ）等。

（三） 采样、量化和图像细节的关系

上面的数字化过程，需要确定数值N 和灰度级的级数K 。在数字图像处理中，一般都取成2的整数幂，即：

2n N =

2m K = 一幅数字图像在计算机中所占的二进制存储位数b 为：

*l o g (2)**()m N N b N N m b i t == 由于数字图像是连续图像的近似，从图像数字化的过程可以看到。这种近似的程度主要取决于采样样本的大小和数量(N 值)以及量化的级数K(或m 值)。N 和K 的值越大，图像越清晰。

二、 图像处理概念

图像处理(Image Processing)是将图像转换为一个数字矩阵存放在计算机中，并采用一定的算法对其进行处理，通过计算机对图像进行去除噪声、增强、复原、分割、提取特征等处理的方法和技术。就图像的本质来说可以分为模拟图像和数字图像两大类。本论文涉及到的图像处理都是指数字图像的处理。数字图像处理（Digital Image Processing ）就是利用数字计算机或者其他数字硬件，对从图像信息转换而得到的电信号进行某些数学运算，是将一幅图像变为另一幅经过修改(改进)的图像的表示，以提高图像的实用性。

三、 图像处理技术

图像处理的基础是数学，最主要的任务就是各种算法的设计和实现。目前的图像处理技术已经在许多不同的应用邻域中得到了巨大的成就。

(一) 主要的处理技术

根据应用邻域的不同要求，可以将图像处理技术划分为许多分支，其中比较重要的分支有：

1. 图像数字化：通过取样与量化过程将图像变换成便于计算机处理的数字形式。通常，图像在计算机内用一个数字矩阵表示，矩阵中的每一个元素称为像素。

2. 图像编码：对图像信息进行编码，可以压缩图像的信息量，以便满足传输与存储

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的要求。

3. 图像增强：使图像清晰或将其转换为更适合人或机器分析的形式。图像增强并不要求真实地反映原始图像。

4. 图像平滑：可以减小噪声，且对图像恰当平滑，能使图像特征得到较好保护，使其更加明显。

5. 图像复原：消除或减少在获取图像过程中所产生的某些退化，尽量反映原始图像的真实面貌。

6. 图像分割：将图像划分为一些互不重叠的区域。通常用于将分割的对象从背景中分离出来。

上述图像处理的内容往往是互相有联系的。一个实用的图像处理系统往往需要结合应用几种图像处理技术才能得到所需要的结果。

如图2-2粗略说明数字图像处理的主要内容及步骤： 图像信息输入像质改善

增强复原

数据压缩图像数字化图像分析判决分类

区域分割

特征提取图像输出

模拟化

图2-2 数字图像处理的主要内容和步骤

(二) 主要的处理方法

数字图像处理方法大致可分为两大类，空域法和变换域法。

1. 空域算法

空域算法是指在空间域内直接对数字图像进行处理，在处理时，即可以直接对图像中像素点进行灰度上的变换处理，也可以对图像进行小区域模板的空域滤波处理，以充分考虑像素邻域内的像素点对其的影响。

2. 变换域法

变换域处理方法主要是通过傅立叶变换、沃尔什变换或是比较新的小波变换等变换算法，将图像从空域信号变换到相应的变换域信号，然后在变换域中对信号进行处理，处理后再将信号从变换域反变换到空间域。由于变换域的作用空间比较特殊，因此可以实现许多在空间域中无法完成或是很难实现的处理，广泛应用于滤波、压缩编码等方面。

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第三章 小波变换的基本理论

一、 从傅立叶变换到小波变换

（一） 傅里叶变换

在信号处理中重要方法之—是傅立叶变换，它架起了时间域和频率域之间的桥梁。对很多信号来说，傅立叶分析非常有用。因为它能给出信号令包含的各种频率成分。

傅里叶变换的定义：设)(x f 为x 的函数，如果)(x f 满足下面的狄里赫莱条件：

（1）具有有限个间断点；

（2）具有有限个极值点；

（3）绝对可积。

则有下列两式成立：

()dx e x f u F ux j π2)(-∞

∞-?= （3.1）

()du e u F x f ux j π2)(?∞

∞-= （3.2） 式中，x 为时域变量，u 为频域变量。通常把以上公式称为傅里叶变换对。

但是，傅立叶变换有着严重的缺点：变换之后使信号失去了时间信息，它不能告诉人们在某段时间里发生了什么变化。因此傅里叶变换不适于分析处理这类信号。

虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来，这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息。也就是说，对于傅立叶谱中的某一频率，不知道这个频率是在什么时候产生的。这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。

在实际的信号处理过程中，尤其是对非平稳信号的处理中，信号在任一时刻附近的频域特征都很重要。这就促使去寻找一种新方法，能够将时域和频域结合起来描述观察信号的时频联合特征，构成信号的时频谱。这就是所谓的时频分析法，也称为时频局部化方法。

（二） 短时傅里叶变换

短时傅立叶变换的基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间间隔存在的频率。其表达式为：

dt e g t f S t j R

ωτωτω--=?)()(),(* (3.3)

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其中*表示复共轭，g(t)是有紧支集的函数，f(t)是进入分析的信号。在这个变换中，t j e ω起着频限的作用，g(t)起着时限的作用。随着时间τ的变化，g(t)所确定的“时间窗”在t 轴上移动，是f （t ）“逐渐”进行分析。因此，g （t ）往往被称之为窗口函数， ),(τωS 大致反映了f （t ）在时刻τ时、频率为ω的“信号成分”的相对含量。这样信号在窗函数上的展开就可以表示为在],[δτδτ+-、],[εωεω+-这一区域内的状态，并把这一区域称为窗口，δ和ε分别称为窗口的时宽和频宽，表示了时频分析中的分辨率，窗宽越小则分辨率就越高。很显然，希望δ和ε都非常小，以便有更好的时频分析效果（事实上，δε≥21，且仅当2224/11

)(δδπt e t g =为高斯函数时，等号成立）。

由此可见，短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶不具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，即当窗函数g(t)确定后，矩形窗口的形状就确定了，τ，ω只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数g(t)。因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，在信号波形变化剧烈的时刻，主频是高频，要求有较高的时间分辨率（即δ要小），而波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，则要求有较高的频率分辨率（即ε要小）。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。

（三） 小波变换

1. 小波变换的定义

设)(t f 具有有限能量，即()R L t f 2)(∈，则小波变换式为：

()()()dt t t f b a W ab f ψ?∞

∞

-=,

()dt a b t a t f ??? ??-=?∞∞-ψ1 ()()R L t f a 2,0∈≥ (3.4) 积分核为dt a b t a ab ??

? ??-=ψψ1

的函数族。 小波变换与傅里叶变换非常相似，其基本的数学思想来源于经典的调和分析，都是将信号与一个具有两个参数的函数作内积运算。傅里叶变换以三角函数作为基底对信号进行展开，小波变换则以局部化函数所形成的相似函数作为基底对信号展开，并且小波

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变换提出了变化的时间窗，当需要精确的低频信息时，采用长的时间窗，当需要精确的高频信息时，采用短的时间窗。

小波变换用的不是时间-频率域，而是时间-尺度域。尺度越大，采用越大的时间窗，尺度越小，采用越短的时间窗，即尺度与频率成反比。小波变换发展了短时傅里叶变换的局部化思想，其窗口可随频率增大而缩小，随频率减小而放大。

2. 在图像处理的方面，小波变换存在以下几个优点：

（1）小波分解可以覆盖整个频域(提供了一个数学上完备的描述)。

（2）小波变换通过选取合适的滤波器，可以极大的减小或去除所提取得不同特征之间的相关性。

（3）小波变换具有“变焦”特性，在低频段可用高频率分辨率和低时间分辨率(宽分析窗口)，在高频段，可用低频率分辨率和高时间分辨率(窄分析窗口) 。

（4）小波变换实现上有快速算法(Mallat 小波分解算法)。

小波分析已经成为发展最快和最引人注目的学科之一，几乎涉及或者应用到信息领域的所有学科。

二、 连续小波变换

小波（wavelet ），小区域的波，是一种特殊的长度有限或快速衰减，且均值为0的

波形。将任意)(2R L 空间的函数f(t)在小波基下展开，称这种展开为函数f(t)的连续小波

变换：

dt a

b t t f a f b a W R b a f )()(,),(2/1,->==

从上述定义可以看出，小波变换和傅里叶变换一样，也是一种积分变换，

),(b a W f 为变换系数。但是与傅里叶变换不同的是该变换有两个参数a 和b ，它意味着将一个时间函数投影到二维的时间-尺度相平面，这样更有利于提取信号的本质特征。当a 减小是，b a ,ψ（t ）的频谱集中于高频的部分，窗口的尺度也小，这时候的小波函数具有较好的空间分辨率；当a 增大时，b a ,ψ（t ）的频谱又向低频部分倾斜，窗口的尺度增大，空间分辨率也随之降低。

小波变换所采用的小波函数必须满足容许条件：

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10 ?=R

d C ωωωψψ2

)(? （3.6） 小波变换才存在逆变换。 （一） 一维连续小波变换

1. 定义

设)()(2R L t ∈ψ，其傅立叶变换为)(?ωψ，当)(?ωψ满足允许条件（完全重构条件或恒等分辨条件）：

?=R

d C ωωωψψ2

)(?< ∞ (3.7) 时，我们称)(t ψ为一个基本小波或母小波。将母函数)(t ψ经伸缩和平移后得： )(1

)(,a

b t a t b a -=ψψ 0;,≠∈a R b a (3.8) 称其为一个小波序列。其中a 为伸缩因子，b 为平移因子。对于任意的函数)()(2R L t f ∈的连续小波变换为：

dt a

b t t f a f b a W R b a f )()(,),(2/1,->==

??∞∞-∞

∞--=dadb a b t b a W a C t f f )(),(11)(2ψψ (3.10) 由于基小波)(t ψ生成的小波)(,t b a ψ在小波变换中对被分析的信号起着观测窗的作用，所以)(t ψ还应该满足一般函数的约束条件：

?∞∞-dt

t )(ψ〈∞ (3.11) 故)(?ωψ是一个连续函数。这意味着，为了满足完全重构条件式，)(?ωψ在原点必须等于0，即：

0)()0(?==?∞

∞-dt t ψψ (3.12) 为了使信号重构的实现在数值上是稳定的，除完全重构条件：

之外，还要求小波)(t ψ的傅立叶变化满足下面的稳定性条件：

()2

1

1,a a b a W n f +≤

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11 ∑∞∞--≤≤B A j 2

)2(?ωψ

(3.13) 式中0〈A ≤B 〈∞。

从稳定性条件可以引出一个重要的概念。

定义（对偶小波） 若小波)(t ψ满足稳定性条件（3.13）式，则定义一个对偶小波)(~t ψ，其傅立叶变换)(~t ψ由下式给出：

∑∞-∞

=-=j j 2)

2()(*)(?~ωψωψωψ (3.14) 注意，稳定性条件（3.13）式实际上是对（3.11）式分母的约束条件，它的作用是保证对偶小波的傅立叶变换存在的稳定性。值得指出的是，一个小波的对偶小波一般不是唯一的，然而，在实际应用中，我们又总是希望它们是唯一对应的。因此，寻找具有唯一对偶小波的合适小波也就成为小波分析中最基本的问题。

2. 性质

连续小波变换具有以下重要性质：

（1）线性性：即一个函数的连续小波变换等价于该函数各分量的连续小波变换。

（2）平移不变性：若f （t ）的小波变换为),(b a W f ，则)(τ-t f 的小波变换为),(τ-b a W f 。

（3）伸缩共变性：若f （t ）的小波变换为),(b a W f ，则f （t ）的小波变换为0)()0(==?∞

∞-dt t f ψ。 （4）自相似性：对应不同尺度参数a 和不同平移参数b 的连续小波变换之间是自相似的。

（5）冗余性：连续小波变换中存在信息表述的冗余度。

（二） 高维连续小波变换

对)1)(()(2>∈n R L t f n ，公式：

??∞∞-∞

∞--=dadb a b t b a W a C t f f )(),(11

)(2ψψ (3.15) 存在几种扩展的可能性，一种可能性是选择小波

)()(2n R L t f ∈使其为球对称，其傅立叶变换也同样球对称，

)()(?ωηωψ

= (3.16)

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并且其相容性条件变为：

∞<=?

∞

t

dt

t C 0

2

2

)

()

2(ηπψ (3.17) 对所有的)(,2n g L g f ∈，

f C db b a W b a W a da

g f n <=?∞

+ψ),(),(01 (3.18)

这里，),(b a W f =〈b a ,ψ〉，)()(2/,a

b

t a t n b a -=-ψψ，其中0,≠∈+a R a 且n R b ∈，公式（3.18）也可以写为

??∞+-=0,11),(db b a W a da C f b

a R

f n n ψψ (3.19) 如果选择的小波ψ不是球对称的，但可以用旋转进行同样的扩展与平移。例如，二维时，可定义

))(

()(11,,a

b

t R a t b a -=--θθψψ (3.20) 这里，2

,0R b a ∈>，???

?

?

?-=θθ

θθ

θcos sin sin cos R ，相容条件变为 ??

∞<=∞πψθθθψπ202

2)sin ,cos (?)2(d r r r

dr C (3.21) 该等式对应的重构公式为

?

??∞

-=0

20

,,31

),,(2πθψ

θψθd b a W db a da

C f b a f R (3.22) 对于高于二维的情况，可以给出类似的结论。

三、 离散小波变换

在实际运用中，尤其是在计算机上实现时，为了方便计算机进行分析、处理，连续小波必须加以离散化，变为离散时间序列。在进行连续小波变换时，小波变换系数有非常高冗余度，因此，有必要讨论连续小波)(,t b a ψ和连续小波变换),(b a W f 的离散化。需要强调指出的是，这一离散化都是针对连续的尺度参数a 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量t 的。在连续小波中，考虑函数：将小波基的尺度伸缩因子a 和平移因子

b 在给定的离散点上取值，令000

,b na b a a m m ==,其中Z n m ∈,,且10>a ，00>b 是固定值，则连续小波变换转化为离散小波变换。此时，小波函数为：

)(,t b a ψ)()(1

0020kb t a a a b t a

m m

-=-=

--ψψ （3.23）

这里R b ∈，+∈R a ，且0≠a ，ψ是容许的，为方便起见，在离散化中，总限制a

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只取正值，这样相容性条件就变为：

∞<=?∞

ωω

ωψψd C 0)(? (3.24) 所以对应的离散小波函数)

(,t b a ψ即可写作： )()()(002/00

002

/0,kb t a a a b ka t a t m m m m m b a -=-=---ψψψ (3.25) 而离散化小波变换系数则可表示为：

>=<=?∞

∞-b a b a b a f dt t t f C ,*,,,)()(ψψ (3.26) 其重构公式为：

∑∑∞∞-∞

∞-=)()(,,t C C t f b a b a ψ (3.27)

C 是一个与信号无关的常数。

在小波变换离散化的过程中，怎样选择0a 和0b 才能够保证重构信号的精度呢?显然，网格点应尽可能密（即0a 和0b 尽可能小），因为网格点越稀疏，使用的小波函数)(,t b a ψ和离散小波系数b a C ,就越少，信号重构的精确度也就会越低。

四、 小波包分析

短时傅立叶变换对信号的频带划分是线性等间隔的。多分辨分析可以对信号进行有效的时频分解，但由于其尺度是按二进制变化的，所以在高频频段其频率分辨率较差，而在低频频段其时间分辨率较差，即对信号的频带进行指数等间隔划分。小波包分析能够为信号提供一种更精细的分析方法，它将频带进行多层次划分，对多分辨率的高频部分进一步分解，并能够根据被分析信号的特征，自适应地选择相应频带，使之与信号频谱相匹配，从而提高了时-频分辨率，因此小波包具有更广泛的应用价值。

关于小波包分析的理解，我们这里以一个三层的分解进行说明，其小波包分解树如图3-1：

图3-1中，A 表示低频，D 表示高频，末尾的序号数表示小波分解的层树（也即尺度数）。分解具有关系：

S=AAA3+DAA3+ADA3+DDA3+AAD3+DAD3+ADD3+DDD3。

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图3-1 小波包分解树

（一） 小波包的定义

在多分辨分析中，多分辨分析是按照不同的尺度因子j 把Hilbert 空间)(2R L 分解为所有子空间)(Z j W j ∈的正交和的。其中，j W 为小波函数)(t ψ的闭包（小波子空间）。

一种自然的做法是将尺度空间j V 和小波子空间j W 用一个新的子空间n j U 统一起来表征，若令：

j

j j

j W U V U ?????==10

Z j ∈ （3.28）

则Hilbert 空间的正交分解j j j W V V ⊕=+1即可用n j U 的分解统一为

1

001j j j U U U ⊕=+ Z j ∈ (3.29)

定义子空间n j U 是函数是函数)(t U n 的闭包空间，而)(t U n 是函数)(2t U n 的闭包空间，并令)(t U n 满足下面的双尺度方程：

??

??

?-=-=∑∑∈+∈Z

k n n Z

k n n k t u k g t u k t u k h t u )

2()(2)()

2()(2)(122 (3.30) 式中，)1()1()(k h k g k --=，即两系数也具有正交关系。当n=0时，以上两式直接给出：

??

??

?-=-=∑∑∈∈Z k k Z

k k k t u g t u k t u h t u )

2()()

2()(0100 (3.31) 与在多分辨分析中，)()(t t ψφ和满足双尺度方程：

??

???-=-=∑∑∈∈Z k k Z

k k k t g t k t h t )

2()()

2()(φψφφ {}{}2

2l g l h Z k k Z k k ∈∈∈∈ (3.32) 相比较，)(0t u 和)(1t u 分别退化为尺度函数)(t φ和小波基函数)(t ψ。式（3.31）是式（3.30）

AAA3

DDA3

ADA3

DDA3

AAD3

ADA3

ADD3

DDD3

AA2

DA2 AD2 DD2 A1

D1

S

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的等价表示。把这种等价表示推广到+∈Z n （非负整数）的情况，即得到（3.32）的等价表示为

1

21++⊕=n j

n j n j U U U Z j ∈；+∈Z n (3.33) 由于)(t φ由k h 唯一确定，所以又称{}Z n n t u ∈)(为关于序列{}k h 的正交小波包。

（二） 小波包的性质

定理1 设非负整数n 的二进制表示为∑∞

=-=11

2i i i n ε ，i ε=0或1。则小波包)(w u n ∧

的

傅立叶变换由下式给出：

∏∞

=∧

=1

)2/()(i j n w m w u i ε (3.34)

式中：∑+∞-∞

=-==k jkw e k h w H w m )(21)()(0 ∑∞

-∞

=-==k jkw e k g w G w m )(21)()(1 定理2设{}Z n n t u ∈)(是正交尺度函数)(t φ的正交小波包，则kl n n l t u k t u δ>=--<)(),(，即{}Z n n t u ∈)(构成)(2R L 的规范正交基。

（三） 小波包的空间分解

令{}Z n n t u ∈)(是关于k h 的小波包族，考虑用下列方式生成子空间族。现在令n=1，2，…；j=1，2，…，并对（3.22）式作迭代分解，则有

72

62

52

52

42

2

1

3

1

211,--------⊕=⊕=⊕==j j j j j j j j j j U

U

U

U

U

U

U U U W （3.35）

因此，我们很容易得到小波子空间j W 的各种分解如下：

7

26252423

1

21------⊕⊕⊕=⊕=j j j j j j j j U U U U W U U W （3.36）

…

⊕⊕=+--122k

k

k j k j j U U W (1)

1

2

2-+--⊕⊕k k k j k j U U （3.37）

…

⊕⊕=+1

2

20j

j U U W j …⊕1

2

1

-+j U （3.38）

j W 空间分解的子空间序列可写作m j l

U +-21，m=0，1，…，l

2-1；l=1，2，…。子空间序列

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m

j l

U +-21的标准正交基为{

}Z k k t u l j m j l ∈--+--:)2(222/)1(。容易看出，当l=0和m=0时，子空间序列m

j l

U +-21简化为1j U =j W ，相应的正交基简化为)2(2)2(2

2/12/k t k t u j j j j -=-----ψ，它恰好是标准正交小波族{

})(,t k j ψ。若n 是一个倍频程细划的参数，即令n=l 2+m ，则我们有小波包的简略记号=)(,,t n k j ψ)2(22/k t j n j ---ψ，其中，)2(2)(22/t u t l m l n l +=ψ。我们把

)(,,t n k j ψ称为既有尺度指标j 、位置指标k 和频率指标n 的小波包。

定义（小波库） 由)(t n ψ生成的函数族)(,,t n k j ψ（其中+∈Z n ；j ，Z k ∈）称为由尺度函数)(t ψ构造的小波库。

推论3.1 对于每个j=0，1，2，…

j Z

j W R L ∈⊕=)(2=…⊕⊕⊕⊕⊕-3

2001U U W W … (3.39) 这时，族

{)(,,k t u u n k j -|j=…，-1，0；n=2，3，…且Z k ∈} (3.40)

是)(2R L 的一个正交基。随着尺度j 的增大，相应正交小波基函数的空间分辨率越高，而其频率分辨率越低，这正是正交小波基的一大缺陷。而小波包却具有将随j 增大而变宽的频谱窗口进一步分割变细的优良性质，从而克服了正交小波变换的不足。

（四） 小波包算法

下面给出小波包的分解算法和重构算法。设n j n j U t g ∈)(，则n

j g 可表示为：

∑-=l

j

n n j l n j l t u d t g )2()(, (3.41)

小波包分解算法 ： 由{}n j l d ,1+求{}

n j l d 2,与{}12,+n j l d

∑∑+++--==k

k l k l k

k l k n j l n

j n j n

j d b d d a d ,112,,1222, (3.42)

小波包重构算法： 由{n j l d 2,}与{}12,+n j l d 求{}

n j l d ,1+

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第四章 基于小波变换的图像平滑技术

一、 引言

图像在生成和传输过程中常常受到各种噪声源的干扰和影响而使图像处理变差，有时抽样效果差的系统也同样给图像带来噪声。反映在图像上，噪声使原本均匀和连续变化的灰度突然变大或减小，形成一些虚假的物体边缘或轮廓。因此，有必要抑制或消除这类噪声，改善图像质量，这个过程中就要用到图像处理技术。

图像处理技术主要包括灰度变换、图像增强、平滑滤波、锐化等处理技术，本章主要介绍图像平滑技术。所谓图像平滑，就是指对图像作低通滤波,用于突出图像的宽大区域、低频成分、主干部分或抑制图像噪声和干扰高频成分，使图像亮度平缓渐变，减小突变梯度，改善图像质量的图像处理方法，可在空间域或频率域实现。空问域图像平滑方法主要用低通卷积滤波、中值滤波等；频率域图像平滑常用的低通滤波器有低通梯形滤波器、低通高斯滤波器、低通指数滤波器、巴特沃思低通滤波器等。下面我们开始介绍有关图像平滑的一些基础知识。

二、 传统的图像平滑技术

（一） 图像中的噪声

图像噪声的来源有三个方面：一是在光电、电磁转换过程中引入的人为噪声；二为CCD 摄像机采集图像的不稳定性；三为自然起伏性噪声，有物理量的不连续性或粒子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等。新采集的图像必定包含一些干扰和噪声，使图像质量下降，为了消除采集图像的噪声和干扰，加强有用信息，使图像更易于辨识，图像识别前的重要处理步骤是对图像进行平滑去噪处理。一般地，对噪声的描述采用统计意义上的均值与方差:

设图像信号的二维灰度分布为f(x ，v)，则噪声可看作是对亮度的干扰，以n(x ，y)来表示。均值表明图像中的噪声的总体强度为：

∑∑==?==M x N y y x n N M y x N E n 11

),(1)],([ (4.1)

方差表明图像中噪声分布的强弱差异为： 21122]

),([1}]),({[∑∑==-?=-=M x N y n y x n N M n y x n E σ (4.2)

其中M ，N 分别为图像的行数和列数。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/md5e.html