2019届高考（押题）数学总复习 第九单元 解析几何 第64讲 圆锥曲线的综合应用检测

第64讲 圆锥曲线的综合应用

x2y2

1．(2014·新课标卷Ⅱ) 设F1，F2分别是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，Mab是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.

3

(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；

4

(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.

b2

(1)根据c＝a－b及题设知M(c，)，

a2ba32

因为＝，所以2b＝3ac，

2c42222

将b＝a－c代入2b＝3ac，

c1c22

得2c＋3ac－2a＝0，解得＝或＝－2(舍去)．

a2a2

2

1

故C的离心率为. 2

(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，

所以直线MF1与y轴的交点D(0,2) 是线段MF1的中点，

b22

故＝4，即b＝4a，① a由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|. 设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则

?－c－x1????－2y1＝2，

＝c，

2

3??x1＝－c，

2 即???y1＝－1，

9c1

代入C的方程，得2＋2＝1.

4ab将①及c＝a－b代入②得解得a＝7，b＝4a＝28， 故a＝7，b＝27.

22

2

a2－4a1

＋＝1， 2

4a4ax2y2

2．(2016·北京卷)已知椭圆C：2＋2＝1过A(2,0)，B(0,1)两点．

ab(1)求椭圆C的方程及离心率；

(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

(1)由题意得a＝2，b＝1，

x22

所以椭圆C的方程为＋y＝1.

4

3. 222

(2)证明：设P(x0，y0)(x0<0，y0<0)，则x0＋4y0＝4. 又A(2,0)，B(0,1)，

又c＝a－b＝3，所以离心率e＝＝

22ca所以直线PA的方程为y＝

y0

x0－2

(x－2)．

- 1 -

2y02y0

，从而|BM|＝1－yM＝1＋. x0－2x0－2y0－1

直线PB的方程为y＝x＋1. 令x＝0，得yM＝－

x0

令y＝0，得xN＝－

x0

y0－1

x0

从而|AN|＝2－xN＝2＋. y0－1

所以四边形ABNM的面积

12

x0??2y0?1?1＋＝?2＋ ??y0－1??x0－2?2??2

x20＋4y0＋4x0y0－4x0－8y0＋4＝

x0y0－x0－2y0＋2x0y0－2x0－4y0＋4＝＝2.

x0y0－x0－2y0＋2

从而四边形ABNM的面积为定值．

，

S＝|AN|·|BM|

→22

3．(2017·湖南省六校联考)在圆x＋y＝1上任取一个动点P，作PQ⊥x轴于Q，M满足QM→

＝2QP，当P在圆上运动时，M 的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

(2)曲线C与x轴正半轴、y轴正半轴分别交于A，B，直线y＝kx(k>0)与曲线C交于E，F，当四边形AEBF面积最大时，求k的值．

(1)设M(x，y)，P(x0，y0)，

?x＝x0，?则???y＝2y0，

x0＝x，??

得?1

y0＝y，?2?

2

2

2

而P(x0，y0)在圆x＋y＝1上，

即x＋y＝1，故x＋＝1，此即曲线C的方程． 4

20

20

y2

(2)由(1)知A(1,0)，B(0,2)， 则直线AB的方程为2x＋y－2＝0.

设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1

- 2 -

将y＝kx代入椭圆的方程x＋＝1，

4

222

整理得(k＋4)x＝4，故x2＝－x1＝2，①

k＋4

又点E，F到直线AB的距离分别为

2|2x1＋kx1－2|＋k＋k＋4h1＝＝，

5k2＋|2x2＋kx2－2|

h2＝＝5

2

2

y2

＋k－k＋4

2

k2＋

，

|AB|＝2＋1＝5，

所以四边形AEBF的面积为 1142＋kS＝|AB|(h1＋h2)＝·5·2

225k＋4＝2

4＋k＋4k＝2k2＋4

2＝

22＋kk2＋4

44k＋

1＋

4k＝2k＋4

2

1＋

k≤22.

2

当k＝4(k>0)，即当k＝2时，上式取等号， 所以当四边形AEBF面积最大时，k＝2.

11392

4．(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x＝y，点A(－，)，B(，)，抛物线上的点P(x，

2424

13

y)(－

22

(1)求直线AP斜率的取值范围； (2)求|PA|·|PQ|的最大值．

141

(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，

12x＋2

131

因为－

222

所以直线AP斜率的取值范围是(－1,1)．

x2－

11

kx－y＋k＋＝0，??24

(2)联立直线AP与BQ的方程?93

x＋ky－k－＝0，??42－k＋4k＋3

解得点Q的横坐标是xQ＝. k2＋122

因为|PA|＝1＋k(x＋)＝1＋k(k＋1)，

2

k－k＋22|PQ|＝1＋k(xQ－x)＝－，

k2＋1

2

- 3 -

所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1).

3

令f(k)＝－(k－1)(k＋1)，

2

因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)，

11

所以f(k)在区间(－1，)上单调递增，(，1)上单调递减，

22127

因此当k＝2时，|PA|·|PQ|取得最大值16. 3

- 4 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mczd.html