狭义相对论 - 应用

第13讲：狭义相对论——应用

内容：§18－4，§18－5

1．狭义相对论的时空观 （50分钟） 2．光的多普勒效应

3．狭义相对论动力学的几个结论 （50分钟） 4．广义相对论简介

要求：

1．理解狭义相对论的时空观，包括同时性的相对性、长度的收缩与时间

的延缓

2．了解光的多普勒效应。

3．掌握狭义相对论动力学的几个结论，明确当物体运动速度V〈〈C时，相对论力学过渡到牛顿力学，牛顿力学仅适用于低速动动的物体。 4．了解广义相对论的意义。

重点与难点：

1．狭义相对论时空观的理解。 2．狭义相对论动力学的主要结论。

作业：

问题：P213：7，8，9，11 习题：P214：11，12，13，14

复习：

? 伽俐略变换式 牛顿的绝对时空观 ? 迈克尔逊－莫雷实验 ? 狭义相对论的基本原理

第13讲 狭义相对论——应用 §18－4 狭义相对论的时空观 Outlook on Time_space of Special Theory of Relativity 一、同时的相对性（Relativity of Simultaneity）： 1．概念 狭义相对论的时空观认为：同时是相对的。即在一个惯性系中不同地点同时发生的两个事件，在另一个惯性系中不一定是同时的。 例如：在地球上不同地方同时出生的两个婴儿，在一个相对地球高速飞行的飞船上来看，他们不一定是同时出生的。 2．例子：Einstein列车： 以u匀速直线运动，车厢中央有一闪光灯发出信号，光信号到车厢前壁为事件1，到后壁为事件2；地面为S系，列车为S'系。 在S'系中，A以速度v向光接近；B以速度v离开光，事件1与事件2同时发生。 在S系中，光信号相对车厢的速度v’1=c-v，v’2=c+v，事件1与事件2不是同时发生。即S'系中同时发生的两个事件，在S系中观察却不是同时发生的。因此，“同时”具有相对性。 说明：Lorentz速度变换式中，是求某质点相对于某参考系的速度，不可能超过光速。而在同一参考系中，两质点的相对速度应该按矢量合成来计算。 2．解释：在S'系中，不同地点x1'与x2'同时发生两件事 t1'= t2'，Δ t'= t1'- t2'=0，Δ x'=x1' – x2' 在S系中 ?t?? ?t?v?x?2c 21??vc?由于Δ t'=0。Δ x'=x1' – x2'≠0，故Δ t≠0。 可见，两个彼此间作匀速运动的惯性系中测得的时间间隔，一般来说是不相等的。 即不同地点发生的两件事，对S'来说是同时发生的，而在S系中不一定是同时发生的。 若Δ x'=x1' – x2'=0，则Δ t=0，即是同一地点同时发生的两件事，则在不同的惯性中也是同时发生的。 1 第13讲 狭义相对论——应用 3．进一步说明： 若t1'< t2'，S'系中，事件1早于事件2；但是随着x1' – x2'的取值不同，t1- t2就可能小于零、大于零或等于零，既事件1可能早于事件2，也可以晚于2，或同时发生，两事件的先后次序在不同的惯性系中可能发生颠倒。 例：地球上，甲出生于：x1，t1；乙出生于：x2，t2 若x2- x1=3000km，t2- t1=0.06s 结论：甲——哥哥，乙——弟弟 若飞船上看，v=0.6c，t2’- t1’=0，甲乙同时出生 v=0.8c，t2’< t1’=0，甲——弟弟，乙——哥哥 * 相对论可以证明，关连事件的时序具有绝对性。 * 同时性的相对性否定了各个惯性系具有统一时间的可能性，否定了牛顿的绝对时空观。 *事件的因果关系不会颠倒，如人出生的先后 假设在S系中，t时刻在x处的质点经过Δ t时间后到达x+Δx处，则由： t??得到 t?xvc21??vc??2 ?t???t??xvc21??vc?2?t1?uvc21??vc?2?? ??x??u????t? 因为v≯c，u≯c，所以Δ t’与Δt同号。即事件的因果关系，相互顺序不会颠倒。 二、长度的收缩（Length Contraction）——洛伦兹收缩 S'、S系，棒l相对于S'静止于OX’轴， 棒长（固有长度，Proper Length） l=x2' - x1' 用S的坐标表示，则 ?? x1x1?v1t11??2??，x2x2?v2t21??2 同时测量t1= t2，则 ??x1?? x2即 l??x2?x11??l1??22 2或 l?l?1?? 1. 固有长度 观察者与被测物体相对静止时，长度的测量值最大，称为该物体的固有长度（或原长），用l0表示。即 l?l?1??2 2. 洛伦兹收缩（长度缩短） 2 第13讲 狭义相对论——应用 2观察者与被测物体有相对运动时，长度的测量值等于其原长的1??倍，即物体沿运动方向缩短了，这就是洛伦兹收缩（长度缩短）。 结论： 1.相对观察者静止，其长度测量值大； 22.相对观察运动，则在运动方向上缩短，只有原长的1??倍； 3.在与运动垂直的方向上长度不变。 汤普斯金的误解（伽莫夫——物理世界奇遇记，科普读物）：高速运动的物体变扁。这是不对的，长度收缩效应只能测量出来，是看不出来的。直到1955年，James Torrel等人才开始纠正了这个错误。 长度收缩效应是时空属性，并不是由于物体运动引起物体之间的相互作用而产生的实在的收缩。应该强调的是，狭义相对论中的长度收缩完全是相对的。 三、时间的延缓（Time Dilation）：——时间膨胀 S'系中处有一静止的钟，两事件发生在同一地点x'，对于时刻t1'、t2'，时间间隔（固有时间，Proper Time）Δ t'= t2'- t1'。 S系中，时刻t1、t2由Lorentz变换得到： x?c?x?c????， t??t???2222?v?v?????t1?????t? 所以 ?t?t2?t1???t2?? t1???t1即 ?t??t?/1?? 可见S'系同一地点发生的两个事件的时间间隔小于S系所记录两事件的时间间隔，即运动的钟变慢。 在一个惯性系中，先后发生在同一地点的两个事件之间的时间间隔称为该参考系的固有时间。 S系观察者发现自己的那些同步钟走了1秒，那只相对自己运动的钟走了还不到1秒，因而他说运动有加速度的人会变的钟变慢。 年轻——生命过程佯缪：对同一事物，用一种推理得出一个结论，将进行缓慢，不易衰而用另一种推理却得到相反得结论。 老，对身体有好处。 生命在于运动 *孪生子效应（Twin Effect），不是Twin Paradox 问题：哥哥——风华正茂 弟弟——白发苍苍 中国神话：天上一日，地下一年 这种效应 ? 能够证明——1971年，美国空军Cs 原子钟证明； ? 相对论观点：不会出现Paradox，广义相对论可以解释。 四、狭义相对论时空观： 2 3 第13讲 狭义相对论——应用 1．Lorentz变换坐标的特点： ? 时间坐标与空间坐标互为函数 ? 时间坐标与空间坐标都与惯性系的相对运动有关。 2．时空观： 时间与空间的测量都与观察者所在的参考系有关，空间与时间的测量不是彼此独立的，并且它们都与物质运动状态有着密切的关系。 3例一 在惯性系S中，有两个事件同时发生，在xx’轴上相距1.0×10m处，从3另一惯性系S’中观察到这两个事件相距2.0×10m。问由S’系测得此两事件的时间间隔为多少？ 3解：由题意知，在S系中，t2?t1，，即?t?t2?t1?0，x2?x1?1.0?10m。而3??x?x?2.0?10m。 ????t?t?t2121在S’系看来，时间间隔为，空间间隔为由洛伦兹坐标变换式得： ??x1??x2?x2?x1??v?t2?t1?21??vc??x2?x11??vc?2?1? ??t1???t??t2由（1）式得 ?t2?t1??vv??x?x?x1?x2?v212c2c??x2????2?x122c1??vc?1??vc?12?2? 12??x2?x1?2?3?1?v??1?c?1??c???242????x?x??21?? 代入（2）式得 16例二 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球为4.3×10m 。设有一宇宙飞船自地球往返于人马星座α星之间。若宇宙飞船的速度为 0.999 c ，按地球上的时钟计算，飞船往返一次需多少时间？如以飞船上的时钟计算，往返一次的时间又为多少？ 解：以地球上的时钟计算： 33?1033?6?s??t???2?10??5.77?102c3?103 s2?4.3?1016?t??v0.999?3?108?2.87?108?9a（a为annual之首字母）； 若以飞船上的时钟计算：（原时），因为 ?t??t?1??vc? 2所以得 ?t???t1??vc??2.87?108?1?0.9992 ?1.28?107?s??0.4a 2例三 假设火箭上有一天线，长l??1m，以45角伸出火箭体外，火箭沿水平0 4

第13讲 狭义相对论——应用 方向以u?c32速度运行，问地面上的观察者测得这天线的长度和天线与火箭体的交角各多少？ 0??l?lcos45?22?m? x解：在S’系中：0?l?22?m?。 y?lsin45?在 S 系中：ly?l?22?m? y??1??uc?2?22?1?lx?lx所22l?lx?ly??32?24?m? 以 2?2??arctg?lylx??arctg2?63.430?63026? ?24???222?104?0.791?m?? 这就是洛伦兹收缩 例题四（课本P.215第10题）在惯性系S中观察到有两个事件发生在某一地点，其时间间隔为4.0s。从另一惯性系观察到这两个事件发生的时间间隔为6.0s。问从S’系测量到这两个事件的空间间隔是多少？（设系以恒定速率相对S系沿x轴运动。）（注意课本原题目有印刷错误） 解：由题意知，两个事件的固有时为在s系中的时间间隔?t=4.0s，由时间?膨胀可得在s’系中两个事件的时间间隔为：?t??t相对于s系的运动速度为： 1??vc?，所以，s’系2v?1???t?t???212?c?1??46??212?c?59c?c53。 由洛仑兹变换式可得在s’系测量这两个事件的空间间隔是： ?x???x?v?t1??vc?2??v?t1??vc?2??v?t?（逆变换式也可得到） *一般人的思维方式——复杂性思维 遇到问题时，思考用学过的知识是怎样教我们解决这个问题的，选择以经验为基础的、最有希望的方法，排除其他一切方法，并且沿着这个明显界定的方向去解决问题。 爱因斯坦——创造性的思维 ? 发散思维——从多角度考虑问题，挖掘所有可供选择的解决方法 ? 形象化思维——使自己的思维形象化，非常直观 同时性的相对性——理想列车闪电实验 时间相对性——坐在火炉上和在公园柳荫下与漂亮女郎谈情说爱 ? 善于创造——248篇论文 Edison——1093项专利 莫扎克——600多首乐曲 ? 独创性的组合：质能关系 质速关系 ? 在不同的事物之间建立联系 爱因斯坦：卓别林，伟大 ——您的电影全世界都能看懂 卓别林： 爱因斯坦，伟大 ——您的相对论基本没有人能看懂 5 第13讲 狭义相对论——应用 §18-5 光的多普勒效应 Optical Doppler Effect 前面讨论了机械波的多普勒效应，即运动物体的频率与参考系的选择有关。本节我们讨论光的多普勒效应。 如图所示，以光源B为S'系，S'相对于S系以速度v运动，以探测器A为S系。开始时，tA=tB=0，S'系中B发出一脉冲信号。 S'系测得此脉冲信号得时间间隔为?tB。 2 S系测得此脉冲信号得时间间隔应为ΔtA1=γΔtB，其中??1?? 光信号从B→A，需时间ΔtA2=x/c，其中x=cΔtA1为光脉冲在ΔtA2时间内经过的距离。 探测器A测得的时间间隔为： xv???tB??tA1cc vv?? ???tB???tB???1???tBc?c??tA??tA1??tA2???tB?即： ?tA???1????tB???1???????1???1/2?tB S系A钟测得得时间ΔtA比S'系B钟测得的时间ΔtB要长。若以Δt表示两连续光脉冲的时间差，即振荡周期，则频率可以由1/Δt求得为： ?1?? ?A???1???????B ?1/2式中νA为S系探测器接收的光信号频率；νB为S'系中光源发出的光脉冲信号频率（即所谓的本征频率）。 ?1??若光源向着探测器运动，则：?A???1???????B ?1/2结论：当光源与观察者之间有相对运动时，观察者接受到的光的频率与光源的频率不同，若光源的频率为ν0，光源与观察者之间相对运动的速率为ν，则观察者接受到的频率ν为： 当光源与探测器相远离时，探测器测得光的频?1?? ????1???其中??v/c。 ????0 ?1/2率要小于光的本征频率——红移现象。 当光源与探测器相向运动时，探测器测得光的频率要大于光的本征频率——蓝移现象。 若光源与观察者互相接近，上式分子取正号，分母取负号，接受到的频率大于原来的频率； 若光源与观察者互相远离，上式分子取负号，分母取正号，接受到的频率大于原来的频率。 注意：光的多普勒效应不会改变光的颜色。 6 第13讲 狭义相对论——应用 §18-6 狭义相对论动力学基础 一、相对论质量（Relativitic Mass）： 1．牛顿力学： 质点得质量m为恒量，在外力F作用下，由牛顿运动定律F?ma可知质点得加速度不为零，速度逐渐增大，最终可超过光速c。 2．狭义相对论：质量不是恒量。 前提条件：系统总质量与总动量守恒，由Lorentz变换式可导出质量与速率的关系 m????m0?v?1????c?2 式中m0为粒子的静止质量。 运动物体质量增大了。 3．简单推导： 假设有两个静止质量相 同的小球A、B作完全非弹性碰撞。对于静止的S系，假设A碰撞前的速度为v，碰撞后的速度为ux，则 ?m?m0?ux?mv （1） 而在运动的S?系中，则有 ?m?m0?u?x??mv （2） 碰撞前后，质量守恒，均为m+ m0，m为运动质量，m0为静止质量 因而： u?x??ux 由Lorentz变换： ux?v??ux v1?2uxcuxv2vv?1?1?2ux?1?解得： （3） 2uxvccu?x?（1）代入（3）得：

m?m0mv2?1?1? mm?m0c2即 7 第13讲 狭义相对论——应用 m?m0mv2?2? mm?m0c2两边同乘以m?m?m0?，则有 ?m?m0?化简，得 m022v2?2m?m?m0??m2 c2?v2?m??1?c2?2??? ?所以运动时球的质量为 m?m0?v?1????c?2 ——质速关系式 m 0——静止质量（v =0） m—— 运动质量（v ≠0） 例子 ?相对于S系和S’系静止，S’系相对于S系以速度v沿x轴正向运动。下面我们分析一下在两个参照系中的观察者所看到的物理过程。 假设有两个静止时质量均为m的小球，发生完全非弹性碰撞前的分别（1）S 系中观察者 本系小球： v?0，m0，P?0 另一小球：v，m，P?mv 所以碰撞之前：总动量 ?mv （完全非弹性）碰撞之后：由总质量守恒知总质量为?m0?m?，u，由总动量守恒知动量为：?m0?m?u，这里u为总质量相对S系的速度。 由动量守恒定律得： mv??m0?m?u （1） （2）S’ 系中观察者 本系小球： v?0，m0，P?0 另一小球：?v，m，P??mv 所以碰撞之前：总动量??mv，（完全非弹性） 8 第13讲 狭义相对论——应用 碰撞之后：?m0?m?，u?，总动量??m0?m?u?，这里u’为总质量相对S’系的速度。 由动量守恒定律得：?mv??m0?m?u? （2） 由（1）式和（2）式得： u???u 2?u?u?v1?uvc由洛伦兹速度变换可得：，将u???u代入上式22??????vu?2vu?vc?0，解之得：v可得：??u?1?1?v2c2； 由（1）式得： vu?m0?mm?1， 所以取―+‖得： m?m01?v2c2 （3） 证毕。 4．说明： 1）在宏观物体所能达到的速度范围内，质量随速度变化非常小，可以忽略不计。 m?m01121?104??104?例如：v=10m/s， ??1?????5.6?108?3?10?2m0221????2）在微观粒子实验中，粒子的速度经常达到或接近光速，此时质量变化很大：例如v=0.98c，m=5.03m0。 3）v>c时，质量m 为虚数，没有意义，因而光速是物体运动速度的极限。 4）当v=c时，分母为零，要求质量m为有限值，则必须m0=0。 结论：光子静止质量为零，不存在静止的光子。 5．实验验证： 1）μ子衰变； 2）Bucherer实验：电子质量与速度有关。 二、相对论动量 1．相对论动量： 2??P?mv??m0v?v?1????c?2 动量守恒普通成立。 动量公式与牛顿力学形式完全相同，但是质量的含义不同。 2．动力学方程——相对论力学的基本方程。 ??dPd F??dtdt?m0v?v?1????c??? 在v??c时，近似为F?ma，牛顿力学成立。 2 9

第13讲 狭义相对论——应用 ??ddv??F??m0v??m0?m0adtdt（1）当v??c时，，相对论动力学方程回到牛顿运动定律。 ??ddvdm??F??mv??m?vdtdtdt，因此外力不仅改变物体的速度还改变物体（2）的质量。 速度。 （4）由m?m01?vc可知当v?c时，必须m0?0，否则表达式无物理意义。因此光子静止质量为0。 三、相对论动能： 1．公式：Ek?mc?m0c 2．推导 2222?dvdt?0，物体速度不再改变，因此光速为物体的极限v?c（3）当时，?质点在力F作用下，速率由0?v，力对质点所作的功等于质点动能的增?vv??vd???dr????v?d?mv? Ek??F?dr???mv??dr??d?mv??dtdt0000v量，即质点的未动能 式中 v?d?mv??mv?dv?v?vdm?mvdv?vdm （1） 2??????又因为：m?m0?v?1????c?2 得： mc?mv?m0c 两边微分： 2mcdm?2mvdm?2mvdv?0 得： cdm?vdm?mvdv （2） 由（1）（2）可得： v?d?mv??cdm 2m22222222222??故有 Ek?m0?c2dm?mc2?m0c2 3．说明 1）动能公式在形式上与牛顿力学不相同。 2）当v <

第13讲 狭义相对论——应用 §18-7 广义相对论简介 一、广义相对论的等效原理 一个物体在均匀引力场中的动力学效应与此物体在加速参考系中的动力学效应是不可区分的、等效的。 二、广义相对论时空特性的几个例子 1．引力场中光线的弯曲 2．引力红移 3．黑洞 小结： ? 同时的相对性 ? 长度的收缩l?l?1??2 ? 时间的延缓?t??t?/1??2 ? 多普勒效应?????1???1/2?1??????0 ? 相对论质量： m?m0?2 1??v??c??? 相对论动量： P??mv??mv?02 1???v??c??? 相对论动能： Ek?mc2?m0c2 ? 相对论能量： E?mc2 ? 能量与动量的关系：E2?P2c2?m240c 15

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