《初等数论》习题解答

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《初等数论》习题集

第1章

第 1 节

1. 证明定理1。

2. 证明:若m ? p?mn ? pq,则m ? p?mq ? np。

3. 证明:任意给定的连续39个自然数,其中至少存在一个自然数,使得这个自然数的数字和能被11整除。

4. 设p是n的最小素约数,n = pn1,n1 > 1,证明:若p >3n,则n1

是素数。

5. 证明:存在无穷多个自然数n,使得n不能表示为

a2 ? p(a > 0是整数,p为素数)

的形式。

第 2 节

1. 证明:12?n4 ? 2n3 ? 11n2 ? 10n,n?Z。 2. 设3?a2 ? b2,证明:3?a且3?b。

3. 设n,k是正整数,证明:nk与nk + 4的个位数字相同。 4. 证明:对于任何整数n,m,等式n2 ? (n ? 1)2 = m2 ? 2不可能成立。 5. 设a是自然数,问a4 ? 3a2 ? 9是素数还是合数?

6. 证明:对于任意给定的n个整数,必可以从中找出若干个作和,使得这个和能被n整除。

第 3 节

1. 证明定理1中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。

2. 证明定理2的推论1, 推论2和推论3。 3. 证明定理4的推论1和推论3。

4. 设x,y?Z,17?2x ? 3y,证明:17?9x ? 5y。

5. 设a,b,c?N,c无平方因子,a2?b2c,证明:a?b。

32n?16. 设n是正整数,求C12n,C2n,?,C2n的最大公约数。

第 4 节

1. 证明定理1。

2. 证明定理3的推论。

3. 设a,b是正整数,证明:(a ? b)[a, b] = a[b, a ? b]。

4. 求正整数a,b,使得a ? b = 120,(a, b) = 24,[a, b] = 144。

1

5. 设a,b,c是正整数,证明:

[a,b,c]2(a,b,c)2?。

[a,b][b,c][c,a](a,b)(b,c)(c,a) 6. 设k是正奇数,证明:1 ? 2 ? ? ? 9?1k ? 2k ? ? ? 9k。

第 5 节

1. 说明例1证明中所用到的四个事实的依据。

2. 用辗转相除法求整数x,y,使得1387x ? 162y = (1387, 162)。 3. 计算:(27090, 21672, 11352)。

4. 使用引理1中的记号,证明:(Fn + 1, Fn) = 1。

5. 若四个整数2836,4582,5164,6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同,且不等于零,求除数和余数各是多少?

6. 记Mn = 2n ? 1,证明:对于正整数a,b,有(Ma, Mb) = M(a, b)。

第 6 节

1. 证明定理1的推论1。 2. 证明定理1的推论2。

3. 写出22345680的标准分解式。

4. 证明:在1, 2, ?, 2n中任取n ? 1数,其中至少有一个能被另一个整除。

11???(n ? 2)不是整数。 2n6. 设a,b是正整数,证明:存在a1,a2,b1,b2,使得

a = a1a2,b = b1b2,(a2, b2) = 1,

并且[a, b] = a2b2。

5. 证明:1?第 7 节

1. 证明定理1。

2. 求使12347!被35k整除的最大的k值。

n?2r?1]= n。 3. 设n是正整数,x是实数,证明:?[r2r?1?4. 设n是正整数,求方程

x2 ? [x2] = (x ? [x])2

在[1, n]中的解的个数。

5. 证明:方程

f(x) = [x] ? [2x] ? [22x] ? [23x] ? [24x] ? [25x] = 12345

2

没有实数解。

6. 证明:在n!的标准分解式中,2的指数h = n ? k,其中k是n的二进制表示的位数码之和。

第 8 节

1. 证明:若2n ? 1是素数,则n是2的乘幂。 2. 证明:若2n ? 1是素数,则n是素数。 3. 证明:形如6n ? 5的素数有无限多个。

|d,证明:在以d为公差的等差数列中,连续4. 设d 是正整数,6?三项都是素数的情况最多发生一次。

5. 证明:对于任意给定的正整数n,必存在连续的n个自然数,使得它们都是合数。

?16. 证明:级数?发散,此处使用了定理1注2中的记号。

pn?1n

第2章

第 1 节

1. 证明定理1和定理2。

2. 证明定理4。

3. 证明定理5中的结论(ⅰ)—(ⅳ)。 4. 求81234被13除的余数。

5. 设f(x)是整系数多项式,并且f(1), f(2), ?, f(m)都不能被m整除,则f(x) = 0没有整数解。

6. 已知99?62??427,求?与?。

第 2 节

1. 证明定理1。

2. 证明:若2p ? 1是奇素数,则

(p!)2 ? (?1)p ? 0 (mod 2p ? 1)。 3. 证明:若p是奇素数,N = 1 ? 2 ? ? ? ( p ? 1),则

(p ? 1)! ? p ? 1 (mod N)。

4. 证明Wilson定理的逆定理:若n > 1,并且

(n ? 1)! ? ?1 (mod n),

则n是素数。

5. 设m是整数,4?m,{a1, a2, ?, am}与{b1, b2, ?, bm}是模m的两个

3

完全剩余系,证明:{a1b1, a2b2, ?, ambm}不是模m的完全剩余系。

6. 设m1, m2, ?,mn是两两互素的正整数,?i(1 ? i ? n)是整数,并且

?i ? 1 (mod mi), 1 ? i ? n, ?i ? 0 (mod mj),i ? j,1 ? i, j ? n。

证明:当bi通过模mi(1 ? i ? n)的完全剩余系时, b1?1 ? b2?2 ? ? ? bn?n

通过模m = m1m2?mn的完全剩余系。

第 3 节

1. 证明定理1。

2. 设m1, m2, ?, mn是两两互素的正整数,xi分别通过模mi的简化剩

m余系(1 ? i ? n),m = m1m2?mn,Mi =,则

miM1x1 ? M2x2 ? ? ? Mnxn

通过模m的简化剩余系。

3. 设m > 1,(a, m) = 1,x1, x2, ?, x?(m)是模m的简化剩余系,证明:

?(m)i?1axi1{}??(m)。 ?m2其中{x}表示x的小数部分。

4. 设m与n是正整数,证明:

?(mn)?((m, n)) = (m, n)?(m)?(n)。

5. 设a,b是任意给定的正整数,证明:存在无穷多对正整数m与n,使得

a?(m) = b?(n)。

6. 设n是正整数,证明:

(ⅰ) ?(n) >

1n; 2(ⅱ) 若n是合数,则?(n) ? n ?n。

第 4 节

1. 证明:1978103 ? 19783能被103整除。 2. 求313159被7除的余数。

3. 证明:对于任意的整数a,(a, 561) = 1,都有a560 ? 1 (mod 561),但561是合数。

4

4. 设p,q是两个不同的素数,证明:

pq ? 1 ? qp ? 1 ? 1 (mod pq)。

5. 将612 ? 1分解成素因数之积。

6. 设n?N,b?N,对于bn ? 1的素因数,你有甚麽与例6相似的结论?

第 5 节

1. 证明例2中的结论。 2. 证明定理2。

13. 求?。

d|nd4. 设f(n)是积性函数,证明: (ⅰ) (ⅱ)

??(d)f(d)??(1?f(p))

d|np|n??2(d)f(d)??(1?d|np|nf(p))。

5. 求?(n)的Mobius变换。

第3章

第 1 节

1. 证明定理3。

2. 写出789的二进制表示和五进制表示。

8的小数的循环节。 214. 证明:七进制表示的整数是偶数的充要条件是它的各位数字之和为偶数。

m 5. 证明:既约正分数的b进制小数(0?a?1a?2a?3?)b为有限小数的

n充要条件是n的每个素因数都是b的素因数。

3. 求

第 2 节

1. 设连分数? ?1, ?2, ?, ?n, ? ?的第k个渐近分数为

a1?10??1a2?10?01a3?10?00???00??100???0001000?0a2?10?01a3?10??0??000??10pk,证明: qk0???000pk?,qk?,

?ak?1?11ak?ak?1?11ak 5

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/mcd7.html

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