2017年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷

2017年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷

一、选择题（每题3分，共36分） 1．（3分）﹣3的倒数是（ ） A．3

B．﹣ C． D．±3

2．（3分）随着网络购物的兴起，截止到2017年3月深圳市物流产业增加值达到176.6亿元，若把数176.6亿用科学记数法表示是（ ） A．1.766×108 B．1.766×1010 C．1.766×109 D．0.1766×1011

3．（3分）下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．（2a）?（3a）=6a

C．（a2）3=a6

D．a6÷a2=a3

5．（3分）若反比例函数y=﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（ ） A．﹣2 B．2

C．﹣ D．

的解集是（ ）

6．（3分）不等式组

A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x≤2

7．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD的度数等于（ ）

A．20° B．25° C．35° D．50°

8．（3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ） A．x=2 B．x=3 C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3

9．（3分）如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧AB上的一点，则∠CPD的度数是（ ）

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A．35° B．40° C．45° D．60°

10．（3分）某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（ ）

A．145元 B．165元 C．180元 D．150元

11．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x y ﹣3 12 ﹣2 5 ﹣1 0 0 ﹣3 1 ﹣4 2 ﹣3 3 0 4 5 5 12 给出了结论：

（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3； （2）当

时，y＜0；

（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ） A．3

B．2

C．1

D．0

12．（3分）已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．

B． C． D．

二、填空题（每题3分，共12分）

13．（3分）分解因式：x﹣2xy+xy2= ．

14．（3分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外其他都相同，分别从两袋里任摸一球，同时摸到红球的概率是 ．

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15．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 ．

16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 ．

三、解答题 17．（5分）计算：

+

tan30°+|1﹣﹣

|﹣（﹣）﹣2．

，并从﹣1≤x≤3中选一个你

18．（6分）化简分式（）÷

认为合适的整数x代入求值．

19．（8分）某中学初三年级的同学参加了一项节能的社会调查活动，为了了解家庭用电的情况，他们随即调查了某地50个家庭一年中生活用电的电费支出情况，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图（费用取整数，单位：元）．

分组/元 频 数 1000＜x＜1200 1200＜x＜1400 1400＜x＜1600 1600＜x＜1800 1800＜x＜2000 2000＜x＜2200 合计 3 12 18 a 5 2 50 0.060 0.240 0.360 0.200 b 0.040 1.000 频 率 请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

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（1）补全频数分布表a= ，b= ，和频数分布直方图； （2）这50个家庭电费支出的中位数落在哪个组内？

（3）若该地区有3万个家庭，请你估计该地区有多少个一年电费支出低于1400元的家庭？

20．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

（1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四边形ABCD的周长．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是

的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

22．（7分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），

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反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE． （1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k= ；

（2）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

23．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B（4、0）两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；

（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

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2017年广东省深圳市福田区中考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分） 1．（3分）﹣3的倒数是（ ） A．3

B．﹣ C． D．±3

【分析】根据倒数的定义求解即可． 【解答】解：﹣3得到数是﹣， 故选：B．

【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一数的倒数的关键．

2．（3分）随着网络购物的兴起，截止到2017年3月深圳市物流产业增加值达到176.6亿元，若把数176.6亿用科学记数法表示是（ ） A．1.766×108 B．1.766×1010 C．1.766×109 D．0.1766×1011

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：将176.6亿用科学记数法表示为：1.766×1010， 故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

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【解答】解：第一个图形是轴对称图形，是中心对称图形； 第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形； 第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形； 第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形． 共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形， 故选：C．

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．（3分）下列计算中，结果正确的是（ ） A．a2?a3=a6 B．（2a）?（3a）=6a

C．（a2）3=a6

D．a6÷a2=a3

【分析】分别根据同底数幂的乘法的性质，单项式乘单项式的法则，幂的乘方的性质，同底数幂的除法的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：A、应为a2?a3=a2+3=a5，故A错误 B、应为（2a）?（3a）=6a2，故B错误 C、（a2）3=a2×3=a6，故C正确； D、应为a6÷a2=a6﹣2=a4．故D错误 故选：C．

【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，单项式乘单项式，幂的乘方的性质，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．

5．（3分）若反比例函数y=﹣的图象经过点A（2，m），则m的值是（ ） A．﹣2 B．2

C．﹣ D．

【分析】直接把点的坐标代入解析式即可． 【解答】解：把点A代入解析式可知：m=﹣． 故选：C．

【点评】主要考查了反比例函数的求值问题．直接把点的坐标代入解析式即可求

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出点坐标中未知数的值．

6．（3分）不等式组

的解集是（ ）

A．x＞﹣1 B．x≤2 C．﹣1＜x＜2 D．﹣1＜x≤2

【分析】由题意分别解出不等式组中的两个不等式，再根据求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）来求出不等式的解集．

【解答】解：由﹣x＜1得， ∴x＞﹣1， 由3x﹣5≤1得， 3x≤6， ∴x≤2，

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2， 故选：D．

【点评】主要考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a的范围．

7．（3分）如图，AB∥CD，AC⊥BC，∠BAC=65°，则∠BCD的度数等于（ ）

A．20° B．25° C．35° D．50°

【分析】首先，根据直角三角形的性质，可求出∠ABC的度数，然后，根据平行线的性质，可得∠ABC=∠BCD，即可解答出． 【解答】解：∵AC⊥BC，∠BAC=65°， ∴∠ABC=90°﹣∠BAC=90°﹣65°=25°， ∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠ABC，

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∴∠BCD=25°． 故选：B．

【点评】本题主要考查了平行线的性质和直角三角形的性质，熟练掌握两直线平行线，内错角相等．

8．（3分）方程（x+1）（x﹣2）=x+1的解是（ ） A．x=2 B．x=3 C．x=﹣1，或x=2 D．x=﹣1，或x=3

【分析】先将原方程移项，然后提前公因式（x+1），将方程转化为两式之积为0的形式，然后解方程．

【解答】解：由原方程移项，得 （x+1）（x﹣2）﹣（x+1）=0， ∴（x+1）（x﹣2﹣1）=0， ∴x+1=0或x﹣3=0， 解得，x=﹣1，或x=3． 故选：D．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．解答此题是利用提前公因式法分解因式的．

9．（3分）如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧AB上的一点，则∠CPD的度数是（ ）

A．35° B．40° C．45° D．60°

【分析】连AC，由四边形ABCD为正方形，得到∠CAD=45°，由∠CPD=∠CAD=45°． 【解答】解：连接AC，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠CAD=45°， 又∵∠CPD=∠CAD，

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∴∠CPD=45°． 故选：C．

【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质．

10．（3分）某商场把一双钉鞋按标价的八折出售，仍可获利20%．若钉鞋的进价为100元，则标价为（ ）

A．145元 B．165元 C．180元 D．150元

【分析】设每件的标价为x元，根据八折出售可获利20%，可得出方程：80%x=100×（1+20%），解出即可．

【解答】解：设每件的标价为x元， 由题意得：80%x=100×（1+20%）， 解得：x=150．

即每件的标价为150元． 故选：D．

【点评】此题考查了一元一次方程的应用，属于基础题，关键是仔细审题，得出等量关系，利用方程思想解答，难度一般．

11．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表： x y ﹣3 12 ﹣2 5 ﹣1 0 0 ﹣3 1 ﹣4 2 ﹣3 3 0 4 5 5 12 给出了结论：

（1）二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣3； （2）当

时，y＜0；

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（3）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，且它们分别在y轴两侧．则其中正确结论的个数是（ ） A．3

B．2

C．1

D．0

【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．

【解答】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，

所以，当x=1时，二次函数y=ax2+bx+c有最小值，最小值为﹣4；故（1）小题错误；

根据表格数据，当﹣1＜x＜3时，y＜0，

所以，﹣＜x＜2时，y＜0正确，故（2）小题正确；

二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点，分别为（﹣1，0）（3，0），它们分别在y轴两侧，故（3）小题正确； 综上所述，结论正确的是（2）（3）共2个． 故选：B．

【点评】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

12．（3分）已知三个边长分别为2，3，5的三个菱形如图排列，菱形的较小锐角为60°，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．

【分析】由菱形的性质来证明△ABH∽△ADE，再利用相似三角形对应边成比例的性质来求得BH的长；同理，求出CF的长度；然后根据三角形的边角关系求出菱形BCGJ的高；最后求出菱形BCGJ的面积和梯形BHFC的面积，进而求得阴影部分的面积． 【解答】解：

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在△ADE和△ABH中，∠HAB=∠EAD， ∵图中是三个菱形排列， ∴HB∥FC∥ED，

∴∠AHB=∠AED，∠ABH=∠ADE， ∴△ABH∽△ADE， ∴AB：AD=BH：DE；

又∵AB=2，AD=2+3+5=10，DE=5， ∴BH=1；

同理，求得CF=；

∵菱形的较小锐角为60°，即∠HBC=∠FCD=60°，

∴梯形BHFC，即菱形JBCG的高JM=3×sin60°=∴S梯形BHCF=×（1+）×S菱形JBCG=3×

=

，

． =

，

；

∴S阴影=S菱形JBCG﹣S梯形BHCF=故选：C．

【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，梯形与菱形的面积以及三角形中的边角关系，是基础性比较强的一道题．

二、填空题（每题3分，共12分）

13．（3分）分解因式：x﹣2xy+xy2= x（y﹣1）2 ．

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【分析】先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解． 【解答】解：x﹣2xy+xy2， =x（1﹣2y+y2）， =x（y﹣1）2．

故答案为：x（y﹣1）2．

【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

14．（3分）甲袋里有红、白两球，乙袋里有红、红、白三球，两袋的球除颜色不同外其他都相同，分别从两袋里任摸一球，同时摸到红球的概率是

．

【分析】先求出任摸一球的组合情况总数，再求出同时摸到红球的数目，利用概率公式计算即可．

【解答】解：分别往两袋里任摸一球的组合有6种：红红，红红，红白，白红，白红，白白；红红的有2种，所以同时摸到红球的概率是 2 6 = 1 3 ．

故答案为．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

15．（3分）某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，则平均每次降价的百分率为 20% ．

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【分析】解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）

2

=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．

【解答】解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得， 125（1﹣x）2=80，

解得x1=0.2=20%，x2=1.8（不合题意，舍去）； 故答案为：20%

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2=现在价格．

16．（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线l与边BC交于点D，那么BD的长为 13 ．

【分析】利用三线合一得到G为BC的中点，求出GC的长，过点A作AG⊥BC于点G，在直角三角形AGC中，利用锐角三角函数定义求出AG的长，再由E为AC中点，求出EC的长，进而求出FC的长，利用勾股定理求出EF的长，在直角三角形DEF中，利用勾股定理求出x的值，即可确定出BD的长． 【解答】解：过点A作AG⊥BC于点G， ∵AB=AC，BC=24，tanC=2， ∴

=2，GC=BG=12，

∴AG=24，

∵将△ABC沿直线l翻折后，点B落在边AC的中点处， 过E点作EF⊥BC于点F， ∴EF=AG=12， ∴

=2，

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∴FC=6，

设BD=x，则DE=x， ∴DF=24﹣x﹣6=18﹣x， ∴x2=（18﹣x）2+122， 解得：x=13， 则BD=13． 故答案为：13．

【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及勾股定理和锐角三角函数关系，根据已知表示出DE的长是解题关键．

三、解答题 17．（5分）计算：

+

tan30°+|1﹣

|﹣（﹣）﹣2．

【分析】依据二次根式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质进行化简，然后再进行计算即可． 【解答】解：原式=2

+

×

+

﹣1﹣4=2

+1+

﹣1﹣4=3

﹣4．

【点评】本题主要考查的是实数的运算，熟练掌握二次根式的性质、特殊锐角三角函数值、绝对值的性质、负整数指数幂的性质是解题的关键．

18．（6分）化简分式（

﹣

）÷

，并从﹣1≤x≤3中选一个你

认为合适的整数x代入求值．

【分析】先将括号内的分式通分，再按照分式的除法法则，将除法转化为乘法进行计算．

【解答】解：原式=[

﹣

]×

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==

，

×

由于当x=﹣1，x=0或x=1时，分式的分母为0， 故取x的值时，不可取x=﹣1，x=0或x=1， 不妨取x=2， 此时原式=

=．

【点评】本题考查了分式的化简求值，解答此题不仅要熟悉分式的除法法则，还要熟悉因式分解等内容．

19．（8分）某中学初三年级的同学参加了一项节能的社会调查活动，为了了解家庭用电的情况，他们随即调查了某地50个家庭一年中生活用电的电费支出情况，并绘制了如下不完整的频数分布表和频数分布直方图（费用取整数，单位：元）．

分组/元 频 数 1000＜x＜1200 1200＜x＜1400 1400＜x＜1600 1600＜x＜1800 1800＜x＜2000 2000＜x＜2200 合计 3 12 18 a 5 2 50 0.060 0.240 0.360 0.200 b 0.040 1.000 频 率 请你根据以上提供的信息，解答下列问题：

（1）补全频数分布表a= 10 ，b= 0.100 ，和频数分布直方图； （2）这50个家庭电费支出的中位数落在哪个组内？

（3）若该地区有3万个家庭，请你估计该地区有多少个一年电费支出低于1400元的家庭？

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【分析】（1）频数=频率×总数，由第1组可得到样本容量，再计算第四组的频数和第五组的频率；

（2）共有50个数，那么中位数就是按顺序排列后第25个和第26个的平均数； （3）应先算出样本中电费支出低于1400元的家庭占50个家庭的百分比，乘以30000即可．

【解答】解：（1）a=50×0.200=10，b=5÷50=0.100， 如图所示：

故答案为：10，0.100； （2）由图中的数据可得，

总共有50个数据，中位数为第25个和第26个数的平均数，故中位数落在1400＜x＜1600；

（3）每年电费支出低于1400元的家庭数为（0.060+0.240）×30000=9000（个）． 答：估计该地区有9000个一年电费支出低于1400元的家庭．

【点评】本题考查了频数（率）分布直方图，频率和中位数的定义以及如何用样

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本估计总体．需注意：频数=频率×总数．

20．（8分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线BD，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，

（1）求证：△AED≌△CFB；

（2）若∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，求平行四边形ABCD的周长．

【分析】（1）在平行四边形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，可知∠ADE=∠CBD，然后根据AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，可知∠AED=∠CFB=90°，根据这三个条件即可证明全等；

（2）根据已知∠ABC=75°，∠ADB=30°，AE=3，分别在Rt△ABE、Rt△AED中求出AB、AD的长度，即可求出周长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBF，

又∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在△AED和△CFB中，

，

∴△AED≌△CFB （AAS）；

（2）解：在Rt△AED中， ∵∠ADE=30°，AE=3， ∴AD=2AE=2×3=6，

∵∠ABC=75°，∠ADB=∠CBD=30° ∴∠ABE=45°，

第18页（共24页）

在Rt△ABE中， ∵

=sin45°，

=3

，

）=12+6

．

∴AB=

∴平行四边形ABCD的周长l=2（AB+AD）=2×（6+3

【点评】本题考查了平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是找出对应相等的边和角证明全等以及在直角三角形中运用勾股定理求边长．

21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若点E是

的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．

【分析】（1）证明△ADC∽△BAC，可得∠BAC=∠ADC=90°，继而可判断AC是⊙O的切线．

（2）根据（1）所得△ADC∽△BAC，可得出CA的长度，继而判断∠CFA=∠CAF，利用等腰三角形的性质得出AF的长度，继而得出DF的长，在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的长．

【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=∠ADC=90°， ∵∠B=∠CAD，∠C=∠C， ∴△ADC∽△BAC， ∴∠BAC=∠ADC=90°， ∴BA⊥AC，

∴AC是⊙O的切线．

第19页（共24页）

（2）∵BD=5，CD=4， ∴BC=9，

∵△ADC∽△BAC（已证）， ∴

=

，即AC2=BC×CD=36，

解得：AC=6， 在Rt△ACD中，AD=

=2

，

∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD， ∴CA=CF=6， ∴DF=CA﹣CD=2， 在Rt△AFD中，AF=

=2

．

【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握切线的判定定理、相似三角形的性质，勾股定理的表达式．

22．（7分）如图，在矩形OABC中，OA=3，OC=5，分别以OA、OC所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，D是边CB上的一个动点（不与C、B重合），反比例函数y=（k＞0）的图象经过点D且与边BA交于点E，连接DE． （1）连接OE，若△EOA的面积为3，则k= 6 ；

（2）是否存在点D，使得点B关于DE的对称点在OC上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）连接OE，根据反比例函数k的几何意义，即可求出k的值． （2）根据矩形的长和宽及反比例函数y=（k＞0）表示D和E的坐标，计算tan∠BDE=tan∠CB′B的值相等，所以计算B′C的长，得出D的坐标．

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【解答】解：（1）连接OE，如图1， ∵Rt△AOE的面积为3， ∴k=2×3=6． 故答案为：6； （2）连接DB′，

设D（，5），E（3，）， ∴BD=3﹣，BE=5﹣，

∴tan∠BDE===，

∵B与B′关于DE对称， ∴DE是BB′的中垂线，

∴BB′⊥DE，BG=B′G，DB′=BD， ∴∠DGB=90°， ∴∠BDE+∠DBB′=90°， ∠CB′B+∠DBB′=90°， ∴∠BDE=∠CB′B， ∴tan∠BDE=tan∠CB′B==∴CB′=，

设CD=x，则BD=B′D=3﹣x， 则∴x=∴D（

， ，5）．

，

=

，

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【点评】本题考查了反比例函数k的几何意义、图象上点的特征、矩形的性质、特殊的三角函数、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质，第三问中熟练掌握轴对称的性质和反比例函数点的坐标特征是关键．

23．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于A（﹣2，0）、B（4、0）两点，与y轴交于C点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）T是抛物线对称轴上的一点，且△ATC是以AC为底的等腰三角形，求点T的坐标；

（3）M、Q两点分别从A、B点以每秒1个单位长度的速度沿x轴同时出发相向而行，当点M到原点时，点Q立刻掉头并以每秒个单位长度的速度向点B方向移动，当点M到达抛物线的对称轴时，两点停止运动，过点M的直线l⊥x轴交AC或BC于点P．求点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式，并求出S的最大值．

【分析】（1）把A、B的坐标代入抛物线的解析式得到方程组，求出方程组的解即可；

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（2）设直线x=1上一点T（1，h），连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E，根据TA=TC由勾股定理求出即可；

（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC，推出比例式，求出PM，AQ，根据三角形的面积公式求出即可；

（II）当2＜t≤3时，作PM⊥x轴于M，PF⊥y轴于点F，表示出三角形APQ的面积，利用配方法求出最值即可．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+4得：

，

解得：a=﹣，b=1，

∴抛物线的解析式是：y=﹣x2+x+4， 答：抛物线的解析式是y=﹣x2+x+4．

（2）由y=﹣x2+x+4=﹣（x﹣1）2+，得抛物线的对称轴为直线x=1， 直线x=1交x轴于点D，设直线x=1上一点T（1，h）， 连接TC、TA，作CE⊥直线x=1，垂足是E， 由C（0，4）得点E（1，4），

在Rt△ADT和Rt△TEC中，由TA=TC得32+h2=12+（4﹣h）2， ∴h=1，

∴T的坐标是（1，1）， 答：点T的坐标是（1，1）．

（3）（I）当0＜t≤2时，△AMP∽△AOC， ∴

=

，PM=2t，

AQ=6﹣t，

∴S=PM?AQ=×2t（6﹣t）=﹣t2+6t=﹣（t﹣3）2+9， 当t=2时S的最大值为8； （II）当2＜t≤3时，

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作PM⊥x轴于M，作PF⊥y轴于点F，

则△COB∽△CFP， 又∵CO=OB，

∴FP=FC=t﹣2，PM=4﹣（t﹣2）=6﹣t，AQ=4+（t﹣2）=t+1， ∴S=PM?AQ=（6﹣t）（t+1）=﹣t2+4t+3=﹣（t﹣）2+当t=时，S最大值为

，

，

，

综合（I）（II）S的最大值为

答：点M的运动时间t与△APQ面积S的函数关系式是S=﹣t2+6t（0＜t≤2），S=﹣t2+4t+3（2＜t≤3），S的最大值是

．

【点评】本题主要考查对解二元一次方程组，用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的最值等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．

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