圆与方程知识点整理

高一数学

一、标准方程

（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论

2

PB

的最值

x a

2

y b r2

1.求标准方程的方法——关键是求出圆心 a,b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材P119例2 ②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交 相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线 相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

PBmin BN BC r PBmax BM BC r

（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解） 条件 方程形式

圆心在原点 x2

y2

r

2

r 0

过原点 x a 2 y b 2 a2 b2 a2 b2

0圆心在x轴上 x a 2

y2 r2

r 0

圆心在y轴上 x2 y b 2 r2

r 0

圆心在x轴上且过原点 x a 2 y2 a2

a 0

圆心在y轴上且过原点 x2 y b 2 b2

b 0

与x轴相切 x a 2 y b 2 b2

b 0

与y轴相切 x a 2 y b 2 a2

a 0

与两坐标轴都相切 x a 2 y b 2 a2

a b 0

二、一般方程

x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E2 4F 0

1.Ax2 By2

Cxy Dx Ey F 0表示圆方程则

A B 0 A B 0 C 0

C 0 D 2E2

D2 E2 4AF 0 A

A 4 FA 02.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材P122例r4

3.D2

E2

4F 0常可用来求有关参数的范围 三、点与圆的位置关系

1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系

d r 点在圆内；d r 点在圆上；d r 点在圆外2.涉及最值：

PAmin AN r AC PAmax AM r AC

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC） 四、直线与圆的位置关系

1.判断方法（d为圆心到直线的距离）

（1）相离 没有公共点 0 d r （2）相切 只有一个公共点 0 d r （3）相交 有两个公共点 0 d r

这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围. 2.直线与圆相切 （1）知识要点 ①基本图形

②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等 问题：直线l与圆C相切意味着什么？ 圆心C到直线l的距离恰好等于半径r （2）常见题型——求过定点的切线方程

①切线条数

点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无 ②求切线方程的方法及注意点．．． i）点在圆外

如定点P x2

2

22

0,y0 ，圆： x a k x yx b r，[ x0 a 2

y2

0 b r]

第一步：设切线l方程

y y0 0

第二步：通过d r k，从而得到切线方程

特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！ii）点在圆上

高一数学

2222

x0，y0 xx yy rx y r00若点在圆上，则切线方程为

2.两圆公共弦所在直线方程

22

圆C1：x2 y2 D1x E1y F2 0， 1 0，圆C2：x y D2x E2y F则 D1 D2 x E1 E2 y F1 F2 0为两相交圆公共弦方程.

若点

y0 x a y b x0，在圆

22

r

2

上，则切线方程为

x0 a x a y0 b y b r2

补充说明：

若C1与C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若C1与C2相离，则表示连心线的中垂线方程. 3圆系问题

22（1）过两圆C1：x2 y2 D1x E1y F2 0交1 0和C2：x y D2x E2y F

2222

点的圆系方程为x y D1x E1y F1 x y D2x E2y F2 0（ 1）

碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.

由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.

2

2

2

③求切线长：利用基本图形，AP CP r AP

求切点坐标：利用两个关系列出两个方程 AC r

k

kAC AP 1

3.直线与圆相交

（1）求弦长及弦长的应用问题 垂径定理．．．．

及勾股定理——常用

弦长公式：

l 1 x2

（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.

（3）关于点的个数问题 4.直线与圆相离

会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时） 六、最值问题 方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程 七、圆的参数方程

x2

y2

r2

r 0

x rcos

， 为参数 y rsin

x a 2 y b

2

r2 r 0

x a rcos

b rsin

， 为参数 y 九、圆与圆的位置关系

1.判断方法：几何法（d为圆心距）

（1）d r1 r2 外离 （2）d r1 r2 外切 （3）r1 r2 d r1 r2 相交 （4）d r1 r2 内切 （5）d r1 r2 内含

说明：1）上述圆系不包括C2；2）当 1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0交点的圆系方程为x2 y2 Dx Ey F Ax By C 0 （3）有关圆系的简单应用 （4）两圆公切线的条数问题

①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线

十、轨迹方程

（1）定义法（圆的定义）：略

（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.

（3）相关点法（平移转换法）

动点 主动点

特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动. （4）求轨迹方程常用到得知识

G x,y x xA xB xC x x1 x2①重心，

3②中点P x,y ， 2

y yA yB yC

3 y y1 y22③内角平分线定理：BDCD

ABAC

④定比分点公式：AM

x MB ，则x A xBy

yBM1 ，yM A1

⑤韦达定理.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mc11.html