相似三角形应用举例

27.2.2 相似三角形应用举例

学习目标、重点、难点

【学习目标】

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

【重点难点】

1．运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

2．灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．

知识概览图

相似三角形的应用：灵活把握题意，把实际问题转化为数学问题，运用数学建模思想和数形结合思想灵活地解决问题．

新课导引

【生活链接】 王芳同学跳起来把一个排球打在离她2 m远的地上，然后球反弹碰到墙上，如果王芳跳起击排球时的高度是1.8m，排球落地点离墙的水平距离是6m，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方?

【问题探究】 由题意可得到如右图所示的图形．已知AB＝1.8 m，AP＝2 m，PC＝6 m，PQ⊥AC，那么如何求DC的长呢?由已知可证Rt△APB∽Rt△CPD，由相似三角形的性质可知ABAP1.82，即 ??，所以DC＝5.4(m)．利用相似三角形的知识还能解决许多实际问题．

DCPCDC6教材精华

知识点 应用相似三角形的知识解决实际问题

相似三角形的知识在实际生产和生活中有着广泛的应用，这一应用是建立在数学建模思想和数形结合思想的基础上，把实际问题转化为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．

拓展 求线段的长度时，可根据已知条件并利用相似建立未知线段的比例关系式，从而求出所求线段的长．运用数学建模思想把生活中的实际问题抽象为数学问题，通过求解数学问题达到解决实际问题的目的．

课堂检测

基础知识应用题

1、如图27—38所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P，在近岸取点Q和S，使点P，Q， S共线且直线PS与河垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R，如果测得QS＝45 m，ST＝90 m，QR＝60 m，求河的宽度PQ．

2、古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法，如图27－39所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖起一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似地算出金字塔的高度OB且已知O′B′=1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB．

综合应用题

3、如图27－40所示，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC＝240 mm，高AD＝160mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长是多少?

4、如图27—41所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC=4 cm，AB＝8 cm，D，E，F分别为AB，AC，BC边的中点，P为AB边上一点，过P作PQ∥BC交AC于Q，以PQ为一边，在点A的另一侧作正方形PQMN，若AP＝3 cm，求正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积．

探索与创新题

5、教学楼旁边有一棵树，课外数学兴趣小组的同学在阳光下测得一根长为1 m的竹竿的影长为0．9 m，在同一时刻他们测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，如图27－42所示，经过一番争论，该小组的同学认为继续测量也可以求出树高，他们测得落在地面上的影长为2.7 m，落在墙壁上的影长为1.2 m，请你计算树高为多少．

体验中考

小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图27－45所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA＝0．2 m，OB＝40 m，AA′＝0．0015 m，则小明射击到的点B′，偏离目标点B的长度BB′为 ( )

A．3 m B．0．3 m C．0．03 m D．0．2 m

学后反思

附： 课堂检测及体验中考答案 课堂检测

1、分析 可利用三角形相似的性质来求解． 解：∵∠PQR＝∠PST＝90°，∠P＝∠P，

PQQR ∴Rt△PQR∽Rt△PST，∴， ?PSSTPQQRPQ60?? 即，∴，

PQ?QSSTPQ?4590 PQ×90=(PQ+45)×60，解得PQ＝90．

故河宽大约为90 m．

【解题策略】 利用相似三角形的性质能够测量不方便到达的两点间的距离．

2、分析 要求OB的长度，可以通过证明△OAB∽△O′A′B′，从而得到比例式

OBAB，进而求解． ?????OBAB 解：∵太阳光是平行光线， ∴∠OAB＝∠O′A′B′．

又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，

∴△OAB∽△O′A′B′， ∴OB：O′B′＝AB：A′B′，

ABO?B?274?1 ∴OB==137(米)． ?A?B?2 故金字塔的高度为137米．

【解题策略】 本题重点考查阅读理解能力和知识的迁移运用能力，从而计算出不能直接测量的物体的高度．

3、分析 若四边形PQMN为正方形，则AE⊥PN，这样△APN的高可以写成AD－ED＝AD－PN，再由△APN∽△ABC，即可找到PN与已知条件之间的联系．

解：设正方形PQMN为加工成的正方形零件，边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，△ABC的高AD与正方形PQMN的边PN相交于E，设正方形的边长为x mm． ∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC，

AEPN ∴, ?ADBC ∴160?xx=,解得x=96(mm)， 160240 ∴加工成的正方形零件的边长为96 mm．

【解题策略】 本题中相似三角形的知识有了一个实际意义，所以在解题时要善于把生活中的问题转化为数学问题来解决．

PQAP4、分析 由于PQ∥BC，所以，从而可求出PQ的长，而四边形PQMN是正方?BCAB形，所以PN的长及DN的长都可以求出来．由于正方形FQMN与矩形EDBF的公共部分是矩形，故只要求出DN，MN的长，就可以求出矩形的面积．

解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB=8 cm，BC＝4 cm，D，E，F分别为AB，AC，BC边

的中点，则AD＝4 cm，DE∥BC，DE⊥AB． 又∵PQ∥BC，∴△APQ∽△ABC，

APPQ3PQ3 ∴，即?，∴PQ=. ?ABBC842 由四边形PQMN是正方形，得PN＝ ∴AN＝91，DN＝AN－AD＝， 223， 2 ∴正方形PQMN与矩形EDBF的公共部分的面积为：

1332

DN·MN=DN·PQ=×=(cm)．

224【解题策略】 本题考查了直角三角形、正方形与相似三角形知识的综合应用，要熟

练掌握每一种几何图形的性质．

5、分析 首先根据题意画出示意图(如图27－43所示)，把实际问题抽象成数学问题，从而利用△PQR∽△DEC，△PQR∽△ABC求出树高AB．

解：如图27－43(1)所示，延长AD，BE相交于C，则CE是树的影长的一部分．

PQQR 由题意可得△PQR∽△DEC，∴， ?DEEC 即10.9，∴CE=1.08(m)， ?1.2CE ∴BC＝BE+CE＝2.7+1.08＝3.78(m)．

PQQR 又∵△PQR∽△ABC，∴， ?ABBC即10.9，∴AB=4.2(m)， ?AB3.78故树高为4．2 m． 体验中考

分析 由三角形相似可得OAAA?OBAA?40?0.0015，∴BB′===0.3(m)．故选B. ?OBBB?OA0.2【解题策略】 解决此题的关键是根据AA′∥BB′，从而判定两个三角形相似．

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