电磁场理论(柯亨玉)答案 第一章 矢量分析与场论基础

第一章 矢量分析与场论基础

内容提要

1） 正交曲线坐标系：

设有三组互相正交的曲面族由下列方程定义：

q1 q1(x,y,z) q2 q2(x,y,z) q3 q3(x,y,z)

在正交曲线坐标中的线元、面元、体元分别为

dli hidqi

ihidqi dli q

ihjhkdqjdqk dsi dlj dlk q

dv dli dlj dlk hihjhkdqidqjdqk

i q j q k 1， i q j q k，q式中i、j、k代表循环量1、2、3，q

x

hi q

i y z q q 称拉梅系数。 i i

222

三种坐标系中坐标单位矢量间的关系：

cos e e sin z e 0

sin

cos 0

x 0 e e y 0 z 1 e

柱坐标与直角坐标

sin e

cos e e 0

0cos e e 0sin z 10 e

球坐标与柱坐标

sin cos e

cos cos e e sin

2） 矢量及其运算：

直角坐标中算符 的定义：

sin sin cos sin cos

x cos e e y sin z 0 e

球坐标与直角坐标

一个标量函数u的梯度为：

x e y e z e x y z

u

u u u x e y e z e x y z

梯度给出了一点上函数u随距离变化的最大速率，它指向u增大的方向。

一个矢量F穿过一个曲面S的通量 为

F

s

对一个闭合曲面而言，向外为正。

直角坐标系中F的散度

Fx Fy Fz

F

x y z

表示在这一点上每单位体积向外发散的F的通量。

散度定理：

其中v是由s所包围的体积。

斯托克斯定理：

V

Fdv F ds

S

( F) ds F dl

s

L

其中s是由l所包围的面积。

直角坐标系中F的旋度

xe F

xFx

拉普拉辛是梯度的散度 在直角坐标系中：

ye yFy ze zFz

2u 2u 2u

u u 2 2 2

x y z

2

一个矢量的拉普拉辛定义为：

x 2Fye y 2Fze z F 2Fxe

2

其它坐标也可写成：

Fx ( F) F

2

柱坐标系中

ze z r e

ed e dze z dr d e

dv d d dz

u

u1 u u e z ee z

F F 1 F Fz

F

z e 1 F

F

2

e F ze zFz

1 u 2u1 2u 2u u

2 2 2 z2

球坐标系中

r r re

r rd e rsin d e dre

dv r2sin drd d

u

u1 u1 u

r eee rr rsin

1 2 F 1 1

F 2(rFr) (sin F ) ()

rsin rsin r r

rer2sin F

rFr ersin rF

er

rsin F

1 2 u1 u1 2u

u 2(r) 2(sin ) 2

22

r r rrsin rsin

2

3） 亥姆霍兹定理：

矢量场F可表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和

F Fe Fl

其中

F Fl ( Fe 0)

F Fe ( Fl 0)

因此一个矢量场要从散度和旋度两个方面去研究

4） 函数

0(r r')

定义： (r r)

(r r)

0(r'在v外)

(r r')dv v

1(r'在v内)

性质 a）偶函数： (x) ( x)

b）取样性：

f(x) (x a)dx f(a)

有机会用到的表达式：

(r r)

1-1. 证明：

12 4

x9 e y2 e z6) (e x2 e y3 e z4) A B (e

=18+6-24

=0

说明A与B相互垂直

1-2. 空白

1-3. 证明：

A B AxBx AyBy AzBz 0

说明A与B相互垂直

1-4. 解：

当坐标变量沿坐标轴由ui增至ui dui时，相应的线元矢量dli为：

dli (ui dui) (ui)

=dui

ui

idui =u ui

dui 其中弧长

dli ui

其中

x x x x x x y x

1

1

2

2

3

3

j

j

3

j 1

3 xj

j x

uij 1 ui xj

uij 1 ui

3

2

xj

令hi

j 1 ui

3

2

则dli hidui

1-5. 解：

(1) 据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有

(A B) (Ac B) (A Bc)

其中Ac、Bc暂时视为常矢，再根据二重矢量积公式

a (b c) (a c)b (a b)c

将上式右端项的常矢轮换到 的前面，使变矢都留在 的后面 Ac a (Ac B) Ac ( B) (Ac )B

Bc a (A Bc) Bc ( A) (Bc )A

则

(A B) Ac ( B) (Ac )B Bc ( A) (Bc )A 除去下标c即可

(A B) A ( B) (A )B B ( A) (B )A

(2) 利用(1)式的结果即可。

(3) 据 算子的微分性质，并按乘积的微分法则，有 (E H) (Ec H) (E Hc) 再 算子的矢量性，并据公式

a (b c) c (a b) b (c a)

将常矢轮换到 的前面

(Ec H) Ec ( H) Ec a b H c

(E Hc) Hc ( E) Hc a b E c

代入得：

(E H) Hc ( E) Ec ( H)

H ( E) E ( H)

1-6.

Ax Ay Az

(1) 证： A

x y z

dAx udAy udAz u

du xdu ydu z

dA u

du

x((2) 证： A(u) e

Az Ay Ax Az Ay Ax

y( z( ) e ) e )

y z z x x y

dAz udAy udA

x( x 右边第一项的x分量 e ) ( u )edu ydu zdu dAx udAz udA y( y 同理 e ) ( u )edu zdu xdu

dAy udAx udA z( z e ) ( u )edu xdu ydu

则

dA

A(u) u

du

Az Ay Ax Az Ay Ax

(3) ( A) ( ) ( ) ( ) 0

x y z y z x z x y

1-7.

证： R

R R R x y z eee x y z

(x x')(y y')(z z')R

x y z eeeRRRR 'R

R R R x y z eee x' y' z'

(x x') (y y') (z z')R

x y z eeeRRRR

R

所以 R 'R

R

df

u du

11R

2 R 3

RRR

据公式 f(u)

11R

' 2 'R 3

RRR

11R

所以 ' 3

RRR

R1

3 0（梯度的旋度等于零）

RR

R11

3 3 R R 3

RRR

31

R ( 3) R 34RR

3 3R

3 R 0 (R 0) 5

RR

同理

R11

' 3 3 ' R R '3

RRR

3 1

3 R ( 3)4 'R

RR

33RR

3 R 5 3 0 (R 0)

RRR

1-8. 解： E0sin(k r) E0 sin(k r)

E0 cos(k r) (k r)

E0 (k )rcos(k r)

E0 kcos(k r)

[E0sin(k r)] sin(k r) E0 cos(k r)k E0

1-9. 证： 用常矢量c点乘式子两边得

c dv f c f c (n f)ds

v

s

s

c dv f dvc ( f) 上式左边：

v

v

利用矢量恒等式：

(f c) ( f) c c ( f)

dvc ( f) dv (f c)

v

v

(f c) (f c) nds

s

s

c (n f)ds

s

因为c为任意常矢量，则

dv f f

v

s

设c为任意常矢量，令F c,代入Stokes定理

F F

s

L

上式左边

( c) c c

s

s

s

c c

s

s

c

s

上面用到：a (b c) b (c a)

右边

L

F c c

L

L

则得：c ds c 因为c是任意的，所以

1-10. 证：

据矢量场的散度定理

s

dl

L

s

L

V

Fdv F nds

s

令F ， 和 为空间区域中两个任意的标量函数

则

( )dv

v

s

上式左边

2

( )dv [ ]dv v

v

所以[

v

2

]dv

s

1-11. 函数F在M点的散度从它的定义推出

F lim

F ds

s

V 0

V

如图，考虑u2 c的两个端面 左端面位于u2，右端面位于u2 du2 取曲面外法向为正，两个端面对 向外的通量的净贡献是

2h1h3du1du3] [F u2h1h3du1du3]u2 du2[F u

2h1h3du1du2du3) (F u

u2

(F2h1h3)du1du2du3 u2

同理其余两对面分别是

(F1h2h3)du1du2du3 u1

(F3h1h2)du1du2du3 u3

即F [(F1h2h3) (F2h1h3) (F3h1h2)]du1du2du3

s u1 u2 u3

上式除以 V dv

gdu1du2du3

并取极限du1 0,du2 0,du3 0

则矢量F的散度是

1 F

g

(FIhJhK) ijk uI

1 f1 f1 f 1( 2( 3( ( F) u) u) u) h1 u1h2 u2h3 u3

1 f

i u i 1hi ui

3

其中 f F

f f

2

1

hjhk f

() gi uihi ui1( ug

i

i

g

1 f

) 2

hi ui

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