振动物理力学答案

第九章 振动

思考题

9.1 什么叫作简谐振动？如某物理量x的变化规律满足x?Acos(pt?q)，A、p、

q均为常数，能否说x作简谐振动？

答：物体（质点或刚体）在线性回复力或线性回复力矩作用下，围绕平衡位置的往复运动叫作简谐振动。可由动力学方程或运动学方程加上一定的附加条件来定义：

d2x2??若物体相对平衡位置的位移（角位移）x满足动力学方程 0x?0，且?0由2dt振动系统本身性质决定时，则物体作简谐振动；

若物体相对平衡位置的位移（角位移）x满足运动学方程 x?Acos?(0t??)，且?0由振动系统本身性质决定，A、?由初始条件决定的常数时，则物体作简谐振动。以x0和

v0x分别表示t?0时物体的初始位移和初始速度，则式中 A?x?cos??202v0x?20；?可由

x0vv、sin???0x和tg???0x三式中的任意两个来决定。 A?0A?0x0上述运动学方程是动力学方程（微分方程）的解，A、?是求解时的待定积分常数。三个定义在力学范围内是等价的，动力学方程更具普遍性。可用三个定义中的任何一个来判断物体的运动是否简谐振动。

如某物理量x的变化规律满足x?Acos(pt?q)，A、p、q均为常数，不能说x作简谐振动。因为常数p必须是由振动系统本身性质决定的固有频率，并且A、q是由系统初始条件决定的常数时，才可以说x作简谐振动。

9.2 如果单摆的摆角很大，以致不能认为sin???，为什么它的摆动不是简谐振动？ 答：对质量为m 的摆球，当摆角?很大时，sin???，其切向力

f???mgsin???mg??，不是角位移?的线性回复力。由牛顿定律得：

d2(l?)m??mgsin?

dt2d2?g?sin??0 即 2ldtd2?g2??sin??0 令??，有 02ldt20因此，动力学方程是非线性微分方程，其解不再为余弦函数，不满足简谐振动的定义。

9.3 在宇宙飞船中，你如何测量一物体的质量？你手中仅有一已知其劲度系数的弹簧。

答：将被测物与弹簧连接构成一弹簧振子，用手表测出一定时间?t内的振动次数N，确定振动频率f?2又?0?N，从而确定?0?2?f； ?t2kkk，则可间接测量出物体的质量：m?2?m?04?2f（质量在太空中不变）。

9.4 将弹簧振子的弹簧剪掉一半，其振动频率将如何变化？

答：设弹簧原长l0，质量m不变，竖直放置弹簧振子，平衡时，弹簧伸长?l，则F?mg?k?l。 由胡克定律 Fn?当弹簧剪掉一半时，l??YSYS。 ?l，对比可得其劲度系数k?l0l01l0，即k??2k。 2设原弹簧振子频率为f1，剪后为f2，则

f2?22kk??:?2?1.41 f1?1mm所以f2?2f1，频率增大为原来的2倍。

9.5 将汽车车厢和下面的弹簧视为一沿竖直方向运动的弹簧振子，当有乘客时，其固有频率会有怎样的变化？

答：由?0?k可知，当有乘客时，?0?mk。

m?m1所以，当有乘客时，其固有频率会减小。

9.6 一弹簧振子（如图9.1）可不考虑弹簧质量。弹簧的劲度系数和滑块的质量都是未知的。现给你一根米尺，又允许你把滑块取下来，还可以把弹簧摘下来，你用什么方法能够知道弹簧振子的固有频率？

答：（1）用米尺量出振子尺寸，计算体积，由材料密度可计算出振子质量m； （2）测出弹簧原长l0，竖直放置弹簧振子，挂物后平衡时测出弹簧长度l，计算出弹簧伸长量?l?l?l0。在平衡位置，mg?k??l，即可确定劲度系数k?（3）计算出固有频率?0?mg； ?lk。 m9.7 两互相垂直的简谐振动的运动学方程为 x?A1cos(?0t??1)，

y?A2cos(?0t??2)。若质点同时参与上述二振动，且 ?2??1?的轨道怎样运动？

?2，质点将沿什么样

x2y2答：合振动的轨道方程为：2?2?1。轨道为以x和y为轴的椭圆。由于

A1A2?2??1??2，故y方向的振动比x方向的振动超前

?，质点沿椭圆顺时针方向运动。 29.8 “受迫振动达到稳态时，其运动学方程可写作x?Acos(?t??)，其中A和?由初条件决定，?即策动力的频率。”这句话对不对？

答：不对。A和?并非由初条件决定，而是依赖于振动系统本身的性质、阻尼的大小和驱动力的特性。

9.9 “策动力与固有频率相等，则发生共振。”这句话是否准确？ 答：不准确。共振有位移共振和速度共振之分。常说的位移共振条件为???02?2?2，

即位移共振频率?一般不等于振动系统的固有频率?0；仅当无阻尼或阻尼无限小时，共振频率无限接近于固有频率，但这时振幅将趋于无限大。而速度共振的条件是???0，即策动力的频率等于振动系统的固有频率。

习题

9.2.1 一刚体可绕水平轴摆动。已知刚体质量为m，其重心C和轴O间的距离为h，刚体对转动轴线的转动惯量为I。问刚体围绕平衡位置的微小摆动是否是简谐振动？如果是，求固有频率，不计一切阻力。

解：设刚体静止时，OC沿竖直方向，振动系统处于平衡位置。若将刚体偏离平衡位置，使OC与竖直方向夹一小角?，然后将刚体由静止释放，刚体就围绕平衡位置作微小摆动。

以?表示OC的角坐标或相对于平衡位置的角位移，以?z表示重力矩，则

?z??hmgsin???hmg?? （因?很小，sin???）

重力矩?z与角位移?成线性关系，并与角位移符号相反，为线性回复力矩，刚体在线性回复力矩作用下围绕平衡位置的微小摆动是简谐振动。

d2???hmg? 由转动定律得：I2dtd2?hmg2????0 令??，则 02Idt20所以，刚体简谐振动的固有频率?0?hmg。 I9.2.2 轻弹簧与物体的连接如图所示，物体质量为m，弹簧的劲度系数为k1和k2，支承面是理想光滑面，求系统振动的固有频率。

解：设物m处于平衡位置时，k1弹簧伸长l1；

k2弹簧伸长l2，则k1l1?k2l2。

取平衡位置为坐标原点O，建立O—X坐标系。 当物m受扰动向X轴正向位移x时，物m受力：

F?F1?F2??k1(x?l1)?k2(l2?x)

所以， F??(k1?k2)x??kx

d2x由牛顿定律 F?m2得

dtd2xm2??(k1?k2)x dt令

?02?k1?k2，则弹簧的振动微分方程可表示为： md2x2??x?0 02dt所以，固有频率

?0?k1?k2。 m9.2.3 一垂直悬挂的弹簧振子，振子质量为m，弹簧的劲度系数为k1，若在振子和弹簧k1之间串联另一弹簧，使系统的频率减少一半。问串联上的弹簧的劲度系数k2应是 k1的多少倍？

解：k1弹簧振子的频率：?1?若使k1串k2弹簧振子的频率：

k1 mk111k1?2??1???22m4mk14?k

mmk1时，可满足要求。 4故k1串k2后的等效劲度系数为k?取振子m静止时（平衡位置）为坐标原点O，建立O—X坐标系。 在平衡位置时，k1弹簧伸长l1；k2弹簧伸长l2，且 k1l1?k2l2?mg。 当振子m位移x时，k1弹簧伸长（l1+x1）；k2弹簧伸长（l2+x2）。

设 x1?x2?x。 ??????????????????（1）

则振子m受的弹力可表示为 f??k2(l2?x2)??k1(l1?x1)。

?k2x2?k1x1 ?????????????????（2）

因此，振子m所受合力：F?mg?k2(l2?x2)??k2x2??kx ?????（3） 联立（1）（2）（3）得k?k1k2

k1?k2取k?k1kkkk，则12?1，解得 k2?1。

34k1?k249.2.4 单摆周期的研究。（1）单摆悬挂于以加速度a沿水平方向直线行驶的车厢内。（2）单摆悬挂于以加速度a上升的电梯内。（3）单摆悬挂于以加速度a（a

解：（1）以非惯性系车厢为参照系，建立自然坐标系。以摆球为研究对象，摆球受重力

????mg、张力T、惯性力f??ma。在平衡位置O处：

??? mg+T+f=0

水平方向：Tsin??ma?0 竖直方向：Tcos??mg?0

由此得摆球在平衡位置时摆线与竖直方向夹角?满足 tg??a。 g当摆球偏离平衡位置的角位移为?时，由牛顿定律得（切向）

d2??mgsin(???)?macos(???)?ml2

dt由于?很小，取sin???,cos??1，上式整理为

d2??g(sin????cos?)?a(cos????sin?)?l2

dt又

?tg??ag，

?gsin??acos?，

sin??ag?a22，cos??gg?a22，

在切向的牛顿定律可表示为：

g2?a2d2????0

ldt2

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