第二节 正项级数203-3-22（修改讲稿）分解

提问： 若级数

?an?1?n与

?bn?1?n均发散,则级数

?(an?1?n?bn)必发散.（是否正确？）

提问：判断下列级数的敛散性:

(1)0.001?0.001?30.001???n0.001??

n4424344n?14?? (2)?2?3?4???(?1)55555n1357(3)?????

2468?(?1)n?n(6) 级数?

n?12n?1(7)

?(2n?1?1n?12n?n?1) 3?1发散. (注意limun?0) ?n??n?1n证明: 假设级数收敛于S,于是 lim(S2n?Sn)?S?S?0.

例3 证明调和级数

n??而另一方面

111 ????n?1n?22n111n1??????? n?nn?n2n2n21那么 0?lim(S2n?Sn)?,矛盾.

n??2?1故 调和级数?发散.（结论当定理使用）

n?1n?n例8 设级数?un的部分和为Sn?，判断级数

2n?1n?1S2n?Sn??un?1?n?2的敛散性.若级数收敛，求它的和.

1

例5 某合同规定从签约之日起，由甲方永不停止地每年支付给乙方300万元人民币.设利率为每年5％，分别以（1）年复利；（2）连续复利计算利息，则该合同的现值等于多少？

解：（1）以年复利计算利息，则第一笔付款的现值为3（百万元）（签约当天付）, 第二笔付款的现值为

33（百万元），第三笔付款的现值为

(1?0.05)1(1?0.05)2（百万元），……如此下去到永远，则总现值为

333 ??123(1?0.05)(1?0.05)(1?0.05)33??63. ?????n1(1?0.05)1?1.051（此为公比为q?的等比级数求和问题）

1?0.053?故按年复利计息甲方需存入约63百万元到银行，即可每年支付乙方300万元人民币到永远.

（2）若以连续复利计息，类似上述方法计算则甲方应存入银行总现值为

3?3e?0.05?3(e?0.05)2??n(e?0.05)n???3?61.5?0.051?e百万元人民币 即可每年支付乙方300万元人民币到永远.

（补充知识）连续复利 1.一年一个计息期的复利：

设年利率为r,贷款本金为A0,那么 一年后本利和为：A1?A0(1?r)；

两年后本利和为：A2?A0(1?r)；……………………

2k年后本利和为：Ak?A0(1?r)k.

2.一年n个计息期的复利：

2

设年利率为r,一年n个计息期,显然每期利率为

r, n若贷款本金为A0,那么,k年后本利和为：

rAk?A0(1?)kn.

n3.连续复利：即每时每刻计算复利.

设年利率为r,贷款本金为A0,让一年计息期的个数

n??,则 k年后本利和为：

??rknrnAk?limA0(1?)?limA0?(1?)r??A0ekr.

n??n??nn??这个数学模型在现实世界中应用很多，例如物体的冷却、细胞的繁殖、树木的生长、镭的衰变等.

例6 某企业计划发行公司债券,规定以年利率6.5%的连续复利计算利息,10年后每份债券一次偿还本息1000元,问发行时每份债券的价格应定为多少元？ 解：设A0为发行时每份债券的价格,年利率为r?6.5%,

krk?10年后每份债券一次偿还本息Ak?1000元,

若以连续复利计算利息,则Ak?A0e, 即1000?A0e

10?0.065kr,

得A0?1000e?10?0.065?552.05(元).

§7.2 正项级数的审敛法

教学目的:掌握正项级数定义；熟练掌握正项级数敛散性

的常用判别法，灵活运用判别法判断所给级数的敛散性.

重难点: 灵活运用判别法判断所给级数的敛散性. 教学方法:启发式讲授与指导练习相结合. 教学过程:

一、正项级数收敛的基本定理

3

1.【定义7.2】若级数

?un?1?n的各项un?0（n?1,2,3,?）, 则称级数

?un?1?n为正项级数.

显然，正项级数的部分和数列{Sn}是单调增加的， 即 S1?S2???Sn??

由数列极限存在准则知：若数列有上界，则它收敛； 否则它发散.

2.【定理7.1】(基本定理)正项级数

?un?1?n收敛?部分

和数列{Sn}有界. 且此时有Sn?S

说明：因un?0,于是Sn?Sn?1?un?Sn?1,可见{Sn}单调递增. 故

?un?1?n收敛 ?{Sn}收敛 ?{Sn}有界.

此时显然有Sn?S.

（注意：单调有界数列收敛）

二、比较判别法

1.【定理7.2】(比较判别法)设

?un?1?n与

?vn?1?n均为正项

级数, 且 un?cvn, (n?1,2,3,?, c是大于零的常数) 则 (1) (2)

?un?1n?1??vn?n收敛?发散??vn?1n?1??un?n收敛;

发散.

证明: 由条件知, 0?Sn?(1)

?u??cvkk?1k?1nnk?cTn, 那么

?vn?1?n收敛?{Tn}有界?{Sn}有界

4

? ?un收敛;

n?1??(2)

??vn发散.

n?1n?1??un发散?{Sn}无界?{Tn}无界

另证：若此与题设即

?vn?1?n?1?n收敛，由（1）证明知

?un?1?n必收敛，

?un发散矛盾，所以假设不成立，

?vn?1?n发散.

例1 判断调和级数 散性. 解：Sn?1??1111?1???????的敛?23nn?1n?111??????Sn?单调上升且无上界 23n1发散. ?nn?1?1111另： ??1???????

23nn?1n1111111?(1?)?(?)?(???)??

23456781111111??(?)?(???)?? 2448888?1111??????? 222n?12?1而级数?发散,由比较判别法知原级数发散.

n?12?1故

例2 (1)证明级数

?n?1n(n?1)是发散的.

5

证明 ??1n(n?1)?1(n?1)(n?1)?1, n?1?11而级数?=?发散,n?1n?1n?2n?1? 级数?发散.

n(n?1)n?11?n是发散的. ?2n?11?n1?n1?n1证明：因为un?， ??1?n2(1?n)21?n??11且级数?=?发散，

n?1n?1n=2n?1?n故 级数?是发散的. 21?nn?1?nn（3）判断级数?()的敛散性.

2n?1n?1(2) 证明级数

?1n?n??n?解：?un????()?vn， ???2?2n?1??2n?1nv?()是收敛的几何级数 ??n2n?1n?1?nn所以级数 ?()收敛.

n?12n?1例3 讨论p?级数

而级数

??nn11111?1????????的敛散性 ?pppppn234nn?1（其中p?0).

?111解: ① 若p?1，由于p? ,且?发散

nnn?1n?p?级数发散.

11 ② 若p?1 由 0?n?1?x?n?p?p

nx

6

?ndxndx1?? (n?2,3,4,?), np?n?1np?n?1xp111那么Sn?1?p?p???p

23n2dx3dxndx?1??p??p????

1x2xn?1xp所以

?1??n1??dx?1dx1? ?1??1??ppp?1??1xx?1?px?1??1p, ＝p?1p?1可见{Sn}有界?p?级数收敛. =1?综上知：p?级数

?n

n?1

?

1

p

收敛 ? p?1.

（此结论当定理使用） 另证:p?1时, p?级数

1收敛. ?pnn?1?111u?1??????? ?nppp23nn?1111111?1?(p?p)?(p?p?p?p)

23456711?(p???p)??815111111?1?(p?p)?(p?p?p?p)

22444411?(p???p)??88?1111?1?p?1?p?1?p?1????(p?1)n?1

248n?12?11n?1q??1的收敛级数. 是公比为()?p?1p?122n?17

?

故 p?1时, p?级数提问1: 判定级数 提示:un??1收敛. ?pnn?113n?n12??n?1? 的敛散性.

13n2?n?n(3n?1)?1n(3n?n)?1; 2n??111发散发散发散. ?2?????2nnn?1n?1n?13n?n?12. 判定级数

n(n?1)111??3?vn， 解：?un?n(n2?1)n3n2n?1?2的敛散性.

而级数

?vn??n?1n?1??1n32为收敛的p?级数

所以级数

?n?1?1n(n?1)2收敛.

例4 (1)判定级数 解: 因为 un??n?1?14n?33 的敛散性.

14n?33?1n?3(n?1)33

?1n3??1n32 (n?2,3,?),

又因为

?n?1?1n32是收敛的p?级数;

所以级数

?n?114n?33收敛.

(2)判断级数

3322(n?1?n?1)的敛散性. ?n?1? 8

解 令 un??n3?1?n3?1?0

??un为正项级数.

n?1又un?n3?1?n3?1??2n322n?1?n?133

?2n?13?vn

级数

?n?1?1n32为收敛的P－级数，所以

?vn?1?n收敛，

由比较判别法知 故级数

?(n?1?2n3?1?2n3?1)收敛.

提问:判断下列级数的敛散性

1. ?nn?1n11提示：un?n?n?vn(n?2,3,?),

n2??11收敛收敛， ???nnn?22n?2n?1?正项级数?n收敛.

n?1n（1）

?n2?1（2）判别级数?2的敛散性. 2n?1(n?2)(n?3)n2?1n2?11un?2???vn 2222(n?2)(n?3)(n?1)nn???1n2?1且?vn??2??2收敛. 2n?1n?1nn?1(n?2)(n?3)2222324???? (3)1??33?53?5?73?5?7?9? 9

2n?1??? 3?5?7??(2n?1)2n?12?()n?1(n?1,2,?), 解 由于un?3?3?3??332这是一个公比为的几何级数,因而是收敛的,由比较判

3别法可知原级数收敛.

?例5 设an???40tannxdx.

（1）求

1(an?an?2）的值. ?n?1nan收敛. ??n?1n?（2）证明当??0（常数）时，级数

?（1）解 an?an?2???40tannx(tan2x?1)dx

1 n?1 ?所以

??40tannxdtanx??111(a?a）=?lim(1?)?1 ??nn?2n??nn(n?1)n?1n?1n?1?（2）证明 因为 an??40tannxdx?0

anan?an?211???， ?????1nnn(n?1)n?1且??0时，???1收敛，故原级数收敛.

n?1n?1例6 讨论级数?(a?0)的敛散性. n1?an?1?111?解：1）a?1时由un?且收敛可得 ?nnn1?aan?1a0?原级数收敛.

10

?111?2）a?1时由un?且?发散可得

1?an2n?12原级数发散.

?111?3）0?a?1时由un?且?发散可得

1?an2n?12原级数发散.

【结论】当通过不等式的放缩较容易找到已知敛散性的级数时，可以选择比较判别法判断级数敛散性.注意利用比较判别法需要对调和级数、几何级数、P－级数的敛散性非常熟悉.

2.[由p?级数得结论]： 设

?un?1?n为正项级数, 那么

?1① 若p?1, 且un?p, n?1,2,?, 则?un收敛;

nn?1?1② 若un?,n?1,2,?, 则?un发散.

nn?1练习：用比较判别法确定下列级数的敛散性:

111???? 357?1解 该级数为?,

2n?1n?1?111?由, 且?发散,知原级发散.

2n?12nn?12n11111????2?? (2)??251017n?1??1111?2,且?2收敛, 解 该级数为?2,由2n?1nn?1n?1n?1n(1)1?知原级数收敛. (3)

?ln(n?1)

n?1?1（由函数单调性知x?0?f(x)?x?ln(x?1)

11

?f?(x)?1?1?0 x?1所以函数f(x)单调递增，x?0时

f(x)?f(0)?0?ln(x＋）1

11解 因为ln(n?1)?n,所以?,

ln(n?1)n?1而调和级数?发散,由比较判别法可知原级数发散.

n?1n2222324????? (4)2341?33?35?37?3122()n?()n, 解 由于un?2n?133?22n是一个公比为的收敛几何级数， ()?33n?1所以由比较判别法可知原级数收敛. (5)

n?11113解 由??()2,

nnn?1nnn?1?n?1

13()2收敛, ?n?1n?知原级数收敛.

3．【定理7.3】(比较判别法的极限形式) 设

?un与?vn均为正项级数,若limn?1n?1n??un?l，则

n??vn（1）)当0?l???时,

?vn?1?与

?un?1?n有相同的敛散性.

(2)当l?0时,若

?vn?1??n收敛,则

?un?1??n也收敛； 也发散.

(3)当l???时,若

?vn?1n发散,则

?un?1n证明: (1) 当0?l???时,

12

由limun?l得

n??vnun?l?? vn对???0,?N?0s.t.n?N时有取??3lllu3llvn ，则 ?n?即vn?un?2222vn2由正项级数的比较判别法得

??3lvn，若?vn收敛, 则 ?un收敛. 由于un?2n?1n?1?l又因为vn?un， 从而 ?vn收敛；

2n?1?l同理若?vn发散，且vn?un

2n?1??3l??un发散.又un?vn??vn发散.

2n?1n?1故原结论成立. （2）当l?0时,

?un??，即un??vn，取??1 vnn则由un?vn且

?vn?1收敛知

?un?1?n收敛（比较判别法）.

（3）当l???时,由无穷大的概念知

?M?0,s.t.un?M?0?un?Mvn vn?vn?1?n发散?由正项级数的比较判别法得

?un?1?n发散.

例7 （1） 判别级数

?sinn?1?1的敛散性. n 13

1?11n解: ?limnsin?lim?1,?发散

n??nn??1n?1nn?1? 级数?sin发散.(p?1)

nn?1?1（2）?ln(1?)：

nn?1111n??,ln(1?)~,令vn?

nnn?1且?发散，可推出原级数发散. n＝1n?1（3）判别级数?ln(1?2)的敛散性.

nn?111ln(1?2)t?n2n???limln(1?t)?1, 解: ?limn??t?01t2n?1且 ?2是收敛的p?级数（p?2）

n?1n?1?级数?ln(1?2)收敛. (p?2?1).

nn?1?1sin（4）讨论级数解：令un???nn?1nn的敛散性.

1nnn,vn?u11，则 limn?lim?1

nn??n??nvnn?11且?发散?正项级数?发散.

nn?1nn?1nnan例8 判定级数?(a?0)的敛散性. 2nn?11?a? 14

?an1解 （1）当a?1时，?发散. ??2nn?11?an?121（2）当a?1时，令vn?n，

auna2n1??lim?lim?lim?1???

n??vn??1?a2nn??1n1?()2na?10?q??1）， 收敛（v?nan?1?an所以原级数?收敛. 2nn?11?aanan1????vn, 另证：令 un?2n2nn1?aaa?10?q??1）， 收敛（v?nan?1?an所以原级数 ? 收敛. 2nn?11?a（3）当0?a?1时，令vn?an，

?un1?lim?1???

n??vn??1?a2nn?1vn收敛（0?q??1）， ?an?1??liman所以原级数?收敛. 2n1?an?1anan??an?vn, 另证：令 un?2n1?a1??vn?1?n收敛（0?q?a?1），

?an所以 原级数?收敛. 2n1?an?1

15

an综上所述a?1时?发散， 2nn?11?a?ana?1时，?收敛. 2nn?11?a【结论】当n??时，级数的通项能与常用的等价无穷

?小挂钩，此时考虑用比较判别法的极限形式进行判定.但必须给出通项比值的极限（与无穷大比较）以及用于比较的已知级数.

利用比较的极限形式时常需用到极限的等价无穷小概念 x?0：x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~

ln(x?1)~ex?1，1?cosx~?12x 2n4.【推论】(p?极限法)设

?un?1为正项级数,且

limnun?l,

n??p(1)当p?1,0?l???时,级数(2)当p?1,0?l???时,级数

??un?1?n?1?n收敛; 发散.

?un（提示:设

?vn为正项级数,其中vn?n?1?1，利用比较判pn别法去证） 练习:

1(1?cos)的敛散性. ?nn?1?111解：n??时，1?cos?且收敛?22n2nn?12n?1??(1?cos)收敛.

nn?1 (1) 判别级数

16

1： ?nnn?18?6111，vn?n， un?n?881?(3)n4??un11收敛. lim?1且?n收敛，推出?nnn??vn?18?6n＝18n?1(3)?:

n?1ln(n?1)11 提示 令 un?，vn?

nln(n?1)unx ?limn?lim?limn??vn??ln(1?n)x???ln(1?x)n?lim(1?x)??，

（2）

x????1发散?原级数发散. ?nn?1三、比值判别法

1.【定理7.4】(达朗贝尔判别法D?Alembert) 设

??un为正项级数,若limn?1?un?1?l,则

n??un收敛；

(1)l?1时, 级数

?un?1??n(2) l?1或l???时, 级数(3)l?1时, 级数

?un?1?n发散；

?un?1n可能收敛也可能发散.

证明: (1) l?1时, 对???0 ?N?0,当n?N时

有un?1u?l??，即n?1?l???r unun(取?适当的小, un?1?run(n?N,0?r?l???1)

17

uN?2?ruN?1,uN?3?ruN?2?r2uN?1,?,uN?m?rm?1uN?1,

由于

m?1?r?m?1收敛, 故收敛.

m?1??u?N?m收敛.

?级数

?un?1n(2) l?1时, 对???0, ?N?0, 当n?N时，有un?1?l??, unun?1?l???1（取?适当的小）, un?1?un,(n?N) un可见 limun?0. ?级数

n???un?1?n发散.

(2)’ l???时, ?N?0,当n?N时，或 un?1?un,

同样 limun?0. ?级数

n??un?1?1, un?un?1?n发散.

(3)l?1时, 级数

??un?1?n可能收敛也可能发散.

?11例如: 级数?发散, 而级数?2收敛.

n?1nn?1n注意到这两个级数均有l?1.

?1例如：判断级数?的敛散性.

n(n?1)n?1此题可以用部分和的极限判断；比较判别法判定；比较

的极限判定；但比值判别不能判定. 例9（1）(88.3) 讨论级数

(n?1)!的敛散性. ?n?1n?1n18

?

un?1(n?2)!nn?1解 由 lim ?lim?n??un??(n?1)n?2(n?1)!nnn?1n?2?lim()? n??n?1n?11n1?lim?()??1 知原级数收敛. n??1n?1e(1?)nn?nn（2）讨论级数?的敛散性.

n！n?1nn解 令un?

n！u1n由于 ??limn?1?lim(1?)?e?1，

n??un??nnnn故 ?发散.

n?1n！?(3) 判断级数

2nn!()的敛散性. ?nn?1n??2?解 令un?n!??，由比值判别法知

?n??2?(n?1)!?un?1n?1?????lim?limnn??un???2?nn!???n?22?lim??1 n??1e(1?)nn?2n故级数 ?n!()收敛.

nn?1(4)

n?1

?2nsinn?1??3n

19

解 该级数的一般项 un?2sinn?3n，

sin且 n??时，所以

?3～n?3，sinn?3～n＋1?3n＋1

ulimn?1?limn??un??n2n?1?sin??3n?1?2lim3n?1?2?1,

n????3n2?sinn33n?故 原级数收敛. 例10 判别级数

1)n(2)u(2n?1)n(2)解: (1) 由于??limn?1?lim?, 1n??un??(2n?1)n(2?2)nn?1?(2n?1的敛散性.

此时无法判断.

n21 (2) 但 ?lim nun?lim??，1n??n??(2n?1)n(2)4故得知级数收敛.（p?级数判别法.）

11另解 令un?，又令vn?2，因为

n(2n?1)n(2)?un1112??lim?lim?n?，且?2收敛，

n??vn??2n(2n?1)4n?1nn?1故级数?收敛.

(2n?1)n(2)n?110n例11 （1）求lim.

n??n!10n解: 令 un?，由于

n!n?1un?110n!10, ??lim?lim?n?lim??01n??un?(?n?1)!10n?n??1n2 20

10n10n?0. 所以 级数?收敛, 于是limn??n!n?1n!2n?n!?0. （2）证明 limnn??n?2n?n!2n?n!证明：设有级数?，因为 un? nnnnn?1un?12n?1?(n?1)!nn又因为 ??lim?lim?nn?1n??un??(n?1)2?n!n22?lim??1， n??1e(1?)nn?2n?n!所以 级数 ? 收敛，于是 nnn?12n?n!limun?lim?0. nn??n??n?

例12 判定下列级数的敛散性（讨论题）

xn（1）?(x?0).

nn?1?xn?1u1?xlimn?x, 解：由于??limn?1?limn?n??un??xnn??n?1nn级数当0?x?1时收敛，当x?1时发散.

2nx?ncos3.（综合题） （2）?n2n?1nxncos23?n（cos2nx?1）， 解：由于

32n2n?n而级数?n满足

n?12

21

n?1n?1un?11n?112??lim?lim?lim?，

n??un??n2n2nn??2n?n所以级数 ?n 收敛，

n?12故 有正项级数的比较判别法知原级数收敛.

【结论】对于不便用比较与比较的极限形式完成敛散性判别的级数，应考虑比值判别法，它的特点是用自身的相邻两项的后一项与前相邻一项比值极限判定.但注意极限与1比较大小.

但必须注意：比值判别法对p?级数失效.

练习：用比值判别法(达朗贝尔法则)研究下列各级数 的敛散性: (1)

1357?2?3?4?? 2222解 该级数的一般项un?limun?1n??un2n?1,因为 n2(2n?1)?2n2n?11?limn?1?lim??1, n??2?(2n?1)n??4n?22所以该级数收敛.

111???? 2 !3 !4 !1解 该级数的一般项un?,因为

n !un !1limn?1?lim?lim?0?1, n??un??(n?1)!n?? n?1n(2)1?所以原级数收敛. (3)

?(2n?1) !n?1?1

解 该级数的一般项un?

1,因为

(2n?1) !22

limun?1(2n?1) ! ?limn??un??(2n?3)! n1 ?lim?0?1, n??(2n?2)(2n?3) 原级数收敛.

2222324????? (4)

1?22?33?44?52n解 该级数的一般项un?,因为

n?(n?1)un?12n?1n?(n?1) lim?lim?nn??un??(n?1)?(n?2)2n2n?lim?2?1, n??n?2故 原级数发散.

?1n（5）比值法判定：?收敛，?n发散，

！n?1nn?132n??ncos3

?n2n?1n?2n?ncos2?ncos3：u?3?n?v）收敛. （?nn2n2n2nn?1?u1nnn（6）?：则limn?1?lim(1?)=e>1则

n??un??n！n?1nn?nn?原级数?发散.

！n?1n四、根值判别法

?1.【定理7.5】(柯西判别法)设

?un?1?n为正项级数, 若

limnun??，则

n?? 23

(1)??1时, 级数

?un?1?n收敛；

(2)??1或????时,级数(3)??1时, 级数

?un?1?n发散；

?un?1?n可能收敛也可能发散.

证明: (1) ??1时, 对?? ?N,当n?N时,有nn1???0, 2un????,

1???1) 2nun?????r,

un?rn,(n?N,r?????由于

?rn?1?n收敛, 故级数

?un?1?收敛.

(2) ??1时, 对????12?0,

?N,当n?N时,有nun????,

nun???????n????12???12?1, un?1 (n?N)

发散.

n可见 limun?0. ?级数

?un?1?n(2)’ ????时, ?N,当n?N时,或 un?1,

同样 limun?0. ?级数

n??un?1,

?un?1?n发散.

(3) ??1时, 级数

??un?1?n可能收敛也可能发散.

?11例如: 级数?发散, 而级数?2收敛.

n?1nn?1n注意到这两个级数均有??1.

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(limnn?limen??n??lnnn?limet???lntt?elntt???tlim?e1t???tlim?e0?1)

2.【结论】：对通项的指数为与n次幂相关的级数可以考虑用根植判别法.

例13 判别下列级数的敛散性

12(1?)nn （1）?3nn?11n2(1?)n， 解 令un?3n?121(1?)n(1?)nnnlimn?e?1， 因为limnun?limn??n??n??3n331n2)?(1?n所以 级数 ?收敛. n3n?1?nn（2）?()

2n?1n?1nn)，因为解 令un?(2n?1nnn1limnun?limn()?lim??1， n??n??n??2n?12n?12?nn所以 级数 ?()收敛.

n?12n?1（3） 判别级数

?(?1)nn?1?1?1?1??的敛散性. 2n?n??nn21?1?e解: 由于n|un|??1????1, 所以级数发散.

2?n?2?nan（4）判断级数?()(a?0)的敛散性.

n?1n?1

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解: limnun?limn(n??n??nanna)?lim?a，

n??n?1n?1有根值判别法知

当0?a?1时，级数收敛；当a?1时，级数发散； 当a?1时，

nannn)?lim()

n??n??n?1n??n?111?lim??0 n??1e(1?)nn?nn级数?()发散.

n?1n?1综上所述：0?a?1时原级数收敛； a?1时原级数发散. limun?lim(例14 设un?cn?vn(n?1,2,?)，并且级数

?un?1?n与

?vn?1?n都收敛，证明 级数

?cn?1?n收敛.

证明 设wn?vn?un,tn?vn?cn(n?1,2,?) 则 wn?0,tn?0， 即级数

???wn?1?n与

?tn?1?n都是正项级数. 都收敛，所以级数

因为级数

?un?1n与

?vn?1n?wn?1?n收敛，

而由un?cn?vn(n?1,2,?)知tn?wn，所以 由正项级数比较判别法知级数

?tn?1n?n也收敛；而

?c??v??tnnn?1n?1n?1???n，且

?vn?1?收敛，

故 级数

?cn?1?n收敛.

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小结：

1．利用比较判别法时，注意运用常见不等式的放缩，用

??11n调和级数?、几何级数?aq、P?级数?p进

n?1n?1nn?1n?行判断.

2．利用比较的极限形式判别时注意运用等价无穷小进行转化.

3.对通项的指数为与n相关的放幂的级数可以考虑用根 值判别法与比值判别法.用比值判别法的特点是用自身 的相邻两项比值极限判定. 用根值判别法时注意通项开 方，但注意极限值与1比较大小.

课后记：存在问题：定理不熟悉，常用结论不熟悉，不

知从何下手去证明.

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