2010届高三数学高考模拟练习试卷及答案2

2010届东海高级中学高三迎市调研数学模拟试题

（二）

注意事项：

1．本试卷分填空题和解答题两部分，共160分．考试用时120分钟．

2．答题时，填空题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内，答案写在．．．．

试卷上无效．本卷考试结束后，上交答题纸． ．．．．．

一、填空题：本大题共14题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题纸相应位置上．

i

(i是虚数单位）对应的点位于第 象限. 1 i

0

2、已知向量a和向量b的夹角为30

，|a| 2,|b| ，则向量a和向量b的数量积

a b 3、设Sn是等差数列 an 的前n项和，已知a2 3,a6 11，则S7 1、在复平面上，复数z

2x y 4

4、设x,y满足 x y 1，则z x y的最小值为 .

x 2y 2

5、四边形ABCD为长方形，AB 2,BC 1,O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到点O的距离大于1的概率为 .

6、某校甲、乙两班级各有编号为1,2,3,4,5的篮球运动员进行投篮练习，每人各投10次，

2

则以上两组数据的方差较小的一个为S .

4

,0)中心对称，那么| |的最小值为 . 3

x 0 log4(4 x),

8、定义在R上的函数f(x)满足f(x

) ，若f(3) log2m，

f(x 1) f(x 2),x 0

7、如果函数y cos(2x )的图象关于点(

则m .

2

AF9、设斜率为2的直线l过抛物线y ax（a 0）的焦点F，且和y轴交于点A，若 O（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线的方程为 .

10、有下面算法：

则运行后输出的结果是 .

11、对于四面体ABCD，下列命题正确的是.

①相对棱AB与CD所在直线是异面直线；②若AB CD,BC AD，则AC BD；③分别作三组对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点.

x

12、用min a,b,c 表示a,b,c三个数中的最小值。设函数f(x) min2,x 2,10 x，

则函数f(x)的值域为 .

13、若关于x的不等式ax2≥(3x 2)2的解集中的整数恰有2个，则实数a的取值范围为 2

14、若存在过点(1,0)的直线与曲线y x3和y ax

15

x 9都相切，则a的值等于. 4

二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请给出必要的文字说明与解答过程; 请把答案

填写在答题纸相应位置上．） 15、（本题满分14分）

2

已知函数f(x) 2sinx cos

2

cosx sin sinx（0 ）在x 处取最小

值.

(1) 求 的值；

(2) 在 ABC中，a,b,c分别为角A,B,C

的对边，已知a 1,b

f(A)

角C.

16、（本题满分14分）

如图，在四棱锥P ABCD中，PD 面ABCD,AD CD,DB平分 ADC,E为PC的中点. P

(1) 证明：PA∥面BDE； (2) 证明：面PAC 面PDB. B

C

17、（本题满分14分）

在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1:(x 3)2 y2 4和圆

C2:(x 4)2 (y 4)2 4.

(1) 若直线l过点A(4, 1)，且被圆C

1截得的弦长为l的方程； (2) 是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由. 18、（本题满分16分）

用水清洗一堆盘子上残留的洗洁净，对用一定量的水清洗一次的效果作如下假定：用1个单位的水可洗掉盘子残留洗洁净的

1

，用水越多洗掉的洗洁净也越多，但总还有洗洁净2

残留在盘子上，设用x单位量的水清洗一次以后，盘子上残留的洗洁净与本次清洗前残留的洗洁净量之比为函数f(x).

(1) 试规定f(0)的值，并解释其实际意义；

(2) 试根据假定写出函数f(x)应该满足的条件和具有的性质；

(3) 设f(x)

1

，现有a(a 0)单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成1 x2

2份后清洗2次，试问用哪种方案清洗后盘子上残留洗洁净量比较少？请说明理由.

19、（本题满分16分）

2

已知a1 9，点(an,an 1)在函数f(x) x 设, 2x的图象上，其中n 1,2,3,

bn lg(1 an).

(1) 证明数列 bn 是等比数列；

(2) 设Cn nbn 1，求数列 Cn 的前n项和； (3) 设dn

1122

，求数列 dn 的前n项和Dn，并证明Dn .

anan 2an 19

20、（本题满分16分）

定义y log1 xf(x,y),x 0,y 0

(1) 比较f(1,3)与f(2,2)的大小；

(2) 若e x y，证明：f(x 1,y) f(y 1,x)；

(3) 设g(x) f(1,log2(x3 ax2 bx 1))的图象为曲线C，曲线C在x0处的切线斜率为k，若x0 (1,1 a)，且存在实数b，使得k 4，求实数a的取值范围.

2010届高三年级数学试题参考答案

一、填空题：

1、二

7、

2、3

3、49

4、2

5、1

4

6、

2 5

1 8、 9、y2 8x 10、21

23

4925

13、4≤a 14、 1或

964

15、(1) f(x) 2sinx

11、①③④⑤ 12、( ,6]

二、解答题：

1 cos

cosx sin sinx sin(x ) 2

∵ 当x 时，f(x)取得最小值 ∴ sin( ) 1 即sin 1

又∵ 0 ， ∴

2

(2) 由(1)知f(x) cosx

A为 ABC的内角 ∴ A

6 3 bsinA由正弦定理得sinB 知B 或B

44a2

7 当B 时，C A B ，

4123 当B 时，C A B

412

7

综上所述，C 或C

1212

16、证明：(1)连结AC，交BD于O，连结OE

∵DB平分 ADC,AD CD ∴AC BD且OC OA

又∵E为PC的中点 ∴OE∥PA

又∵OE 面BDE,PA 面BDE ∴PA∥面BDE (2) 由(1)知AC DB

∵PD 面ABCD,AC 面ABCD ∴AC PD

D∵PD 面PDB,BD 面PDB PD DB ∴AC 面PDB

又AC 面PAC ∴面PAC 面PDB.

17、解：(1)由于直线x 4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在.

∵

f(A) cosA

设直线l的方程为y k(x 4) 1，圆C1的圆心到l的距离为d，所以d 1.

由点到直线l

的距离公式得d 所以k 0或k

，从而k(24k 7) 0

7

，所以直线l的方程为y 1或7x 24y 4 0. 24

(2)假设存在，设点P的坐标为P(a,b),l的方程为y b k(x a)，因为圆C1和圆

C2的半径相等，被l截得的弦长也相等，所以点C1和圆C2的半径相等，被l的距

(14a 7)k2 (8a 14b 32)k 8b 16 0，因为k的个数有无数多个，所以

14a 7 0

8a 14b 32 0 解得 8b 16 0

1 a

2 b 2

1

2

综上所述，存在满足条件的定点P，且点P的坐标为P(,2).

注：用平面几何知识可能更简单.

18、解：(1)f(0) 1，表示没有用水洗时，盘子上洗洁净的量将保持原样. (2)函数f(x)应该满足的条件和具有的性质是：

1

在[0, )上f(x)单调递减，且0 f(x)≤1. 2

1

(3)设仅清洗一次，残留在洗洁净量为f1 ，清洗两次后，残留的洗洁净量2

1 a

f(0) 1,f(1)

1 a2(a2 8)16

2为 f2 ，则f1 f2 2 于是，

当2222 1 ()(a 4)(a 1)(a 4)

2

a

a 具有相同的效果；

当0 a . 2

19、(1) 证明：由题意知：an 1 an 2an ∴an 1 1 (an 1)2

∵a1 9 ∴an 1 0 ∴lg(an 1 1) lg(an 1)2即bn 1 2bn， 又∵b1 lg(1 a1) 1 0 ∴ bn 是公比为2的等比数列；

(2) 由(1)知：bn b1 2n 1 2n 1 ∴Cn n 2n 1，设 Cn 的前n项和为Sn. ∴Sn C1 C2 C3 Cn 1 20 2 21 3 22 n 2n 1 ∴2Sn 1 21 2 22 3 23 (n 1) 2n 1 n 2n

1 2n

n 2n 2n 1 n 2n ∴ Sn 1 2 2 2 2 n 2

1 2

nn

∴Sn n 2n 2n 1 即 Cn 的前n项和为n 2 2 1.

1

2

n 1

n

2

(3) ∵an 1 an 2an an(an 2) 0 ∴

1111

( ) an 12anan 2

11211211∴ ∴dn 2( ) an 2anan 1ananan 1anan 1

11111111

∴Dn d1 d2 dn 2( ) 2( )

a1a2a2a3anan 1anan 1

又由(1)知：lg(1 an) 2n 1 ∴ an 1 102∴Dn 2(

n 1

∴ an 1 102 1

n

1111222

)又由知D 2( )D . nn2n

910 1anan 1an 1a19

20、解：(1) 由定义知f(x,y) (1 x)y(x 0,y 0)

∴f(1,3) (1 1)3 8,f(2,2)2 9 ∴f(1,3) f(2,2).

(2) f(x 1,y) xy,f(y 1,x) yx

要证f(x 1,y) f(y 1,x)，只要证 xy yx

lnxlny

xy

lnx1 lnx

令h(x) ，则h (x) ，当x e时，h (x) 0

xx2

∴h(x)在(e, )上单调递减.

lnxlny

∵e x y ∴h(x) h(y)即

xy

∴不等式f(x 1,y) f(y 1,x)成立.

(3) 由题意知：g(x) x3 ax2 bx 1，且g (x0) k

∵x y ylnx xlny

y

x

2

于是有3x0 2ax0 b 4在x0 (1,1 a)上有解.

3232又由定义知log2(x0 ax0 bx0 1) 0 即 x0 ax0 bx0 0 2∵x0 1 ∴ x0 ax0 b

222∴x0 ax0 3x0 2ax0 4 即 ax0 2(x0 2)

∴ a 2(x0 设V(x0) x0 ①当1 a

2

)在x0 (1,1 a)有解. x0

2

,x0 (1,1 a)

x0

a 1V(x0) x0

2

≥

x0

当且仅当x0

V(x)min

2

)max

∴a x0

2

②当1 1

a

1≤a 0时，V(x0) x0 在x0 (1,1 a)上递减，∴

x0

222

]整理得：a2 3a 6 0，无解. . ∴a 2[(1 a) x0 1 a

1 ax01 a

∴当x0

2(x0

综上所述，实数a

的取值范围为( , .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mba1.html