数学基础知识与典型例题第一章集合与简易逻辑 - 图文

数学基础知识与典型例题 第一章集合与简易逻辑 集1.元素与集合的关系: 例1 下列关系式中正确的是（ ） 合 用?或?表示； 2.集合中元素具有 (A)????? (B)0???? 确定性、无序性、互异性. (C)0???? (D)0???? 3.集合的分类： ①按元素个数分：有限集，无限集；例2 ??x?y?3②按元素特征分；数集，点集。如2x?3y?1解集为______. ?数集{y|y=x2},表示非负实数集，点例3设A???4,2a?1,a2?,B??9,a?5,1?a?, 集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； 已知AB??9?,求实数a的值. 4.集合的表示法： ①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}； ②描述法 ③字母表示法:常用数集的符号：自然数集N；正整数集N*或N?；整数集Z；有理数集Q、实数集R; 子集合与集合的关系:用?，?集 ?，=例4设M??xx2?x?2?0,x?R?，a=lg(lg10)， 表示;A是B的子集记为A?B；A是B的真子集记为A?则{a}与M的关系是( ) ?B。 ①任何一个集合是它本身的子集，(A){a}=M (B)Mü{a} (C){a}YM (D)M?{a} 记为A?A；②空集是任何集合例5集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3n+1， 的子集，记为??A；空集是任n∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是( ) 何非空集合的真子集； (A)SüBüA (B)S=BüA ③如果A?B，同时B?A，那(C)SüB=A (D)SYB=A 么A = B；如果A?B，B?C， 例6用适当的符号(?、?、=、茌、)填空： 那么A?C.④n个元素的子集有①π___Q;②{3.14}____Q;③R?∪R+_____R; 2n个；n个元素的真子集有2n －1④{x|x=2k+1, k∈Z}___{x|x=2k－1, k∈Z}。 个；n个元素的非空真子集有2n例7已知全集U＝｛2，4，1－a｝，A＝｛2，a2－a＋2｝－2个. 如果eUA???1?，那么a的值为____. 交1.交集A∩B={x|x∈A且x∈B}; 例8设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z， 、并集A∪B={x|x∈A，或x∈B}; 且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是( ) 并补集CUA=｛x|x∈U，且x?A｝， (A)11 (B)1 (C)16 (D)15 、集合U表示全集. 补 2.集合运算中常用结论: 例9已知A={m|m?4x?3①A?B?AB?A; 2?Z}，B={x|2?N}， 则A∩B=__________。 A?B?AB?B 例10已知集合M={y|y=x2+1，x∈R}，N={y|y=x+1， ②痧U(AB)?(UA)(?UB); x∈R}，求M∩N。 痧 U(AB)?(UA)(?UB) ③card(AB)?card(A)? card(B)?card(AB) 交 例11若A ={(x，y)| y =x+1},B={y|y =x2+1}, 、 则A∩B =_____. 并例12设全集U?R,A?{xx≤6}， 、补 则A(eUA)?_____,A(eUA)?_____. 例13设全集 U = {1，2，3，4，5，6，7，8}， A = {3，4，5} B = {4，7，8}, 求：（CU A）∩(CU B), (CU A)∪(CU B), CU(A∪B), CU (A∩B). 不1.绝对值不等式的解法： 等x?a(a?0)的解集是?x?a?x?a,a?0式 ?; x?a(a?0)的解集是?xx?a或x??a,a?0? ⑴公式法:f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x),f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x). (2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方 2、一元二次不等式ax2?bx?c?0(a?0)或 ax2?bx?c?0(a.?0)的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。 ??0 ??0 ??0 二次函数 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c（a?0）的图象 一元二次方 程 有两相异实根有两相等实根ax2?bx?c?0 x1,x2(x1?x2) x?xb无实根 12???a?0?的根 2a ax2?bx?c?0 (a?0)的解集?xx?x?1或x?x2? ??xx??b?2a? ? R ax2?bx?c?0 (a?0)的解集?xx1?x?x2? ? ? 注:分式、高次不等式的解法：标根法 不等14.不等式x2?ax?b?0的解集是?x2?x?3?,则a?____,b?____. 式 15.分式不等式x?3x?7?0的解集为：___________________. 16.求使3?x有意义的取值范围. 2x?1?4 不17.解不等式：|4x-3|>2x+1. 等 式 18.解不等式：|x-3|-|x+1|<1. 19.解不等式：2?4xx2?3x?2≥x?1. 20.已知方程2(k+1)x2+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围. 命1.命题分类：真命题与假命题，简例21写出命题：“若 x + y = 5则 x = 3且 y = 2”的逆题 单命题与复合命题； 命题否命题逆否命题，并判断它们的真假。 2.复合命题的形式： p且q，p或q，非p； (“或”、“且”、“非”这些词叫做 逻辑联结词；不含有逻辑联结词的例22:“若a?b?5，则a?2或b?3” 是____命题.(填命题是简单命题；由简单命题和逻真、假) 辑联结词“或”、“且”、 例23命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆“非”构成的命题是复合命题。) 否命题为____________。 ①“p且q”形式复合命题当P与例24：用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证q同为真时为真，其他情况时为假x、y中至少有一个不小于1。 即当q、p为真时，p且q为真； 当p、q中有一个为假时，p且q 为假。 ②“p或q”形式复合命题当p与 q同为假时为假，其他情况时为真 即当p、q均为假时，p或q为假； 当p、q中有一个为真时，p或q 为真； ③“非p”形式复合命题的真假与 p的真假相反即当p为真时，非p 为假；当p为假时，非p为真。 命3.四种命题：记“若q则p”为原命例25已知c?0.设P：函数x题 题，则否命题为“若非p则非q”，y?c在R上单调递减.Q：逆命题为“若q则p“，逆否命题为”不等式x?|x?2c|?1的 解集为R，如果P和Q有且若非q则非p“。其中互为逆否的仅有一个正确，求c的取值范围. 两个命题同真假，即?。 ①一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. （否命题?逆命题.）②一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.（ 原命题?逆否命题.） 4.反证法是中学数学的重要方法。会用反证法证明一些代数命题。 充充分条件与必要条件 分1.定义：①当“若p则q”是真命题例26:x?5____x?5或x?2.(填?,?,?) 条时，p是q的充分条件，q是p的例27:条件甲:x?1且y?2;条件乙:x?y?3, 则乙件必要条件;②当“若p则q”的逆命题是甲的_____条件. 与为真时，q是p的充分条件，p是例28“α≠β”是cosα≠cosβ”的( ) 必q的必要条件;③当“若p则q”, “若(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 要q则p”均为真时，称p是q的充要(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 条条件； 例29 已知p：方程x2+ax+b=0有且仅有整数解，q：a，件 2.在判断充分条件及必要条件时，b是整数，则p是q的( ) 首先要分清哪个命题是条件，哪个(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 命题是结论，其次，结论要分四种(C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件 情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则①当A?B时，p是q的充分条件;②B?A时，p是q的充分条件;③A=B时，p是q的充要条件； 注：⑴当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。 ⑵小范围推出大范围；大范围推不出小范围. 答案见下一页

数学基础知识与典型例题(第一章集合与简易逻辑)答案

例1选A;

例2填{(2，1)} 注:方程组解的集合应是点集.

例3解:∵AB??9?,∴9?A.⑴若2a?1?9,则a?5,此时A???4,9,25?,B??9,0,?4?,

AB??9,?4?,与已知矛盾,舍去.⑵若a2?9,则a??3①当a?3时,A???4,5,9?,B???2,?2,9?.B中有两个元素均为?2,与集合中元素的互异性矛盾,应舍去.②当a??3时,A???4,?7,9?,B??9,?8,4?,符合题意.综上所述,a??3.

[点评]本题考查集合元素基本特征──确定性、互异性、无序性，切入点是分类讨论思想，由于集合中元素用字母表示，检验必不可少。

例4C 例5C 例6①?,②ü,③ü,④

例7填2 例8C 例9?

例10解：∵M={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x+1，x∈R}={y|y∈R}∴ M∩N=M={y|y≥1} 注：在集合运算之前，首先要识别集合，即认清集合中元素的特征。M、N均为数集，不能误认为是点集，从而解方程组。其次要化简集合。实际上，从函数角度看，本题中的M，N分别是二次函数和一次函数的值域。一般地，集合{y|y=f(x)，x∈A}应看成是函数y=f(x)的值域，通过求函数值域化简集合。此集合与集合{（x，y）|y=x2+1，x∈R}是有本质差异的，后者是点集，表示抛物线y=x2+1上的所有点，属于图形范畴。集合中元素特征与代表元素的字母无关，例如{y|y≥1}={x|x≥1}。

例11填?注：点集与数集的交集是?.

例12埴?,R

例13解：∵CU A = {1，2，6，7，8} ,CU B = {1，2，3，5，6},

∴(CU A)∩(CU B) = {1，2，6} ,(CU A)∪(CU B) = {1，2，3，5，6，7，8},

? A∪B = {3,4,5,7,8},A∩B = {4},∴ CU (A∪B) = {1,2,6} ,CU (A∩B) = {1,2,3,5,6,7,8} 例14a?5,b??6;

例15原不等式的解集是?x|?7?x?3? 例16 ??x?R|?3≤x??53?或2?x≤3?2?? 例17分析：关键是去掉绝对值.方法1：原不等式等价于??4x?3≥0或?4x?3?0?(4x?3)?2x?1,即?4x?3?2x?1????3??x≥34或??x?411??，∴x>2或x<，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<}.方法2：(整体换元转化?x?2???x?1333法)分析：把右边看成常数c，就同ax?b?c(c?0)一样∵|4x-3|>2x+1?4x-3>2x+1或4x-3<-(2x+1) ? x>2 或x<

13，∴原不等式的解集为{x| x>2或x<13}. 例18分析：关键是去掉绝对值.

方法1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）

①当x??1时，x?3?0,x?1?0∴?(x?3)?(x?1)?1∴4<1?x??

②当?1≤x?3时∴?(x?3)?(x?1)?1?x?12，∴{x|12?x?3} ③当x≥3时∴(x?3)?(x?1)?1?-4<1?x?R∴{x|x≥3}

综上,原不等式的解集为{x|x?12}

也可以这样写：

解：原不等式等价于①??x??1或②???(x?3)?(x?1)???1?x?3或 ③???(x?3)?(x?1)?1?x?3，解①的1?(x?3)?(x?1)?1解集为φ，②的解集为{x|

1212}. 方法2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x-3|-|x+1|<1表示数轴上到3和-1两点的距离之差小于1的点-1O123x1∴原不等式的解集为{x|x>

2}. 例19答：{x|x≤0或1

?k?1?0?2(k?1)?0?例20解：要原方程有两个负实根，必须:?k2?k?2?0???k??1???0???4k???2?k?1. ?x1?x2?0???0??k?0或k??1??x1x2?0?2(k?1)???3k?2?k?2或k??1?2(k?1)?0??3??2?k??1或23?k?1∴实数k的取值范围是{k|-2

否命题：若 x + y ? 5 则 x ? 3且y?2（真） 逆否命题：若 x ? 3 或y?2 则 x + y ?5（假）

例22答:真 解：逆否：a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. 例23答:若a、b都不为0，则ab≠0

例24解：假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾, ∴ 假设不成立∴ x、y中至少有一个不小于1

[注]反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。

例25解：函数y?cx在R上单调递减?0?c?1.

不等式x?|x?2c|?1的解集为R?函数y?x?|x?2c|在R上恒大于1. x?|x?2c|???2x?2c,x≥2c,?2c,x?2c,?函数y?x?|x?2c|在R上的最小值为2c.?不等式|x?x?2c|?1的解集为R?2c?1?c?12.如果P正确,且Q不正确,

则0?c≤12.如果P不正确,且Q正确,则c?1.所以c的取值范围为(0,12]?[1,??).例26答：x?5?x?5或x?2.

例27答既不充分也不必要

解:∵“若 x + y =3,则x = 1或y = 2”是假命题,其逆命题也不成立. ∴逆否命题: “若x?1或y?2,则x?y?3”是假命题, 否命题也不成立.

故x?y?3是x?1或y?2的既不充分也不必要条件.

例28选B 例29选A

1、当别人说你“有缺陷”时，你就“疯狂地战胜它”吧！

疯狂就是：

“Practice while others are complaining. 当别人抱怨时――你练习。

Believe while others are doubting. 当别人疑惑时――你坚信。”

从一个人的“反弹爆发力”上，我最佩服乒乓球双料冠军邓亚萍。

她因为身高只有1米5，曾经被省队和国家队都拒绝过，她父亲就对她说：“你个子矮，就必须把球打得快，这样才有进攻性；你个子矮，别人跑一步，你就要跑两步，所以你一定要跑得快。”

因为她要克服个子矮的弱点，所以在训练时，她比任何人都要付出多两倍的努力，每天要换几次衣服，晚上趁别人睡下时，还要再悄悄躲进训练房苦练到晕倒为止。 邓亚萍说：“我打球打赢了还不一定能进国家队，更别说输了。所以我打球很凶狠，那是逼出来的。”

假如你感觉自己有某方面缺陷弱点时，你就疯狂地战胜它吧，像邓亚萍一样，当别人休息时――你练习；当别人疑惑时――你坚信；当别人放弃时――你坚持……苦练短处，把短处变得更快、把短处变得更狠，从而把短处变成长处！ 邓亚萍说：“我不比别人聪明，但我能管住自己。我从小就形成了一旦设定目标，就绝不轻易放弃的习惯。也许，这就是我能赢得成功的原因。” 当你看到这里时，也请怒吼一声：“我要管住自己的软弱！一旦设定目标――就绝不放弃！（Never Give Up）”

成功就是坚持！

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