2013高等数学下试题及参考答案

☆ 注意事项： 1、本考卷满分共：100分；考试时间：90分钟。

2、所有试题必须答到试卷答题纸上，答到试卷上无效。

3、考试结束后，考生须将试卷和试卷答题纸一并交回。

装

姓名____________ 学号____________

订一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

1．设有向量a?(?1,2,2)，b?(2,?1,2)，则数量积

(a?b)?(a?b) 。

线2.曲面z?x2?xy?y2在点M(1,1,3)处的切平面方程是 。 3．设u?x2?y2?z2，则gradu(1,1,1)? 。 4．幂级数?()n的收敛半径R? 。3

n?0? x35．微分方程y???4y??3y?0的通解是 。（今年不作要求） 得分

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．已知A(1,1,1)，B(2,2,1)，C(2,1,2)，则AB与AC的夹角?是（B ） A． B． C． D．

?4?3?6?22．函数z?xy2在点(1,2)处的全微分是 （ D ） A．8 B．4dx?dy C．y2dx?2xydy D．4(dx?dy) 3．设L为圆周x2?y2?a2，取逆时针方向，则?L2x2ydx?x(x2?y2)dy?1

（ B ）

A．?a2 B．a4 C． D．0 4．下列级数中收敛的是 （ C ） A．?n?1????1111 B． C． D． ???nn44nn?1n?14n?14n?2?25．微分方程y??eA．y?e1?x21?x2的通解是 （ C ）

1x2?C B．y?e?C ?C D．y?Ce1?x2C．y??2e 得分 1?x2

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设s???xf?x2,,xyz?，且fy??具有一阶连续偏导数，求?s，?s，?s.

?x?y?z2. 设由方程x2?y2?z2?4z?0确定隐函数z?z(x,y)，求全微分dz。 3．计算??x2yd?，其中D是由直线x?2，y?x及曲线y?所围成的

D1

x

区域。

4.计算???zdxdydz，其中?是由曲面z?x2?y2与平面z?4所围成的闭区

?域。（今年不作要求）

5. 计算?L(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是y?x2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧。

5n?n!6．判定级数?n的收敛性。

nn?1? 2

装1.5CM 订线

7．试用间接法将函数ln(5?x)展开成x的幂级数，并确定展开式成立的区间。 得分

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．从斜边之长为l的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。

2．计算I???2(1?x2d)yd?z8xyd?z4dx，x其z中dx?dy是由曲线

?x?ey(0?y?绕a)x轴旋转而成的曲面，取左侧。

（今年不作要求）

3．设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有

??xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0，

S其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数，且xlim?0?f(x)?1，求

f(x)。（今年不作要求）

华南农业大学期末考试试卷（A卷）

2011~2012学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ参考答案

一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．0 2．3x?3y?z?3?0 3．??111?1?3,3,3??或者3i?13j?13k 4．3 5．y?Cx1e?C2e3x

二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

3

1．B 2．D 3．B 4．C 5．C

三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.设s???xf?x2,,xyz?，且fy??y具有一阶连续偏导数，求?s，?s，?s。

?x?y?z解：令u?x2，v?x，w?xyz, 则………………1分

?s?s?u?s?v?s?w1?………………3????2xfu??fv??yzfw?x?u?x?v?x?w?xy?s?s?v?s?wx?………………5分 ????2fv??xzfw?y?v?y?w?yy分

?s?s?w?………………7??xyfw?z?w?z分

2. 设由方程x2?y2?z2?4z?0确定隐函数z?z(x,y)，求全微分dz。 解：令F?x2?y2?z2?4z

F?zx………………3分 ??x???xFzz?2Fy?zy ????………………6分

?yFzz?2dz??(xydx?dy)………………7分 z?2z?21

x

3．计算二重积分??x2yd?，其中D是由直线x?2，y?x及曲线y?

D所围成的区域。

解：原式??dx?1x2ydy………………4分

1x2x ??1 ?2x31(?)dx………………6分 2211………………7分 8?4.计算???zdxdydz，其中?是由曲面z?x2?y2与平面z?4所围成的闭区域。

解1：把闭区域?投影到xOy面上，得半径为2的圆形闭区域

4

装订线

Dxy?{(?,?)|0???2,0???2π}.………………1

分

在Dxy内任取一点(?,?)，过该点作平行于z轴的直线，此直线通过曲面z?x2?y2穿入?内，然后通过平面z?4穿出?外．因此闭区域?可用不等式

?2?z?4,0???2,0???2π………………3

分

来表示．于是???zdxdydz????z?d?d?dz??2π2?4??0d??0?d??2zdz………………5分

2?12?2π0d??20?(16??4)d??1?1?642?2π??8?2?6?6???π.………………703分

解2：可用先一后二，或者先二后一也可。

5. 计算曲线积分?L(x?y)dx?(y?x)dy，其中L是抛物线y2?x上从点

(0,0)到点(1,1)的一段弧。

解：原式??10(x?x)dx?(x?x)12xdx………………5分

?1?2?11232?3………………6分

?43………………7分

6．判定级数??5n?n!n的收敛性。

n?1n解：limun?1n?15?(n?1)!nnn??u?limnn??(n?1)n?1?5n?n!………………4分 ?lim5(nnn??n?1)………………5分 ?5e?1………………6分 ?原级数发散。………………7分

7．试用间接法将函数ln(5?x)展开成x的幂级数，并确定展开式成立的区间。

解：ln(5?x)?ln[5(1?x5)]………………1分 ?ln5?ln(1?x5)………………3分

5

xn?1 ?ln5??(?1)………………6分 n?1(n?1)5n?0?n ?1??1，即?5?x?5………………7分

四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．从斜边之长为l的一切直角三角形中求有最大周长的直角三角形。 解：作L?l?x?y??(x2?y2?l2)………………1分

??L??x?1?2?x?0???L??1?2?y?0………………5分 ??y?x2?y2?l2??x5 得x?y………………6分 得x?y?l（唯一）………………7分 222．计算I???2(1?x?其中d)yd?z8xyd?z4dx，xzdx?dy是由曲线

yx?e(0?y?绕a)x轴旋转而成的曲面，取左侧。

解：作平面x?ea，取右侧，与曲面?围成闭区域?。………………2分

由高斯公式可得I? 所以I??2y2?z2?a2??2(1?e2a)dydz????0dV………………5分

?y?z2?a2??2(1?e2a)dydz?2?a2(e2a?1)………………7分

3．设对于半空间x?0内任意的光滑有向封闭曲面S，都有

2xxf(x)dydz?xyf(x)dzdx?ezdxdy?0， ??S其中函数f(x)在(0,??)内具有连续的一阶导数，且limf(x)?1，求

x?0?f(x)。

6

装订线

解：由题设和高斯公式可得

0???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?????(xf'(x)?f(x)?xf(x)?e2x)dV

SV…

………2分

由S的任意性知xf'(x)?f(x)?xf(x)?e2x?0,x?0

即f'(x)?(1?1)f(x)?1xxe2x,x?0………………3分

解之得：f(x)?exx(ex?C)………………5分

由于xlim?0limexx?f(x)?x?0?x(e?C)?1，故必有xlim?0?(e2x?Cex)?0…………6

分

所以C??1，于是f(x)?exxx(e?1)………………7分

7

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