2012-2013高中数学 3-5-4第4课时 简单的线性规划习题课同步检测 新人教B版必修5

3.5 第4课时 简单的线性规划习题课基础巩固

一、选择题

1．(x－2y＋1)(x＋y－3)<0表示的平面区域为( )

[答案] C

[解析] 将点(0,0)代入不等式，符合题意，否定A、B，代入(0,4)点，符合题意，舍去D，故选C.

x－y≥0??2x＋y≤2

2．若不等式组?y≥0

??x＋y≤a( )

4

A．a≥

34

C．1≤a≤ 3[答案] D

，表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是

B．0

D．0

3

[解析] 由图形知，要使平面区域为三角形，只需直线l：x＋y＝a在l1、l2之间或在

l3上方．

1

3．在坐标平面上，不等式组?

??

y≥x－1，??y≤－3|x|＋1

所表示的平面区域的面积为( A.2 B.32 C.

322

D．2

[答案] B

[解析] 不等式组???

y≥x－1

?y≤－3|x|＋1的图形如图．

?

解得：A(0,1) D(－1,0) B(－1，－2)C(11

2，－2) ∴S111

△ABC＝2×|AD|×|xC－xB|＝2×2×(2＋1)

＝3

2

，故选B. ?x－y＋2≤04．已知变量x、y满足约束条件?

?x≥1

??x＋y－7≤0

，则yx的取值范围是( )

A.?9

?，6? B.?9

5?

?－∞，?5?

∪[6，＋∞) )

2

C．[3,6] D．(－∞，3]∪[6，＋∞)

[答案] A

[解析] 由约束条件画出可行域如图，yx可看作是点(x，y)与原点连线的斜率，

所以yx∈[k9

OC，kOA]＝??5，6??

.

?5．若变量x，y满足?2x＋y≤40

?x＋2y≤50

??x≥0

y≥0

，则z＝3x＋2y的最大值是( )

A．90 B．80 C．70 D．40

[答案] C

?2x＋y≤40

[解析] 由??x＋2y≤50

?x≥0

?y≥0

得可行域如图所示．

将l0：3x＋2y＝0在可行域内平行移动，移动到B点可得z＝3x＋2y的最大值． 由?

??x＋2y＝50?B点坐标为(10,20)，

?2x＋y＝40

，得∴zmax＝3×10＋2×20＝70，故选C.

3

y＋x－1≤0，??

6．已知变量x、y满足约束条件?y－3x－1≤0，

则z＝2x＋y的最大值为( )

??y－x＋1≥0，

A．4 B．2 C．1 D．－4

[答案] B

[解析] 作出如图可行域．

根据图形知在点B处取得最大值．

zmax＝2×1＋0＝2.

二、填空题

?x＋y≥2，7．若实数x，y满足不等式组?

?2x－y≤4，

??x－y≥0.

则2x＋3y的最小值是________．

[答案] 4

[解析] 画出可行域如图所示(图中阴影部分)：

4

当直线l0平移到过A(2,0)点时，2x＋3y取最小值． (2x＋3y)min＝2×2＋0＝4.

8．由直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0和2x＋y＋1＝0围成的三角形区域(包括边界)用不等式可表示为______．

?[答案] ?

x＋y＋2≥0?x＋2y＋1≤0

??2x＋y＋1≤0

[解析] ∵三角形区域在直线x＋y＋2＝0的右上方， 又原点在直线x＋y＋2＝0的右上方，且0＋0＋2>0， ∴三角形区域在x＋y＋2≥0的区域，

同理可确定三角形区域在x＋2y＋1≤0和2x＋y＋1≤0的区域内． 故该平面区域用不等式表示为

?

?

x＋y＋2≥0?x＋2y＋1≤0??2x＋y＋1≤0

.

三、解答题

?

x9．已知?

－y＋2≥0?x＋y－4≥0

??2x－y－5≤0

，求：(1)z＝x＋2y－4的最大值； (2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值．

[解析] 作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)、B(3,1)、C(7,9)．

5

(1)易知可行域内各点均在直线x＋2y－4＝0的上方， 故x＋2y－4>0，将C(7,9)代入z得最大值为21.

(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过M作直9

线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值为|MN|2＝.

2

能力提升

一、选择题

?x≥0?

1．不等式组?x＋3y≥4

??3x＋y≤4

所表示的平面区域的面积等于( )

3243

A. B. C. D. 2334[答案] C

[解析] 不等式组表示的平面区域如图所示，

??x＋3y＝4由?

?3x＋y＝4?

，得点A坐标为(1,1)．

?4?又B、C两点坐标分别为(0,4)、0，，

?3?

1?4?4

∴S△ABC＝×4－×1＝.

2?3?3

6

x－y≥－1??

2．设变量x、y满足约束条件?x＋y≥1

??3x－y≤3

A．4 C．12 [答案] B

，则目标函数z＝4x＋y的最大值为( )

B．11 D．14

[解析] 画出可行域可知目标函数最优解为A(2,3)， 所以ymax＝4×2＋3＝11.

二、填空题

x－y＋3≥0??

3．设变量x、y满足约束条件?x＋y≥0

??－2≤x≤3

3

[答案] －

2

，则目标函数2x＋y的最小值为________．

333

[解析] 设z＝2x＋y，画出可行域如图，最优解为M?－，?，zmin＝－. ?22?2

7

x＋y≤5，??2x＋y≤6，

4．图中阴影部分的点满足不等式组?x≥0，

??y≥0，

6x＋8y取得最大值的点的坐标是________．

在这些点中，使目标函数k＝

[答案] (0,5)

3k3

[解析] ∵直线k＝6x＋8y即y＝－x＋的斜率k1＝－＞－1.故经过点(0,5)时．直

484线的纵截距最大．从而k最大．

8

三、解答题

5．已知f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围． [分析] 这是一个不等式问题，似乎与二元一次不等式表示的平面区域无关，但仔细分析后可发现，本题的实质是：

??－4≤a－c≤－1，已知实数a、c满足不等式组?

?－1≤4a－c≤5?

k

.

求9a－c的最值，此即线性规划问题，因此可以用线性规划的方法求解．

??－4≤a－c≤－1，

[解析] 由已知得?

?－1≤4a－c≤5.?

a－c≥－4，

??a－c≤－1，即?4a－c≥－1，??4a－c≤5；

目标函数f(3)＝9a－c.令z＝9a－c 作出可行域，如图

8

由图可知，目标函数z＝9a－c分别在点A、B处取得最值．

??4a－c＝－1，由?

?a－c＝－1，???a－c＝－4，由?

?4a－c＝5，?

得A(0,1)．

得B(3,7)．

将两组解分别代入z＝9a－c中得z的两个最值分别为－1和20.∴－1≤z≤20， ∴f(3)的取值范围为[－1,20]．

6．关于x的方程x2＋ax＋2b＝0的两根分别在区间(0,1)与(1,2)内，求围．

[解析]

b－2

的取值范a－1

b－2

可以转化为点(a，b)与M(1,2)连线的斜率．由题知x2＋ax＋2b＝0两根在(0,1)与a－1

(1,2)内，

b>0??2

可令f(x)＝x＋ax＋2b.必满足f(0)>0，f(1)<0，f(2)>0，即?1＋a＋2b<0

??2＋a＋b>0

性规划可知：

点M(1,2)与阴影部分连线的斜率k的取值范围为kAM

，由线

9

1b－2∴<<1. 4a－1

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