《概率论》第二章习题

第二章 事件与概率

1、字母M，A，X，A，M分别写在一张卡片上，充分混合后重新排列，问正好得到顺序MAAM的概率是多少？

解：这五个字母自左往右数，排第i个字母的事件为Ai，则

P(A1)?2211,P(A2A1)?，P(A3A2A1)?,P(A4A3A2A1)? 5432P(A5A4A3A2A1)?1。

利用乘法公式，所求的概率为

P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P?A2A1?P?A3A2A1?P?A4A3A2A1?P?A5A4A3A2A1??22111????1? 5432302、有三个孩子的家庭中，已知有一个是女孩，求至少有一个男孩的概率。

解：有三个孩子的家庭总共有23=8个类型。设A={三个孩子中有一女}，B={三个孩子中至少有一男}，A的有利场合数为7，AB的有利场合为6，依题意所求概率为P（B|A），则

P?BA??P(AB)6/86??.

P(A)7/873、若M件产品中包含m件废品，今在其中任取两件，求：（1）已知取出的两件中有一件是废品的条件下，另一件也是废品的条件概率；（2）已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的条件概率；（3）取出的两件中至少有一件是废品的概率。

3、解：（1）M件产品中有m件废品，M?m件正品。设A={两件有一件是废品}，B={两件都是废

112222品}，显然A?B，则 P(A)?CmCM?m?Cm/CM P(B)?Cm， /CM??题中欲求的概率为

22Cm/CMm?1P(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?11. ?22(CmCM?m?Cm)/CM2M?m?1（2）设A={两件中有一件不是废品}，B={两件中恰有一件废品}，显然B?A，则

2112112P(A)?CM?m?CmCM?m/CM, P(B)?CmCM?m/CM.

??题中欲求的概率为

112CmCM2m?m/CMP(B|A)?P(AB)/P(A)?P(B)/P(A)?2. ?112(CM?m?CmCM?m)/CMM?m?1（3）P{取出的两件中至少有一件废品}=CmCM?m?Cm/CM??112?2m(2M?m?1).

M(M?1)《概率论》第二章习题

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4、袋中有a只黑球，b只白球，甲乙丙三人依次从袋中取出一球（取后不放回），试分别求出三人各自取得白球的概率（b?3）。

解：A={甲取出一球为白球}，B={甲取出一球后，乙取出一球为白球}，C={甲，乙各取出一球后，丙取出一球为白球}。则 P(A)?a 甲取出的球可为白球或黑球，利用全概率公式得

(a?b)P(B)?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?bb?1abb???? a?ba?b?1a?ba?b?1a?b甲，乙 取球的情况共有四种，由全概率公式得

P(C)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)?P(AB)P(C|AB)

?b(b?1)b?2abb?1 ???(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?abb?1a(a?1)b???

(a?b)(a?b?1)a?b?2(a?b)(a?b?1)a?b?2?b(a?b?1)(a?b?2)b. ?(a?b)(a?b?1)(a?b?2)a?b5、从{0，1，2，?，9}中随机地取出两个数字，求其和大于10的概率。 解：设B={两数之和大于10}，Ai={第一个数取到i}，i?0,1,?,9。则P(Ai)?1， 10P(B|A0)?P(B|A1)?0,P(B|Ai)?(i?1)/9,i?2,3,?5;P(B|Aj)?(j?2)/9,

j?6,7,8,9。由全概率公式得欲求的概率为

P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?i?0916?0.356. 456、甲袋中有a只白球，b只黑球，乙袋中有?只白球，?只黑球，某人从甲袋中任出两球投入乙袋，

然后在乙袋中任取两球，问最后取出的两球全为白球的概率是多少？

解：设A1={从甲袋中取出2只白球}，A2={从甲袋中取出一只白球一只黑球}，A3={从甲袋中取出2只黑球}，B={从乙袋中取出2只白球}。则由全概率公式得

P(B)?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)

221222CaCa?2c1cbCaCbC??1. ?22?22?22aca?bc????2Ca?bC????2Ca?bC????27、设的N个袋子，每个袋子中将有a只黑球，b只白球，从第一袋中取出一球放入第二袋中，然后从

《概率论》第二章习题

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第二袋中取出一球放入第三袋中，如此下去，问从最后一个袋子中取出黑球的概率是多少？ 解：A1={从第一袋中取出一球是黑球}，??，Ai={从第一袋中取一球放入第二袋中，?，再从第i?1袋中取一球放入第i袋中，最后从第i袋中取一球是黑球}，i?1,?,N。则

P(A1)?一般设P(Ak)?ab. ,P(A1)?a?b(a?b)ab，则P(Ak)?，得

(a?b)(a?b)P(Ak?1)?P(Ak?1|Ak)P(Ak)?P(Ak?1|Ak)P(Ak)?a.

(a?b)由数学归纳法得 P(AN)?a

(a?b)8、飞机有三个不同的部分遭到射击，在第一部分被击中一弹，或第二部分被击中两弹，或第三部分被

击中三弹时，飞机才能被击落，其命中率与每一部分的面积成正比，设三个部分的面积的百分比为0.1，0.2，0.7，若已击中两弹，求击落飞机的概率。

解：设A1={飞机第一部分中两弹}，A2={飞机第二部分中两弹}，A3={飞机第一部分仅中一弹}，A4={其它情况}，则

AiAj??(i?j),A1?A2?A3?A4??.

P(A1)?0.1?0.1?0.01,P(A2)?0.2?0.2?0.04.

A3={第一弹中第一部分且第二弹中第二部分，或第一弹中第一部分且第二弹中第三部分，或第一弹中第二部分且第二弹中第一部分，或第一弹中第三部分且第二弹中第一部分}，

P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.2?0.1?0.7?0.1?0.18， P(A4)?1?[P(A1)?P(A2)?P(A3)]?0.77.

设B={飞机被击落}，则 P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.

由全概率公式得P(B)?错误算法：

?P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.18?0.23.

iii?1P(A3)?0.1?0.2?0.1?0.7?0.09，

设B={飞机被击落}，则 P(B|Ai)?1(I?1,2,3),4P(B|A4)?0.

由全概率公式得P(B)??P(B|A)P(A)?0.01?0.04?0.09?0.14.

iii?1原因是忽略了飞机中弹的次序。

《概率论》第二章习题

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9、投硬币n回，第一回出正面的概率为c，第二回后每次出现与前一次相同表面的概率为p，求第n

回时出正面的概率，并讨论当n??时的情况。

解：设Ai={第i 回出正面}，记pi?P(Ai)，则由题意利用全概率公式得

P(Ai?1)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)?P(Ai?1|Ai)P(Ai)

?pp?p)?(p2?1)i?(1?p)(1iip?已知pi?c，依次令i?n?1,n?2,?,1可得递推关系式

。(1?p

Pn?(2p?1)pn?1?(1?p), Pn?1?(2p?1)pn?2?(1?p),?, P2?(2p?1)p1?(1?p)?(2p?1)c?(1?p).

解得

Pn?(1?p)[1?(2p?1)?(2p?1)2???(2p?1)n?2]?c(2p?1)n?1,

当p?1时利用等比数列求和公式得

111?(2p?1)n?1pn?(1?p)?c(2p?1)n?1??(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1. （*）

221?(2p?1)（1）若p?1，则pn?C,limpn?C；

n??（2）若p?0，则当n?2k?1时，pn?c；当n?2k时，pn?1?c。

若c?111，则pn?,limpn? 22n??211，则c?1?c,limpn不存在。

n??2若c?（3）若0?p?1，则由（*）式可得

?11?1limpn?lim??(2p?1)n?1?c(2p?1)n?1??. n??n??22??210、甲乙两袋各将一只白球一只黑球，从两袋中各取出一球相交换放入另一袋中，这样进行了若干次。

以pn，qn，rn分别记在第n次交换后甲袋中将包含两只白球，一只白球一只黑球，两只黑球的概率。试导出pn+1，qn+1，rn+1用pn，qn，rn表出的关系式，利用它们求pn+1，qn+1，rn+1，并讨论当n??时的情况。

解：令Ai,Bi,Ci分别表示第i次交换后，甲袋中有两只白球，一白一黑，两黑球的事件，则由全概率公式得

pn?1?P(An?1)?P(An)P(An?1|An)?P(Bn)P(An?1|Bn)?P(Cn)P(An?1|Cn)

《概率论》第二章习题

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?0?pn?11qn?0?rn?qn， 44qn?1?P(Bn?1)?P(An)P(Bn?1|An)?P(Bn)P(Bn?1|Bn)?P(Cn)P(Bn?1|Cn)

?1?pn?11qn?1?rn?pn?qn?rn,， 22rn?1?P(Cn?1)?P(An)P(Cn?1|An)?P(Bn)P(Cn?1|Bn)?P(Cn)P(Cn?1|Cn)

11?0?pn?qn?0?rn?qn.

44这里有pn?1?rn?1，又pn?1?qn?1?rn?1?1，所以qn?1?1?2pn?1，同理有qn?1?2pn，再由

pn?1?11qn得pn?1?(1?2pn)。所以可得递推关系式为 441??rn?1?pn?1?(1?2pn)， ?4??qn?1?1?2pn?1初始条件是甲袋一白一黑，乙袋一白一黑，即p0?r0?0,q0?1，由递推关系式得

rn?1?pn?1?1111111111(1?2pn)??pn??(?pn?1)???pn?1?? 442424248411(?1)n?2(?1)n?1p0?2?3???n?2??2222n?11??1??1????4???2?n?1?????1?1?????2?

1??1???1?(?1)n?1???6??2??n?1n?2?111??n???(?1)????，

3?2???6qn?1?1?2pn?121?1???(?1)n?1????33?2?n?1.

limpn?limrn?n??n??12,limqn?. 6n??311、设一个家庭中有n个小孩的概率为

?apn,n?1,?appn?? 1?,n?0,??1?p《概率论》第二章习题

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这里0?p?1,0?a?(1?p)/p。若认为生一个小孩为男孩可女孩是等可能的，求证一个家庭有k(k?1)个男孩的概率为2apk/(2?p)k?1。

解：设An={家庭中有n个孩子}，n=0,1,2,?，B={家庭中有k个男孩}。注意到生男孩与生女孩是等可能的，由二项分布(p?1)得 2?1??1?P(B|An)?C?????2??2?knkn?k?1??C??.

?2?knk?in由全概率公式得

??1??p?P(B)??P(An)P(B|An)??apnC???a?Cki?i???2??2?i?0n?kn?k??nkn（其中i?n?k）

?p??a???2?

k?Ci?0?ik?i?p??p??a????2???2?ikp???1???2??k?1`2apk?. k?1(2?p)12、在上题假设下：（1）已知家庭中至少有一个男孩，求此家庭至少有两个男孩的概率；

（2）已知家庭中没有女孩，求正好有一个男孩的概率。

解：（1）设A={至少有一男孩}，B={至少有2个男孩}。A?B,AB?B，由0?p?1得

(2?p)2apk P(A)??k?1k?1(2?p)?p2a(2?p)ap???,

2(1?p)2?p(2?p)(1?p)(2?p)2apkP(B)??k?1k?2(2?p)?p22a(2?p)2ap2, ???2?p2(1?p)(2?p)2(1?p)(2?p)P(B|A)?

P(AB)P(B)p??.

P(A)P(A)2?p（2）C={家中无女孩}={家中无小孩，或家中有n个小孩且都是男孩，n是任意正整数}，则

?ap?1? P(C)?1???apn??

1?pn?1?2?n《概率论》第二章习题 - 6 -

apapapap2?3p?ap?p22 ?1???1???p1?p1?p2?p(1?p)(2?p)1?2A1={家中正好有一个男孩}={家中只有一个小孩且是男孩}，则

P(A1)?ap?11?ap，且A1?C， 22所以在家中没有女孩的条件下，正好有一个男孩的条件概率为

P(A1|C)?P(A1C)P(A1)1apap(1?p)(2?p). ???22P(C)P(C)22?3p?ap?p2(2?3p?ap?p)(1?p)(2?p)

13、已知产品中96%是合格品，现有一种简化的检查方法，它把真正的合格品确认为合格品的概率为

0.98，而误认废品为合格品的概率为0.05，求在简化方法检查下，合格品的一个产品确实是合格品的概率。

解：设A={产品确为合格品}，B={检查后判为合格品}。已知P(B|A)?0.98，

P(B|A)?0.05，P(A)?0.96，求P(A|B)。由贝叶斯公式得

P(A|B)?P(AB)P(A)P(B|A)?

P(B)P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)?0.96?0.980.9408??0.9979

0.96?0.98?0.04?0.050.942814、炮战中，在距目标250米，200米，150米处射击的概率分别为0.1，0.7，0.2，而在各该处射击时

命中目标的概率分别为0.05，0.1，0.2，现在已知目标被击毁，求击毁目标的炮弹是由250米处射击的概率。

解：设A1,A2,A3分别为自250米，200米，150米处射击的事件，B为“命中目标”事件，则

P(A1)?0.1,P(A2)?0.7，P(A3)?0.2,P(B|A1)?0.05,P(B|A2)?0.1，

P(B|A3)?0.2，求P(A1|B)。Ai间互不相容，B能且只能与Ai中之一同时发生，由贝叶斯公式得

P(A1|B)??P(B|A1)P(A1)

P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)?P(B|A3)P(A3)0.05?0.11??0.0435.

0.05?0.1?0.1?0.7?0.2?0.22315、在通讯渠道中，可传送字符AAAA，BBBB，CCCC三者之一，假定传送这三者的概率分别为0.3，

《概率论》第二章习题

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0.4，0.3，由于通道噪音的干扰，正确接收到被传送字母的概率为0.6，而接受到其它字母的概率为0.2，假定前后字母是否被歪曲互不影响，若接受到的是ABCA，问被传送是AAAA的概率。 解：记事件“发AAAA”为A4，事件“发BBBB”为B4，事件“发CCCC”为C4，事件“收ABCA”为D，则P(A4)?0.3,P(B4)?0.4,P(C4)?0.3,为求P(A4|D)，考虑到发AAAA，而收到ABCD，有两个字母被准确收到，另两个字母被误收，故P(D|A4)?0.62?0.22?0.0144。同理可求得

P(D|B4)?P(D|A4)?0.6?0.23

?0.0048，欲求的概率是P(A4|D)，而事件A4,B4,C4间两两互不相容，又D能且只能与A4,B4,C4之一同时发生，由贝叶斯公式得欲求的概率为

P(A4)P(D|A4) P(A|D)?444444P(A)P(D|A)?P(B)P(D|B)?P(C)P(D|C)4?0.3?0.01449??0.5625

0.3?0.0144?0.4?0.0048?0.3?0.00481616、设A，B，C三事件相互独立，求证A?B,AB,A?B皆与C独立。 证：（1）P((A?B)?C)?P(AC?BC)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)

?P(A)P(C)?P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?P(C)[P(A)?P(B)?P(AB)]?P(C)P(A?B)，

∴A?B与C独立。

（2）P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C) ∴AB与C独立。

（3）P((A?B)C)?P(ABC)?P(AC(??B))?P(AC)?P(ABC) ?P(A)P(C)?P(A)P(B)P(C)

?P(C)[P(A)?P(AB)]?P(C)P(A?B)，

∴A?B与C独立。

17、若A，B，C相互独立，则A,B,C亦相互独立。

证：P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?1?[P(A)?P(B)?PAB)]

1?P(B)) ?1?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?(1?P(A))( ?P(A)P(B)，

《概率论》第二章习题

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同理可证 P(AC)?P(A)P(C),

P(BC)?P(B)P(C).

又有

P(ABC)?P(A?B?C)?1?P(A?B?C)

?1??P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)?

?1?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)P(B)?P(A)P(C)?P(B)P(C)?

?P(A)P(B)P(C)

?(1?P(A))(1?P(B))(1?P(C))?P(A)P(B)P(C)，

所以A,B,C相互独立。

18、证明：事件A1,A2,?,An相互独立的充要条件是下列2n个等式成立：

?A???)P(A?)?P(A?)， P(A12?An)?P(A12n?取A或A。 其中Aiii?取证：必要性。事件A1,A2,?,An相互独立，用归纳法证。不失为一般性，假设总是前连续m个集AiAi的形式。当m?1时，

P(A1A2?An)?P(A2?An)?P(A1?An)?P(A1?An)

?P(A2)?P(An)?P(A1)?p(An)?P(A1)P(A2)?P(An)。

设当m?k时有

P(A1?AkAk?1?An)?P(A1)?P(Ak)P(Ak?1?An),

则当m?k?1时

P(A1?Ak?1Ak?2?An)?P(A1?AkAk?2?An)?P(A1?AkAk?1?An)

?P(A1)?P(Ak)P(Ak?2)?P(An)?P(A1)?P(Ak)P(Ak?1)?P(An) ?P(A1)?P(Ak)(1?P(Ak?1))P(Ak?2)?P(An) ?P(A1)?P(Ak)P(Ak?1)P(Ak?2)?P(An)

从而有下列2n式成立：

?A???)P(A?)?P(A?), P(A12?An)?P(A12n《概率论》第二章习题

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?取A或A。 其中Aiii 充分性。设题中条件成立，则

P(A1?An)?P(A1)?P(An), (1)

P(A1?An?1An)?P(A1)?P(An?1)P(An). (2)

∵ A1?An?1An?A1?An?1An??,

∴ P(A1?An?1)?P(A1?An?1An?A1?An?1An).

(1)+(2)得 P(A1?An?1)?P(A1)?P(An?1)。 (3)

同理有

P(A1?An?2An?1An)?P(A1)?P(An?2)P(An?1)P(An),

P(A1?An?2An?1An)?P(A1)?P(An?2)P(An?1)P(An)

两式相加得

P(A1?An?2An?1)?P(A1)?P(An?2)P(An?1). （4）

(3)+(4)得

P(A1?An?2)?P(A1)P(A2)?P(An?2)。

同类似方法可证得独立性定义中2?n?1个式子，

∴ A1,?,An相互独立。

19、若A与B独立，证明{?,A,A,?}中任何一个事件与{?,B,B,?}中任何一个事件是相互独立的。 证：P(??)?P(?)?0?0?P(?)P(?),

P(??)?0?P(?)P(?),P(??)?1?P(?)P(?), P(?B)?P(B)?P(?)P(B), P(?A)?P(A)?P(?)P(A),

P(AB)?P(A)P(B)（见本章第17题），

P(AB)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)?P(A)P(B) ?P(A)(1?P(B))?P(A)P(B)， 同理可得 P(AB)?P(A)P(B)。证毕。

20、对同一目标进行三次独立射击，第一，二，三次射击的命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求（1）

《概率论》第二章习题 - 10 -

n

在这三次射击中，恰好有一次击中目标的概率；（2）至少有一次命中目标的概率。 解：P{三次射击恰击中目标一次}=

?0.4(1?0.5)(1?0.7)?(1?0.4)0.5(1?0.7)?(1?0.4)(1?0.5)0.7 ?0.36

P{至少有一次命中}=1-P{未击中一次}

?1?(1?0.4)(1?0.5)(1?0.7)?0.91

21、设A1,A2,?,An相互独立，而P(Ak)?pk，试求：（1）所有事件全不发生的概率；（2）诸事件

中至少发生其一的概率；（3）恰好发生其一的概率。 解：（1）P{所有的事件全不发生}?P{A1?An} ?P(A1)?P(An)? （2）P{至少发生其一}?P(A1???An)

P(A1?An)?1?P(A1?An)?1??(1?pk?1nk)。

?(1?pk?1nn)。

（3）P{恰好发生其一}?p1(1?p2)?(1?pn)?(1?p1)p2(1?p3)?(1?pn)? ???(1?p1)?(1?pn?1)pn ??pi?1ni?2n?j?i?1?pipj???(?1)n?1n?pi。

i?1n22、当元件k或元件k1或k2都发生故障时电路断开，元件k发生故障的概率等于0.3，而元件k1，k2

发生故障的概率各为.2，求电路断开的概率。

解：本题中认为各元件发生故障是相互独立的。记A0={元件k发生故障}，A1={元件k1发生故障}，

A2={元件k2发生故障}。则

P{电路断开}?P(A0?A1A2)?P(A0)?P(A1A2)?P(A0A1A2) ?0.3?0.2?0.2?0.3?0.2?0.2?0.328。 23、说明“重复独立试验中，小概率事件必然发生”的确切意思。

解：以Ak表事件“A于第k次试验中出现”，P(Ak)??，由试验的独立性得，前n次试验中A都不出现的概率为

P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An)?(1??)n。

于是前n次试验中，A至少发生一次的概率为

《概率论》第二章习题 - 11 -

1?P(A1A2?An)?1?(1??)n?1(n??)。

这说明当重复试验的次数无限增加时，小概率事件A至少发生一次的概率可以无限地向1靠近，从而

可看成是必然要发生的。

24、在第一台车床上制造一级品零件的概率等于0.7，而在第二台车床上制造此种零件的概率等于0.8，

第一台车床制造了两个零件，第二台制造了三个零件，求所有零件均为一级品的概率。 解：我们认为各车床或同一车床制造的各个零件的好坏是相互独立的，由此可得

P{所有零件均为一级品}?0.83?0.72?0.2509。

25、实验室器皿中产生甲类细菌与乙类细菌的机会是相同的，若某次发现产生了2n个细菌，求（1）

至少有一个甲类细菌的概率；（2）甲，乙两类细菌各占其半的概率。 解：利用的二项分布可得

P{至少有一个甲类细菌}?1?P{2n个全是乙类细菌}

0?1??1??1?C20?????2??2?n02n?1?2?2n。

n2n?1??1?n?1?P{甲，乙两类细菌各占一半}?C?????C2n??。 ?2??2??2?n2n26、掷硬币出现正面的概率为p，掷了n次，求下列概率：（1）至少出现一次正面；（2）至少出现两

次正面。 解：利用二项分布得

P{至少出现一次正面}?1?P{n次全部出现反面}?1?(1?p)n。

1P{至少出现两次正面}?1?(1?p)n?Cnp(1?p)n?1?1?(1?p)n?np(1?p)n?1。

27、甲，乙，丙三人进行某项比赛，设三个胜每局的概率相等，比赛规定先胜三局者为整场比赛的优

胜者，若甲胜了第一，三局，乙胜了第二局，问丙成为整场比赛优胜者的概率是多少？ 解：（1）设A，B，C分别表示每局比赛中甲，乙、丙获胜的事件，故P(A)?P(B)?P(C)?1的多3项分布。欲丙成为整场比赛的优胜者，则需在未来的三次中，丙获胜三次；或在前三次中，丙获胜两次乙胜一次，而第四次为丙获胜。故本题欲求的概率为

3!?1??1??1?3!?1??1??1?p??????????????3!0!0!?3??3??3?2!1!0!?3??3??3?30020?1????。 ?3?28、甲，乙均有n个硬币，全部掷完后分别计算掷出的正面数相等的概率。 解：利用两个的二项分布，得欲求的概率为

《概率论》第二章习题 - 12 -

p??P{甲掷出i次正面，乙掷出i次正面}

i?0n?1???C???2?i?0inni?1????2?n?1?1??C???2?ini?1????2?n?1?1?????2?2nn?1?(C)?C??。 ??2?i?0i2nn2n2n29、在贝努里试验中，事件A出现的概率为p，求在n次独立试验中事件A出现奇数次的概率。 解：事件A出现奇数次的概率记为b，出现偶数次的概率记为a，则

00n22n?2a?Cnpq?Cnpq??， 133n?3b?Cnpqn?1?Cnpq??。

利用a?b?(p?q)n?1,a?b?(q?p)n，可解得事件A出现奇数次的概率为

b?1111?(p?q)n??(1?2p)n。 222??顺便得到，事件A出现偶数次的概率为a?11?(1?2p)n。 2230、在贝努里试验中，若A出现的概率为p，求在出现m次A之前出现k次A的概率。

解：事件“在出现m次A之前出现k次A”，相当于事件“在前k?m?1次试验中出现k次A，m?1次A，而第m?k次出现A”，故所求的概率为

Ckk?m?1pkqm?1?q?Ckk?m?1pkqm

k?2注：对事件“在出现m次A之前出现k次A”，若允许在出现m次A之前也可以出现k?1次A，

次A等，这就说不通。所以，事件“在出现m次A之前出现k次A”的等价事件，是“在出现m次A之前恰出现k次A”。而对事件“在出现m次A之前出现k次A之前”（记为B）就不一样，即使在出现m次A之前出现了k?1次A，k?2次A等，也可以说事件B发生，所以事件B是如下诸事件的并事件：“在出现m次A之前恰出现i次A”，i?k,k?1,?。

31、甲袋中有N?1只白球和一只黑球，乙袋中有N只白球，每次从甲，乙两袋中分别取出一只球并

交换放入另一袋中去，这样经过了n次，问黑球出现在甲袋中的概率是多少？并讨论n??时的情况。

解：设An?{经n次试验后，黑球出现在甲袋中}，An?{经n次试验后，黑球出现在乙袋中}，Cn?{第n次从黑球所在的袋中取出一个白球}。记pn?P(An), cn?P(An)?1?pn,n?0,1,2,?。当n?1《概率论》第二章习题 - 13 -

时，由全概率公式可得递推关系式：

pn?P(An|An?1)P(An?1)_P(An|An?1)P(An?1) ?P(Cn|An?1)P(An?1)?P(Cn|An?1)P(An?1)

?pn?1?即 pn?N?11?qn?1?NN?N?11pn?1?(1?pn?1), NNN?21pn?1?NN(n?1)。

初始条件p0?1，由递推关系式并利用等比级数求和公式得

11N?21?N?2?pn????????NNNN?N?1N??N?2?n????1????N????n?1?N?2????

N??n11?N?2??????。 n22N???N?2??N?2??1?????N??N??若N?1，则n?2k?1时p?0，当n?2k时pn?1。 若N?2，则对任何n有pn?n1。 2若N?2，则limpn?n??1（N越大，收敛速度越慢）。 232、一个工厂出产的产品中废品率为.005，任意取来1000件，试计算下面概率：（1）其中至少有两件

废品；（2）其中不超过5件废品；（3）能以90%的概率希望废品件数不超过多少？ 解：利用普阿松逼近定理，??1000?0.005?5，查表计算得

iP{至少有两件废品}??C1000(0.005)i(0.995)1000?1?1?e?5?5e?5?0.9596，

i?21000P{不超过5件废品}??Ci?25i1000(0.005)(0.995)i1000?15i?5??e?0.6160。 i?0i!5设以90%的概率希望废品件数不超过k，则

?Ci?2ki1000(0.005)(0.995)i1000?15i?5??e?0.90， i?0i!k解得k?8。

33、某交往式计算机有20个终端，这些终端被各单位独立操作，使用率各为0.7，求有10个或更多

个终端同时操作的概率。

《概率论》第二章习题 - 14 -

解：P={有10个或更多个终端同时操作}=P{有10个或不足10个终端不在操作}

j??C20(0.3)j(0.7)20?j?0.9829。 j?01034、设每次射击打中目标的概率等于0.001，如果射击5000次，试求打中两弹或两弹以上的概率。 解：利用普阿松逼近定理计算??5000?0.001?5，则打中两弹或两终以上的概率为

p?1?(0.999)5000?5000(0.999)4999?0.001?1?e?5?5e?5?0.9596

35、某个厂有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的百分比为.6，现为某事可行与否而个别征求顾

问意见，并按多数人的意见作出决策，求作出正确决策的概率。

解：设A表事件“某事实际上是可行的”，A表事件“某事实际上是不可行的”，B表“多数人说可行”，

B表“多数人说不可行“，利用二项分布得

iP(B|A)?P(B|A)??C7(0.6)i(0.4)7?i?0.7102

i?47所以作出正确决策的概率为

p?P(A)P(B|A)?P(A)P(B|A)

?P(B|A)[P(A)?P(A)]?P(B|A)?0.7102。

36、实验室器皿中产生甲，乙两类细菌的机会是相等的，且产生k个细菌的概率为

pk??kk!e??,k?0,1,2,?。试求：（1）产生了甲类细菌但没有乙类细菌的概率；（2）在已知产

生了细菌而且没有甲类细菌的条件下，有两个乙类细菌的概率。

?1?e????，所以产解：（1）由题意得，产生了k个细菌，且这k个细菌全部是甲类细菌的概率为k!?2?生了甲类细菌而无乙类细菌的概率为

k????1???2?。 p??e???e?e?1???2?k?1k!????kk?k?? （2）产生乙类细菌而无甲类细菌的概率与（1）中概率相同，所以欲求的条件概率为

12???1?12?e???2!?2?P{有2个乙类细菌|产生的细菌中无甲类}?。 ?811????????2??2?e?1???e???e?1???????????37、假定人在一年365日中的任一日出生的概率是一样的，在50个人的单位中有两个以上的人生于

元旦的概率是多少？

2《概率论》第二章习题 - 15 -

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