7.5 用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力

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7.5

用力法计算超静定结构在支座移动和温度变化时的内力对于静定结构，在支座移动、温度变化等非荷载因素作用下，可 发生自由变形，但并不引起内力；而对于超静定结构，由于存在 多余约束，在非荷载因素作用下，一般会产生内力，这种内力称 为自内力。

用力法计算自内力时，其基本原理和分析步骤与荷载 作用时相同，只是具体计算时，有以下三个特点： 第一，力法方程中的自由项不同。 这里的自由项，不再是荷载引起的DiP,而是由支座移 动或温度变化等因素引起基本结构多余未知力方向上 的位移Dic或Dit等。

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第二，对支座移动问题，力法方程右端项不一定为零。 当取有移动的支座约束力为基本未知力时，Di≠0,而是 Di=Ci 第三，计算最后内力的叠加公式不完全相同。 由于基本结构(是静定结构)上支座移动、温度变化时 均不引起内力，因此内力全是由多余未知力引起的。最 后弯矩叠加公式为M M i xi

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一、支座移动时的内力计算计算支座移动引起n次超静定结构的内力时，力法程中 第 i个方程的一般形式可写为

j 1

n

ij

X j Δic C i

ij为柔度系数Ci,表示原结构在Xi方向的实际位移

Dic,表示基本结构在支座移动作用下在Xi方向的位移

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【例7-9】图示单跨超静定梁AB,已知EI为常数，左端支座转动角度为q , 右端支座下沉位移为a,试求在梁中引起的自内力。此梁为一次超静定，以下分别采用 三种基本体系求解 。qA C B

ql/2 l

al/2

(1)第一种解法 :取支座B的竖向反力为多余未知力X1,其 力法方程为q

q

11 X 1 Δ1c aq

X1

a

基本体系之一

其中

q

D1c

Δ1c FR c (l q ) q l

11

1 l M 12 dx EI 3EI

3

FRA 1l

M1 图

X1=1

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q

得 由此求得

l X 1 q l a 3EI

3

A

ql/2 l

C

B

al/2

X1

3EI a (q ) l l2q

弯矩叠加公式为：

q

X1

a

M M1 X1

基本体系之一

q

qX1

D1c

3EI a (q ) l l

M图

FRA 1l

M1 图

X1=1

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(2)第二种解法X1

取支座A的反力偶作为多余未知力X1, 其力法方程为

q基本体系之二

a

11 X 1 Δ1c q其中

1 a Δ1c FR c ( a) l l l 11 3EIX1=1

D1c

a

力法方程

l a X1 q 3EI l 3EI a X1 (q ) l l

1 X1

M 1图

FRB

1 l

与第一种解法所作M图完全相同。3EI a (q ) l lM图

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(3)第三种解法将梁AB中点截面C改为铰结，取该截面上的 弯矩作为多余未知力X1,其力法典型方程为 11 X 1 Δ1c 0其中2 a Δ1c FR c (2 q ) ( a) 2(q )(m) l l qX1

q基本体系之三

a

q

qqFRA 2

a

4l 11 3EI

D1cX1=1

力法方程为

4l a

X 1 2(q ) 0 3EI l2

M1 图X1

1

FRB

由此可得X1

2 l

3EI a (q ) 2l l

3EI a (q ) l l

M图

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以上选取三种不同基本结构，得出三个不同的力法方程： 第一种解法 第二种解法l3 X 1 q l a 3EI

l a X1 q 3EI l

第三种解法

4l a X 1 2(q ) 0 3EI l

一般来说，凡是与多余未知力相应的支座位移参数 都出现在力法典型方程的右边项中，而其它的支座 位移参数都出现在左边的自由项中。

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(5)特例 1)若a = 0,则原体系如图示，相应的M图如图所示。 A 点的 M AB 3EI q ,若引入符号lqA

EI i l

q

EI l

B

称为杆件的线刚度则

3iq/3A B 3iq/3

M AB 3iq3iq

M图

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2)若q = 0,并令DAB = a,则原体系如图7-26a所示，相应的 M图如图7-26b所示。A点的 M AB 3EI ΔAB ,若再引入符 l l 号 EI B ΔAB A 弦转角 DAB l 称为杆AB的弦转角，则M AB ΔAB 3i 3i ll

(6)上述计算结果表明：在支 座位移时，超静定结构将产生 内力和反力，其内力和反力与 各杆件刚度的绝对值成正比。

3iD AB 3i lB

A

3iD AB l2

M图3iD AB l2

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二、温度变化时的内力计算在温度变化时，n次超静定结构的力法方程中，第i个 方程的一般形式为

j 1

n

ij

X j Δit Δi

式中， Dit表示基本结构在温度变化作用下沿Xi方向 的位移；Di表示原结构沿Xi方向的位移(在温度变 化问题中，一般D i=0)。

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例7-10】试作图示刚架在温度改变时所产生的M图。各杆 截面为矩形，高度h=l/10,线膨胀系数为a。设EI=常数 解 :此结构为一次超静定刚架，取基本体系 如图所示。力法方程为

11 X 1 Δ1t 0A +15℃ -15℃ B A l +15℃ -15℃ B

-10℃ +15℃+15℃ +5℃ l

-10℃ +15℃X1 +15℃ +5℃

C l

D

C X1

D

基本体系

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分别作 M 1图和 FN 1图，如图7-27c、d所示。A B

1

11

2 EI

2 1 l 2 l 1 ( 1 l ) ( 1) ( 1 ) ( 1) 2 3 2 2 3 EI

X1=1

Dt Δ1t AM t 0 AFN h

M 1图A

1

C

D

B2 1 l l

AB段 BC段 CD段 AB段 BC段 CD段

t0=0℃ t0=2.5℃ t0=10℃ Dt=30℃ Dt=25℃ Dt=10℃Δ1t

FN 1图

C2 l

D

10 1 1 30 ( 1 l ) 10 ( 1 l ) l 2 2

1 2 2.5 ( l ) 10 ( l ) l l 100 22 .5 77 .5

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代入典型方程，可得X1 Δ1t

A

77.5EI /l B77.5EI /l 77.5EI /l

11

77 .5 EI l

(

)

C

D77.5EI /l

最后弯矩图 M M 1 X 1 ,如图所示。

M图

由计算结果可知，在温度变化时，超静定结构的内力与反力与各 杆件刚度的绝对值成正比。因此，加大截面尺寸并不是改善自内 力状态的有效途径。另外，对于钢筋混凝土梁，要特别注意因降 温

可能出现裂缝的情况(对超静定梁而言，其低温一侧受拉而高 温一侧受压)。

杆件的制作误差、材料的收缩和徐变所引起超静定结构 自内力的计算，其基本原理与上述温度变化时相同。

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在计算自由项时，须注意将基本结构中因轴线平 均温度变化t0而引起的杆长变化量a t0l,代之以杆件制 作长度的误差或材料的收缩量Dl,亦即将温度变化时 的自由项计算公式

Δit t 0 AFN FN t 0 l代之以杆件制作误差(或材料收缩与徐变)时的自由 项计算公式

ΔiZ FN Dl

可看出，周边的约束刚度对上述非荷载因素所引起 的结构的自内力有很大的影响。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/mab4.html