布拉菲点阵

关于奥古斯特·布拉菲及布拉菲点阵浅析

奥古斯特·布拉菲（August Bravais，1811—1863），法国物理学家，于1845年推导出了三维晶体原子排列的所有14种点阵结构，首次将群的概念应用到物理学，为固体物理学做出了重大贡献。这是非常有意义的结论，为了纪念他，后人称这14种点阵为布拉菲点阵。除此之外，布拉菲还对磁性、极光、气象、植物地理学、天文学和水文学等方面进行过研究。

图1 奥古斯特·布拉菲

在几何学以及晶体学中，布拉菲晶格（又译布拉菲点阵）是为了纪念奥古斯特·布拉维在固态物理学的贡献命名的。法国晶体学家布拉菲（A.Bravais）于1850年用数学群论的方法推导出空间点阵只能有十四种: 简单三斜、简单单斜、底心单斜、简单正交、底心正交、体心正交、面心正交、简单六方、简单菱方、简单四方、体心四方、简单立方、体心立方、面心立方。根据其对称特点，它们分别属于七

个晶系。

空间点阵到底有多少种排列形式？按照“每个阵点的周围环境相同”的要求，在这样一个限定条件下，法国晶体学家布拉菲（A. Bravais）曾在1848年首先用数学方法证明，空间点阵只有14种类型。这14种空间点阵以后就被称为布拉菲点阵。

空间点阵是一个三维空间的无限图形，为了研究方便，可以在空间点阵中取一个具有代表性的基本小单元，这个基本小单元通常是一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为单胞。当要研究某一类型的空间点阵时，只需选取其中一个单胞来研究即可。在同一空间点阵中，可以选取多种不同形状和大小的平行六面体作为单胞，如下图所示：

其选取方式有，

1．固体物理选法：在固体物理学中，一般选取空间点阵中体积最小的平行六面体作为单胞，这样的单胞只能反映其空间点阵的周期性，但不能反映其对称性。如面心立方点阵的固体物理单胞并不反映面心立方的特征。

2．晶体学选法：由于固体物理单胞只能反映晶体结构的周期性，不能反映其对称性，所以在晶体学中，规定了选取单胞要满足以下几点原则：

①要能充分反映整个空间点阵的周期性和对称性；

②在满足①的基础上，单胞要具有尽可能多的直角； ③在满足①、②的基础上，所选取单胞的体积要最小。

根据以上原则，所选出的14种布拉菲点阵的单胞（见表1）可以分为两大类。一类为简单单胞，即只在平行六面体的 8个顶点上有结点，而每个顶点处的结点又分属于 8个相邻单胞，故一个简单单胞只含有一个结点。另一类为复合单胞(或称复杂单胞)，除在平行六面体顶点位置含有结点之外，尚在体心、面心、底心等位置上存在结点，整个单胞含有一个以上的结点。14种布拉菲点阵中包括7个简单单胞，7个复合单胞。

晶系 布拉维晶格 P 三斜晶系 P C 单斜晶系 P 斜方晶系 （正交晶系） 四方晶系 P C I F I P 三方晶系 （棱方晶系） A 六方晶系 P 等轴晶系 （立方晶系） I F 表1 14种布拉菲点阵 晶体根据其对称程度的高低和对称特点可以分为七大晶系，所有晶体均可归纳在这七个晶系中，而晶体的七大晶系是和14种布拉菲点阵相对应的，如表1和表2所示。所有空间点阵类型均包括在这14种之中，不存在这14种布拉菲点阵外的其它任何形式的空间点阵。底心正方点阵可以用简单正方点阵来表示，面心正方可以用体心正方来表示。如果在单胞的结点位置上放置一个结构基元，则此平行六面体就成为晶体结构中的一个基本单元，称之为晶胞。在实际应用中我们常将单胞与晶胞的概念混淆起来用而没有加以细致的区分。

表2 七大晶系和14种布拉菲点阵

对称性是晶体最重要的基本特征之一，也是研究晶体结构的重要基础。点阵所表达的晶体平移对称性包括晶体内每一个原子的平移对称性，也包括各原子间每个空隙位置的平移对称性。因此，点阵是实际晶体所具备的平移对称性的高度抽象和概括，点阵内阵点与阵点之间的关系等同于实际晶体内所具有的相应平移对称几何点之间的关系。切忌把阵点简单地理解成真实晶体中原子的位置。有很多种晶体单胞在其所对应的点阵单胞的阵点位置上并没有原子。

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