9平衡态习题思考题

第九章习题

759-1. 高压氧瓶：P?1.3?10Pa，V?30L，每天用PV1?400L，为保证瓶内P??1.0?106Pa，1?1.0?10Pa，能用几天？

解：根据题意

pV??RT，p1V1??1RT，可得：

（1.3?107?30-1.0?106?30）（/1.0?105?400）?9

9-2. 长金属管下端封闭，上端开口，置于压强为P0的大气中。在封闭端加热达T1?1000另一端保持T2?200K，K，设温度沿管长均匀变化。现封闭开口端，并使管子冷却到100K，求管内

解：根据题意管子一端T1?1000K，另一端保持T2?200K，所以

压强。

函数T?200?kx 其中k?800 。 llp0S200?800p0VpS1?R??dl?p0S?dx?ln?ln5当封闭开口端，并使管子冷却到

0T0（200?kx）k200800pV?R?100K时，

100p0ln5 两式相等，所以P?8l

23?5?249-3. 氢分子的质量为3.3?10g，如果每秒有10个氢分子沿着与容器器壁的法线成45角的方向以10cm/s的速率撞击在2.0cm面积上(碰撞是完全弹性的)，则器壁所承受的压强为多少？ 解：根据气体压强公式：

2p?Fn2mvcos45??S?tS?1023?2?3.3?10?24?103?1?2?10?422?2.33?103pa

9-4. 在标准状态下，若氧气(视为刚性双原子分子的理想气体)和氦气的体积比V1/V2?1/2，则其内能之比E1/E2为多少？

解：根据V1/V2?1/2，可得：?1T1/?2T2?1/2 ，

i15? i23i1?1RT1E15152????

那么内能之比为：

E2i2?2RT232629-5. 金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动（与容器中的气体分子类似），设金属中共有N个自由电子，其中电子的最大速率为 vm，电子速率在v~v?dv之间的概率为：

dN?Av2dv??N?0式中A为常数．则电子的平均速率为多少？

v?vm

答：v???01vf(v)dv?N??0vdN??vAv2dv?0vm14Avm 49-6. 大量粒子（N0?7.2?1010个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于30m/s的分子数约为多少？（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数约为多少？（3）所有N0个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于60m/s的那些分子的平均速率为多少？

1

解：根据题意：N0?7.2?10所以a?101?（30?120）?a 2

14.4?109 15（1） 速率小于30m/s的分子数：

N?1?30?a?1.44?1010 210199（2）速率处在99m/s到101m/s之间的分子数：

?N?N?f（v）dv?N（?（2a?99101va）dv?6.4?107 60（3）所有N0个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式： 30v （0?v?30）

a f（v）= a （30?v?60）

v 2a?a（60?v?120）

60 0 （v0?120）

?6012013030vv??vf(v)dv?[?vvdv??vadv??v（2a?a）dv]?54m/s（4）速率大于60m/s的那些分

03060N0a60子的平均速率

v????60?60va）dv]vf(v)dv?6060??80m/s

120vf(v)dv（2a?a）dv]?6060120v（2a?9-7. 理想气体分子沿x方向的速度分布函数：f(vx)?(??)e2?kT12?2?vx2kT，试据此推导压强公式P?nkT（已知：

?xe02??x2dx?14??）. ?v?Vi?1解：压强的计算式为：p??N2ixVN所以关键在求出N个分子在x方向上速度分量平方的平均值：

??N?vix2i?1N

?vixi?1N2N2?vix，根据速度分布函数f(vx)?(?2x?2?)e2?kT12?2?vx2kT，可得：

vix??vf(vx)dv??0x0?v()e2?kT2x12?2?vx2kTdvx?KT?

N?N2?n ，可得：p??vix?那么利用VVi?1?N?vix2i?1NVN?nKT

9-8. 在麦克斯韦分布下，（1）计算温度T1?300K和T2?600K时氧气分子最可几速率vp1和vp2；（2）计算在这两

2

温度下的最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率；（3）计算300K时氧分子在2vp处单位速率区间内分子数占总分子的比率。

解：根据最可几速率的定义：vp?（1）温度T1?300K：vp12kT2RTRT??1.414m??

??2RT?2?8.31?300??559m/s ?332?10T2?600K：

vp2?2RT??2?8.31?600?783m/s ?332?10

（2）在最可几速率附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率就是麦克斯韦分布函数：

f(v)?4m?2kT(3)2em2v2kTv2

T=300K，V=559m/s代入：f(v)?0.15%

（3）计算300K时氧分子在2vp处单位速率区间内分子数占总分子的比率。 即将T=300K，v=1118m/s代入：

m2?2kTv22()ev?0.042% 得： f(v)??2kT

9-9. 试将质量为?的单原子理想气体速率分布函数4?(式f(?)d?，然后求出其最可几动能及平均动能。

解：根据题意将4?(343m?)e2?kT32???22kTv2?dv改写成按动能??12?v分布的函数形2?)e2?kT32???22kTv2?dv中所有的速度用v?2??来代替，则得到：

12?kTf(?)d?=4?()e??d?。

2?kT其最可几动能也就是d[f(?)d?]/d??0所对应的动能，为平均动能????f(?)d??0??1KT； 23KT 2

9-10. 一容器体积为2V，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为P0的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面积为S的小孔，求打开小孔后左右两边时间与器壁单位面积相撞的分子数为

压强P（已知单位1和P2与时间t的关系

1nv）。 4N?1nvSt 4解：在t时间内与面积为S的小孔碰撞次数

dN1?dN2KT

V1P1P0vSdt dN1?vSdt dN2?4KT4KTP?P?vSdt 所以 dP?04VdP? P?P0(1?e

?vSt4V) 此题与答案不符

3

9-11. 试求升高到什么高度时大气压强将减至地面的75%。设空气的温度为0C，空气的摩尔质量为0.0289 kg/mol。解：根据题意 ：

0p?p0e?mghkT， 由p求h：h?已知

T=273k；?=0.0289kg/mol，则m??NA；

mgp0ln kTpp03?。把这些值代入，则可得：压强随高度变化的规律p4z=(RT)/(μg)ln(p０/p)

３

z=(8.31×273/0.0289×9.8)ln(1/0.75)=2.3×10 m

9-12. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z和平均自由程?的变化情况怎样？

解：根据平均碰撞频率的定义：

Z?2?dnv 以及 p?nkT，v?1.60p可得到Z?1.62?dKT22KT ， mKT2pm?1.62?d， mKT12?dn2所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z也将增大一倍。

而平均自由程的概念为：???kT2?dp2

所以当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞频率Z将减小一倍。

9-13. （1）分子的有效直径的数量级是多少？（2）在常温下，气体分子的平均速率的数量级是多少？（3）在标准状态下气体分子的碰撞频率的数量级是多少？

解：（1）由pV??RT，假设标准状态下一摩尔的气体，其体积为V?RT/P，有效直径为：d?3大约为10-10m。

（2）v（3）ZV，NA?1.60RT? ，大约为100——1000m/s。

8

9

?2?d2nv ，大约为10——10/s。

思考题

9-1. 气体在平衡状态时有何特征？平衡态与稳定态有什么不同？气体的平衡态与力学中所指的平衡有什么不同？ 答：平衡态的特征:

(1) 系统与外界在宏观上无能量和物质的交换 (2) 系统的宏观性质不随时间改变。

热平衡态是指: 在无外界的影响下，不论系统初始状态如何，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。

它与稳定态或力学中的平衡不是一个概念。

1.平衡态是一种热动平衡状态。处在平衡态的大量分子并不是静止的，它们仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。例如：粒子数问题：箱子假想分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。 2平衡态是一种理想状态

9-2. 对一定量的气体来说，当温度不变时，气体的压强随体积的减小面增大；当体积不变时，压强随温度的升高而增大。从宏观来看，这两种变化同样使压强增大；从微观来看，它们是否有区别?

答：有区别。从微观上看：p?2nw 3当温度不变时，气体的压强随体积的减小而增大是因为：当w一定时，体积减小，n越大，即单位时间内碰撞到器壁的分子越多，则P就越大；

4

当体积不变时，压强随温度的升高而增大是因为：当n一定时，w越大，即单位时间内分子对器壁的碰撞越厉害，则P就越大。

9-3. 在推导理想气体压强公式的过程中，什么地方用到了理想气体的分子模型?什么地方用到了平衡态的概念?什么地方用到了统计平均的概念？压强的微观统计意义是什么?

答：压强的求解公式中用到了理想气体的分子模型，把分子作为质点来研究； 对每个分子状态的假定用到了平衡态的概念；

从一个分子对器壁的作用力推广到所有分子对器壁的作用力，计算分子的平均速度都用到了统计平均的概念；

压强的微观统计意义是压强是大量分子碰撞器壁的平均效果，是对大量分子对时间对面积的一个统计平均值。对一个分子而言，它对器壁的碰撞是偶然的，但就大量分子而言，其碰撞的统计平均效果就表现为持续的均匀压强。

9-4. 容器内有质量为m，摩尔质量为M的理想气体，设容器以速度v作定向运动，今使容器突然停止，问：（1）气体的定向运动机械能转化什么形式的能量？（2）下面两种气体分子速度平方的平均值增加多少？○1单原子分子；②双原子分子；（3）如果容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度是否还会改变?为什么? 答：（1）一般来说，气体的宏观运动不会影响其微观的内动能，但是当容器忽然停止运动时，大量分子的定向运动的动能将通过与器壁的以及分子间的碰撞而转换为热运动的能量，会使容器内气体的问题有所升高。

312（2）w?kT?mv223KT，所以：v?m2，温度增加多少，其速度平方的平均值也做相应的增加。

（3）宏观量温度是一个统计概念，是大量分子无规则热运动的集体表现，是分子平均平动动能的量度，分子热运动是相对质心参照系的，平动动能是系统的内动能．温度与系统的整体运动无关．所以当容器再从静止加速到原来速度v，那么容器内理想气体的温度不会改变。

9.5 叙述下列式的物理意义：

13iimimikT；RT；R(T2?T1). （2）kT；（3）kT；（4）RT；（5）（6）2222M2M21答：(1)在平衡态下，分子热运动能量平均地分配在分子每一个自由度上的能量均为kT。

23(2)在平衡态下，分子平均平动动能kT。

2i(3)在平衡态下，自由度为i的分子平均总能量kT。

2i(4) 1摩尔自由度为i的分子组成的系统内能为RT。

2miRT。 (5) 由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能为

M2miR(T2?T1)。 (6) 由质量为M，摩尔质量为Mmol，自由度为i的分子组成的系统的内能的变化为

M2（1）

9-6. 下列各式的物理意义分别为:

v2v2（1）f(v)dv；（2）Nf(v)dv；（3）

v1（4）?Nf(v)dv. ?f(v)dv；

v1(1)f(v)dv：表示一定质量的气体，在温度为T的平衡态时，分布在速率v附近单位速率区间内的分子数占总分子数的百分比

(2)Nf(v)dv：表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数． (4)(3)

?v2v1?f(v)dv：表示分布在v１-v２区间内的分子数占总分子数的百分比． f(v)dv：表示分布在0→∞的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是

1 为

?(4)?0v2v1Nf(v)dv：表示分布在v１－v２区间内的分子数

9-7. 氦气、氧气分子数均为N，TO2?2THe，速率分布曲线如图，且阴影面积

5

S，求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线？（2）

意义是什么？

答：（1）由vpvPO2vPHe?；（3）v0的意义？(4)N[fB(v)?fA(v)]dv为多少？对应的物理

v0??2RT??可知，对于氧气和氦气，即使TO2?2THe，氦气的VP还是大于氧气，所以图形中，

2?22 ?1?324VP大的曲线是氦气，即B图是氦气的。

（2）

vPO2vPH?e?TO2?HeTHe?O2（3）v0的意义：在这速率附近、速率区间dv内的氦气和氧气的分子数相同。 （4）N[fB(v)?fA(v)]dv为在v0右边的两曲线的面积差乘以N；

v0?对应的物理意义是v0→∞的速率区间内氦气分子比氧气分子多多少个。

9-8. 两种理想气体分子数分别为NA和NB，某一温度下，速率分布函数分别为 fA(v)和fB(v)，问此温度下A和B组成系统的速率分布函数如何？

答：f(v)?

NAfA(v)?NBfB(v)

NA?NB 6

S，求：（1）哪条是氦气的速率分布曲线？（2）

意义是什么？

答：（1）由vpvPO2vPHe?；（3）v0的意义？(4)N[fB(v)?fA(v)]dv为多少？对应的物理

v0??2RT??可知，对于氧气和氦气，即使TO2?2THe，氦气的VP还是大于氧气，所以图形中，

2?22 ?1?324VP大的曲线是氦气，即B图是氦气的。

（2）

vPO2vPH?e?TO2?HeTHe?O2（3）v0的意义：在这速率附近、速率区间dv内的氦气和氧气的分子数相同。 （4）N[fB(v)?fA(v)]dv为在v0右边的两曲线的面积差乘以N；

v0?对应的物理意义是v0→∞的速率区间内氦气分子比氧气分子多多少个。

9-8. 两种理想气体分子数分别为NA和NB，某一温度下，速率分布函数分别为 fA(v)和fB(v)，问此温度下A和B组成系统的速率分布函数如何？

答：f(v)?

NAfA(v)?NBfB(v)

NA?NB 6

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