《运筹学》 第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题及 答案

《运筹学》 期末考试 试卷 习题库 答案

第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题 一、思考题

1．对偶问题和对偶变量的经济意义是什么？

2．简述对偶单纯形法的计算步骤。它与单纯形法的异同之处是什么？

3．什么是资源的影子价格？它和相应的市场价格之间有什么区别？

4．如何根据原问题和对偶问题之间的对应关系，找出两个问题变量之间、解及检 验数之间的关系？

5．利用对偶单纯形法计算时，如何判断原问题有最优解或无可行解？

6．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量（或剩余变量）xn k 0，其经济意 义是什么？

7．在线性规划的最优单纯形表中，松弛变量xn k的检验数 求最小值），其经济意义是什么？

n k

0（标准形为

ji的变化直接反映到最优单纯形表中，表中原问题和对偶问题的解 8．将ij

将会出现什么变化？有多少种不同情况？如何去处理？ 二、判断下列说法是否正确

1．任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 2．对偶问题的对偶问题一定是原问题。

3．若线性规划的原问题和其对偶问题都有最优解，则最优解一定相等。

4．对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解，另一个也一定 有最优解。

5．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷多个最优解。

a,c,b

6．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计 划中，第i种资源已经完全用尽。

7．已知在线性规划的对偶问题的最优解中，对偶变量yi 0，说明在最优生产计 划中，第i种资源一定还有剩余。

ji来说，每一个都有有限的变化范围，当其改变超出了这个范围 8．对于ij

之后，线性规划的最优解就会发生变化。

a,c,b

9．若某种资源的影子价格为，则在其它资源数量不变的情况下，该资源增加k 个单位，相应的目标函数值增加 k。

10．应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量xi 0，且xi所在行的 所有元素都大于或等于零，则其对偶问题具有无界解。 三、写出下列线性规划的对偶问题

（1）maxZ 3x1 2x2 x3 （2）maxz 2x1 2x2 3x3 x4

x1 x2 2x3 5

4x1 2x2 x3 7

3x1 2x2 x3 9 x,x,x3 0 12 ； x1 x2 x3 x4 12

2x1 x2 3x3 1

x3 x4 3 x1

x1,x2 0,x3,x4无约束 ；

（3）minz x1 2x2 3x3 （4）minz x1 x2 2x

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3x1 x2 2x3 5

2x1 4x2 x3 7

x1 2x2 4x3 10

x1,x2 0,x3无约束 ； 2x1 x2 2x3 7

2x1 3x2 x3 5

3x1 5x2 4x3 3 x1,x2 0,x3无约束 ；

（5）maxz 7x1 4x2 3x3 （6）minz 5x1 4x2 3x3

4x1 2x2 6x2 24

3x1 6x2 4x3 15

5x2 3x3 30

x1 0,x3 0,x2无约束 ； 四、用对偶单纯形法求解下列线性规划问题

7x3 8 2x1

8x1 5x2 4x3 15

4x2 6x3 30

x2,x3 0,x1无约束 。

（1）minZ 3x1 2x2 x3 （2）maxz 2x1 2x2 4x3

x1 x2 x3 6

x3 4 x1

x2 x3 3

x1,x2,x3 0 ； 2x1 3x2 5x3 2

3x1 x2 7x3 3

x1 4x2 6x3 5

x1,x2,x3 0 ；

（３）minz 12x1 8x2 16x3 12x4 （４）minz 5x1 2x2 4x3

2 2x1 x2 4x3

2x1 2x2 4x4 3 x,x,x,x 0

34 12 ； 3x1 x2 2x4 7

6x1 3x2 5x3 12 x,x,x 0 123 ；

c

j

五、对下列问题求最优解、相应的影子价格及保持最优解不变时

与bi的变化范围。

（１）maxz x1 x2 3x1 （２）maxz 9x1 8x2 50x3 19x4

2x1 x2 2x3 2

3x1 2x2 x3 3 x,x,x 0

3 12 ； 3x1 2x2 10x3 4x4 18

4x3 x4 6

x,x,x,x 0

34 12 ；

（３）maxz x1 4x2 3x3 （４）maxz 6x1 2x2 10x3 8x4

5x1 6x2 4x3 4x4 20

2x1 2x2 x3 4 3x1 3x2 2x3 8x4 25 x 2x 2x 6 122 4x1 2x2 x3 3x4 10 x,x,x 0 x,x,x3,x4 0 123 ； 12 ．

六、已知下表（表3—1）为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x4,x5为松弛变量，问题的约束为 形式

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（２）写出原问题的对偶问题；

（３）直接由表３—１写出对偶问题的最优解。

七、某厂利用原料Ａ、Ｂ生产甲、乙、丙三种产品，已知生产单位产品所需原料数、单件利

润及有关数据如表1—4所示，分别回答下列问题：

（1）建立线性规划模型，求该厂获利最大的生产计划；

（2）若产品乙、丙的单件利润不变，产品甲的利润在什么范围变化，上述最优解不变？ （3）若有一种新产品丁，其原料消耗定额：Ａ为３单位，Ｂ为２单位，单件利润为２．５

单位．问该种产品是否值得安排生产，并求新的最优计划； （4）若原材料Ａ市场紧缺，除拥有量外一时无法购进，而原材料Ｂ如数量不足可去市场购

买，单价为０．５，问该厂应否购买，以够劲多少为宜？

（5）由于某种原因该厂决定暂停甲产品的生产，试重新确定该厂的最优生产计划．

八、某厂生产甲、乙、丙三种产品，分别经过Ａ、Ｂ、Ｃ三种设备加工。已知生产单位产品所需的设备台时数、设备的现有加工能力及每件产品的利润见表３—４。

（２）产品丙每件的利润增加到多大时才值得安排生产？如产品丙每件的利润增加到

50/6 ，求最优生产计划。

（４）产品甲的利润在多大范围内变化时，原最优计划保持不变？

（５）设备A的能力如为100+10 ，确定保持原最优基不变的 的变化范围。

（６）如有一种新产品丁，加工一件需设备A、B、C的台时各为1、4、3小时，预期每件

的利润为8元，是否值得安排生产？

（７）如合同规定该厂至少生产10件产品丙，试确定最优计划的变化。

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第三章线性规划对偶理论与灵敏度分析习题解答

二．解：（1）√ （2）√（3）X（4）√(5) √（6）√（7）X（8）X（9）X（10）X 三、（1）

minw 5y1 7y2 9y3

（2）

minw 12y1 y2 3y3

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y1 2y2 y3 2

y y2 2 y1 4y2 3y3 3 1

y 2y 2y 2 y1 3y2 y3 3 123 y y3 12y y y 1123 1 y,y2,y3 0y 0,y3 0,y2无约束

1 ； 1

（3）maxw 5y1 7y2 10y3 （4）maxw 6y1 5y2 3y3

3y1 2y2 y3 1

y1 4y2 2y3 2

2y1 y2 4y3 3 y1 0,y2 0,y3无约束

；

2y1 2y2 3y3 1

y1 3y2 5y3 1

2y1 y2 4y3 2

y 0,y2无约束，y3 0

； 1 （5）minw 24y1 15y2 30y3 （6）maxz 8y1 15y2 30y3 4y1 3y2 72y1 8y2 5

5y2 4y3 4 2y1 6y2 5y3 4

6y 4y 3y 3123 7y1 4y2 6y3 3 y 0,y2 0,y3无约束 y 0,y2 0,y3无约束 1 ； 1。 四、解：（1）用对偶单纯形法求得的最终单纯形表如下：

表 ３—１

由于基变量x4所在行的

aij

值全为非负，故问题无可行解。

T

（２）最优解为 z 2.8,X [0.2,1.2,0]； （３）最优解为 z 14,X [0.5,1,0,0]；

T

33（４）最优解为 ；

五、解：用单纯形法求得的最终单纯形表分别见表 ３— ２(1) , 2(2) , 2(3) , 2(4) ． （1）

z

32

,X [

4

,2,0]

T

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且 c1 3

, c2 1.5

,2 c3 ；

0 b1 6,1 b2 。 (2)

且 c1 13, c2 26,47.5 c3 52,18.5 c4 20 ；

15 b1 24

,4.5 b2 7.2 。

（3）

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且 c1 3

,3 c2 6

,2 x3 4 ；

3 b1 6

,4 b2 8 。

(4)

资源3的影子价格为7/16 ，资源2的影子价格为5/8 。 且 1.833 c1 2.833

,83 c2 163,154 x3 214

；

11 b1 ,223 b2 263,8 b3 24,8 b4 403 。 六、解：（１）原线性规划问题：maxz 6x1 2x2 10x3

x2 2x2 5

3x1 x2 x3 10 x,x 0

2 1 ；

（２）原问题的对偶规划问题为：

minw 5y1 10y2

3y2 6

y1 y2 2

2y1 y2 10

y1,y2 0 ；

（３）对偶规划问题的最优解为：Y (4,2)。 七、解：（１）设x1,x2,x3分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为 maxz 4x1 x2 5x3

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6x1 3x2 5x3 45

3x1 4x2 5x3 30 x,x,x 0

3 12 ；

得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—3）

可得X

[5,0,3]，z 35；

（2）产品甲的利润变化范围为 [ 3，6 ] 。

（3）安排生产丁有利，新最优计划为生产产品丁15件，而x1 x2 x3 0； （4）购进原料B 15单位为宜；

T

,z 30 。 （5）新计划为 X [0,0,6]

八、解：（1）设x1,x2,x3分别为产品甲、乙、丙的产量，其模型为

maxz 10x1 6x2 4x3

x1 x2 x3 100

10x1 4x2 5x3 600

2x1 2x2 6x3 300

x1,x2,x3 0 ；得此问题的最终单纯形表如下：（表 3—

4） T

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T

可得X

[100/3,200/3,0]，z 2200/3；

（2）X [175/6,275/6,25]；

T

（3）6 c1 15； （4） 4 5； （5）该产品值得安排生产；

6）X

[95/3,175/3,10]T

。

（

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