单位圆与三角函数线

单位圆与三角函数线

由三角函数的定义我们知道，对于角 由三角函数的定义我们知道，对于角α 比值来表示的 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法 的另一种表示方法 —几何表示法 几何表示法

1.单位圆的概念 单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆 一般地，我们把半径为 的圆叫做单位圆， 半径为 的圆叫做单位圆， 设单位圆的圆心与坐标原点重合， 设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与 x轴的交点分别为 轴的交点分别为 A(1,0),A’(-1,0). , , - ,A'(-1,0) B(0,1) y N O P(cosα ,sinα ) 1 x M A(1,0)

α

而与y轴的交点分别为 而与 轴的交点分别为 B(0,1),B’(0,- , , ,-1). ,-B'(0,-1)

2. 三角函数线设任意角α的顶点 设任意角 的顶点 在原点，始边与x轴的 在原点，始边与 轴的 正半轴重合， 正半轴重合，终边与 A'(-1,0) 单位圆相交于点P(x, 单位圆相交于点 ， y),过P作x轴的垂线， ),过 作 轴的垂线 轴的垂线， ), 垂足为M; 垂足为 ； 做PN垂直 垂直 y轴于点 ， 轴于点N, 轴于点B(0,1) y N O P(cosα ,sinα ) 1 x M A(1,0)

α

B'(0,-1)

则点M、 分别是点 分别是点P在 轴 轴上的正射影 轴上的正射影. 则点 、N分别是点 在x轴、y轴上的正射影

根据三角函数的定义有点P的坐标为 根据三角函数的定义有点 的坐标为(cosα,sinα) 的坐标为 其中cosα=OM,sinα=ON. , 其中 这就是说， 的余弦和正弦分别等于角 这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角 的 的余弦和正弦分别等于角α的 终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标 终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标. 交点的横坐标与纵坐标y y' P T (1,tanα ) x A(1,0) T'

过点A作x 轴的垂线与 过点 作 轴的垂线与α 角的终边(或其反向延长线 或其反向延长线) 角的终边 或其反向延长线 相交于点T(或 相交于点 或T ’),则 ， tanα=AT(或AT ’) 或

αO 1

N

α的终边 P

y

y P A

α的终边 T

M o (Ⅱ) y T

x

o

M A x

y (Ⅰ)

T M o P α的终边 (Ⅲ) (Ⅳ) A x M A o P x T α的终边

作出下列各角的正弦线， 例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线. 作出下列各角的正弦线 余弦线，正切线.2π ;(2) (1) ) ;( ) 3 3

π

.

比较大小： 例2.比较大小： 比较大小 (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; 和 和 (3) tan2和tan3. 和 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5 cos1>cos1.5

探究： 探究：当0<α<π/2时，总有 < < 时 sinα<α<tanα. < <

S△POA<S扇形 <S△AOT 扇形AOP MP·OA/2 <α·OA ·OA /2 <OA ·AT /2 MP<α<AT < < sinα<α<tanα < <

在单位圆中作出符合下列条件的角的终边: 例3.在单位圆中作出符合下列条件的角的终边 在单位圆中作出符合下列条件的角的终边 1 ⑴ sin α = ; ⑵ tan α = 2. 2α角的终边y 1N ●

P

1 y= 21 x

-1

O -1

y P 1

A-1 O -1 P 1 x

α角的终边

T

在单位圆中作出符合条件的角的终边: 例4:在单位圆中作出符合条件的角的终边 在单位圆中作出符合条件的角的终边

1 (1)sin α > 25π 6-1

y11 y= 1 2

π6

O

x

5π -1 (2kπ + ,2kπ + )(k ∈ Z ) 6 6

π

在单位圆中作出符合条件的角的终边: 例:在单位圆中作出符合条件的角的终边 在单位圆中作出符合条件的角的终边

1 (2) cos α ≤ 2-1

y1

π31

O

1 x= 2

x

5π π 2kπ + ,2kπ + (k ∈ Z )-1 3 3

5π 3

课堂小结1、三角函数线的作法； 、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： 、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的终边； 利用三角函数线确定角的终边； ②利用三角函数线比较三角函数值的大小； 利用三角函数线比较三角函数值的大小； ③利用三角函数线确定角的集合或范围. 利用三角函数线确定角的集合或范围

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