1.3《函数的奇偶性与单调性教案》(新人教A版必修1)

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高中数学备课组 日期 学生情况： 教师 陈玮祺 上课时间 班级 高一 学生 主课题:函数的奇偶性与单调性 教学目的： 1．理解函数的奇偶性与单调性的定义； 2．掌握函数的奇偶性与单调性的性质； 3. 会判断一个函数的奇偶性与单调性； 4. 能够利用函数的奇偶性与单调性解答相关的函数问题。 教学重点：对函数的奇偶性和单调性性质的理解和运用 教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合运用 教学内容 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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知识精要 1．奇函数 （1）定义 对于定义域D关于原点对称的函数y=f(x)，若任意x?D，都有f(x)=-f(-x)成立，则我们称f(x)为奇函数。 （2）判断方法 ①根据定义判断 ②f(x)+f(-x)=0 ③f(-x)/f(x)=-1（f(x)?0） ④图像：奇函数的图像关于原点对称 （3）一个重要性质：若x=0在奇函数f(x)的定义域内，则必有f(x)=0。 2. 偶函数 （1）定义 对于定义域D关于原点对称的函数y=f(x)，若任意x?D，都有f(x)=f(-x)成立，则我们称f(x)为偶函数。 （2）判断方法 ①根据定义判断 ②f(x)-f(-x)=0 ③f(-x)/f(x)=1（f(x)?0） ④图像：偶函数的图像关于y轴对称 （注：对于定义域D关于原点对称的函数f(x)，若任意x?D，均有f(x)=0，则f(x)为既奇又偶函数。） 3. 函数的单调性 （1）定义：函数y=f(x)，定义域为D，若任意x1f(x2)成立，则f(x)为单调递减函数。 （2）判断步骤 ①设x1

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②分别求f(x1)和f(x2) ③作差或者作商比较大小（一般利用因式分解或者不等式性质证明） ④回答 （3）复合函数的单调性 对于函数y?f(u)和函数u?g(x)，若在区间?a,b?上具有单调性，当x??a,b?时，u??m,n?，且y?f(u)在区间?m,n?上具有单调性，则复合函数y?f[g(x)]在区间 ?a,b?上单调性规律如下： y?f(u) u?g(x) y?f[g(x)] 增 增 增 减 减 增 减 减 减 增 根据此表我们可以把出复合函数的单调性概括为四个字：同增异减。 热身练习： 例1：f(x)=ax+bx+c (a?0),判断其奇偶性。 解析：首先关注定义域，f（x）的定义域为R，关于原点对称。 然后分类讨论：当b=0时，满足f(x)=f(-x)，则f（x）为偶函数； 当b?0时，f（x）是非奇非偶函数。 例2：已知f(x)=2ex?a?e，x?R的图像关于原点对称，求a的值。 21?a，所以a=-1 2?x解析：定义域为R且图像关于原点对称，说明f（x）为奇函数。所以f（0）=0。 将x=0代入，求得0= 例3：下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，+?）上单调递减的函数是（ ） -2-121/3 A.y=x B.y=x C.y=x D.y=x 解析：根据偶函数的定义，可知A和C都是偶函数，然后在（0，+?）上， A单调递减而C单调递增，所以应该选A。 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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精解名题 题型1：奇偶性的判断 例1：判断函数f(x)=(x+1)1?x的奇偶性。 1?x解析：求定义域:（1+x)(1-x)≥0且x-1≠0,解得x∈[-1,1) 定义域不关于原点对称，所以是非奇非偶函数。 （注：判断奇偶性之前必须先确定定义域是否关于原点对称。） 1?x2f(x)?例2：判断 的奇偶性。 x?3?3x?3?3，得出x∈[-1,0)∪(0,1]，关于原点对称。 解析：求定义域： 1?x2?0且 22221?x1?x1?x1?x所以 f(x)??,f(?x)??x?3?3x3?x?3?x可知f(x)=-f(-x)，为奇函数。 题型2：单调性的判断 例3.已知函数f(x)=a·2+b·3,其中a·b>0,判断f(x)的单调性。 解析：当a>0且b>0时，y1=a·2单调递增，y2=b·3单调递增， 所以f(x)=a·2+b·3单调递增。 当a<0且b<0时，y1=a·2单调递减，y2=b·3单调递减， 所以f(x)=a·2+b·3单调递减。 （注：两个单调递增函数的和依然是单调递增函数，两个单调递减函数的和依然是单调递减函数，但是一个单调递增和一个单调递减函数的和无法直接判断单调性。） xxx xxxx xxx www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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题型3：求函数的单调区间 例4.f(x)?x?a,g(x)?x2?2ax?1,(a?0)。f(x)与g(x)图像在y轴上的截距相等。（1）求a （2）求f(x)+g(x)的单调区间 解析：截距相等，且g(0)=1，所以f(0)=1即a=1，又因为a>0，得a=1 当x?1时，f(x)+g(x)=x-1+x+2x+1=x+3x,在[1,+∞)递增。 222 当x<1时，f(x)+g(x)=1-x+x+2x+1=x+x+2=(x+1/2)+7/4,在（-∞，-1/2]上递减，在（-1/2,1）上递增。 所以结论：f(x)+g(x)在（-∞，-1/2]上递减，在（-1/2,1）上递增，在[1,+∞)上递增。 例5：求 的单调区间。 y???解析：复合函数的单调性可以利用同增异减的性质。 22?1??3?x2?3x?2?1? y???在R上单调递减 ?3?23?1?2 y?x?3x?2可化成 ?x???，在[3/2,+∞)上单调递增，在（-∞，3/2]上2?4?单调递减。 xy???所以由同增异减可得 在[3/2,+∞)上单调递减，在（-∞，3/2]上单调递增。 ?1??3?x2?3x?2题型4：单调性在不等式中的应用 例6.已知f(x)在R上递增，若f(-x-kx+1)

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x?logax，在x∈(0,1/2)上恒成立，求a的取值范围。 例7.不等式 a?1时 logax?0，原不等式显然不成立。 解析：因为x∈(0,1/2)，所以若 2y?logax在(0,1/2)上单调递减。 故a∈(0,1)，此时 11111144a?loga??logaa，求出 得： ?a，即 16242所以a∈[1/16,1) 题型5：奇偶性与单调性的综合运用 例8. 已知y=f(x)为奇函数，在（0，+∞）上f(x)<0且单调递减。求F（x)=1/f(x)在 （-∞，0）上的单调性。 解析：因为f(x)是奇函数，图像关于原点对称，所以在（0，+∞）上和在（-∞，0）上的单调性是相同的，所以f(x)在（-∞，0）上单调递减。 又在（0，+∞）上f(x)<0，由f(x)=-f(-x)可得在（-∞，0）上f(x)>0。 任取x1

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x?y),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－1?xyx?x)=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)为奇函数. 1?x2高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

（2）先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令00,1－x1x2>0，∴又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0 ∴x2－x1<1－x2x1, ∴00, 1?x2x1x2?x1x?x1<1,由题意知f(2)<0， 1?x2x11?x1x2即f(x2)3a2－2a+1.解之，得0－时，f(x)>0. 求证：f(x)是单调递增函数。 22www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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解析：证明：设x1＜x2,则x2－x1－>－,由题意f(x2－x1－)>0, ∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－12121211)－1=f［(x2－x1)－］>0, 22∴f(x)是单调递增函数. 自我测试： 1.下列函数中的奇函数是( ) x?1A.f(x)=(x－1) 1?x2??x?x(x?0)C.f(x)=? 2???x?x(x?0) lg(1?x2)B.f(x)=2 |x?2|?2D.f(x)= 1?sinx?cosx1?cosx?sinx 2. 函数f(x)=1?x2?x?11?x?x?1 2的图象( ) B.关于y轴对称 D.关于直线x=1对称 A.关于x轴对称 C.关于原点对称 3. 函数f(x)?3?2x?x2的递增区间是————————————————————————。 4. 已知f(x)?x?ax?bx?8，且f(-2)=10，则f(2)= ． 2 5. 已知y?f(x)是定义在R上的奇函数，当x?0时，f(x)?x?2x?1，求f(x)53在R上的表达式． www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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f(x)?x2?2x?1 6. 函数f(x)的定义域是R，对任意的实数x，y都有f(x)?f(y)?f(x?y)，当x?0，f(x)?0，判断函数的奇偶性与单调性． exa?7. 设a>0, f(x)=是R上的偶函数， aex （1）求a的值； （2）证明： f(x)在(0，+∞)上是增函数。 自测题答案与解析： 22?(x?0)?(x?0)?x?x ??(x?x) 1.f(－x)=? =－f(x)，故f(x)为奇函数. ??22?(x?0)?(x?0)??x?x ??(?x?x) 答案：C 2.计算得f(－x)=－f(x), 所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称. 3. 在定义域[0,+∞）上单调递增， 在（-∞，-1]上单调递增，在（-1，+∞）上单调递减。所以复合之后，原函数在[0,+∞)上是单调递减函数。 4. 将等式右边的-8移到等式左边之后，右边就成了奇函数。然后利用奇函数的f(-x)=-f(x)计算。 答案：f(2)=-26 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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f1(x)?xf2(x)?3?2x?x2??(x?1)2?4高考资源网（ks5u.com） 您身边的高考专家

5.奇函数满足f(-x)=-f(x)，x>0时的解析式是 ，可以得出x<0时x ?的解析式是 f ( x ) ? ? 2 x ? 1 。 6.令y=-x，可得f(x)+f(-x)=0，所以f(x)是奇函数。令y>0，可得f(x+y)-f(x)=f(y)>0。所以f(x)是单调递增函数。 2exa1?x?x+aex 7.（1）依题意，对一切x∈R,有f(x)=f(－x),即aeae1x11)(e－x)=0. 因此，有a－=0, 即a2=1, 又a>0, ∴a=1 eaa111 （2）设0＜x1＜x2,则f(x1)－f(x2)=ex1?ex2?x?x?(ex2?ex1)(x?x?1) e1e2e12 整理得(a－?e(e x1x2?x11?ex1?x2?1)x?x e12 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴ex2?x1?1>0,1－ex1?x2＜0, ∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函数 www.ks5u.com 版权所有@高考资源网

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