精品 数学二轮复习 板块1 精讲2 平面向量与复数 学案

平面向量与复数 记牢向量共线问题的4个结论

(1)若a 与b 不共线且λa ＝μ b ，则λ＝μ＝0；

(2)直线的向量式参数方程：A ，P ，B 三点共线?OP →＝(1－t )OA →＋tOB →(O 为

平面内任一点，t ∈R )；

(3)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1；

(4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ?x 1y 2＝x 2y 1，当且仅当x 2y 2≠0时，a ∥b ?x 1x 2＝y 1y 2

. 1．[教材改编]已知AC 为平行四边形ABCD 的一条对角线，若向量AB →＝(2,4)，

AC →＝(1,3)，则AD →＝( )

A ．(2,4)

B ．(3,7)

C ．(1,1)

D ．(－1，－1)

D [因为AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，所以BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，即AD →＝BC →＝(－1，－1)，故选D ．]

2．在△ABC 中，D 为AB 的中点，点E 满足EB →＝4EC →，则ED →＝( )

A ．56A

B →－43A

C → B ．43AB →－56AC →

C ．56AB →＋43AC →

D ．43AB →＋56AC →

A [因为D 为A

B 的中点，点E 满足EB →＝4E

C →，所以B

D →＝12BA →，EB →＝43CB →，

所以ED →＝EB →＋BD →＝43CB →＋12BA →＝43(CA →＋AB →)－12AB →＝56AB →－43AC →.故选A ．]

3．[多选]设a ，b 是不共线的两个平面向量，已知PQ →＝a ＋sin α·b ，其中

α∈(0,2π)，QR →＝2a －b .若P ，Q ，R 三点共线，则角α的值可以为( ) A ．π6 B ．5π6 C ．7π6 D ．11π6

CD [因为a ，b 是不共线的两个平面向量，所以2a －b ≠0，即QR →≠0.因为

P ，Q ，R 三点共线，所以PQ →与QR →共线，所以存在实数λ，使PQ →＝λQR →，所以a

＋sin α·b ＝2λa －λb ，所以????? 1＝2λ，sin α＝－λ，

解得sin α＝－12.又α∈(0,2π)，故α可为7π6或11π6.故选CD ．]

4．[多选]已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(t,1)，若a ＋b 与3a －2b 共线，则下列结论正确的是( )

A ．t ＝12

B ．|b |＝52

C ．a·b ＝－52

D ．a ∥b

BCD [由已知可得a ＋b ＝(1，－2)＋(t,1)＝(t ＋1，－1)，3a －2b ＝3(1，－

2)－2(t,1)＝(3－2t ，－8)，因为a ＋b 与3a －2b 共线，所以－8×(t ＋1)＋1×(3－

2t )＝0，得到t ＝－12，则|b |＝14＋1＝52，a·b ＝－12－2＝－52，

a ＝－2

b ，即a ∥b ，故选BCD ．]

5．已知G 是△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB ，AC 分别相交于点P ，Q .若AP →＝λAB →，则当△ABC 与△APQ 的面积之比为20∶9时，实数λ的值为________．

34或35 [设AQ →＝μAC →，则由AP →＝λAB →，S △ABC S △APQ ＝209

， 可得12AB ·AC sin A 12AP ·

AQ sin A ＝AB ·AC λAB ·μAC ＝209，

所以λμ＝920. ①

又G 为△ABC 的重心，所以AG →＝13(AB →＋AC →)＝13? ??

??1λAP →＋1μAQ →＝13λAP →＋13μAQ →，结合P ，G ，Q 三点共线，得13λ＋13μ＝1. ②

联立①②消去μ，得20λ2－27λ＋9＝0，解得λ＝34或35.]

6．[一题两空](2020·烟台模拟)如图，在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，

E ，

F 分别是BC ，CD 的中点，若线段EF 上有一点M 满足AM →＝mAB →＋23AD →(m ∈R )，

则m ＝________，AM →·BD →＝________.

56 －13

[法一：设EM →＝λBD →，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点，所以AM →＝AB →＋BE →＋EM →＝AB →＋12AD →＋λBD →＝AB →＋12AD →＋λ(AD →－AB →)＝(1－

λ)AB →＋? ??

??12＋λAD →.又AM →＝mAB →＋23AD →，所以1－λ＝m ，12＋λ＝23，所以λ＝16，m ＝56，所以AM →＝56AB →＋23AD →，所以AM →·BD →＝? ????56AB →＋23AD →·(AD →－AB →)＝23AD →2－56AB →2＋

16AB →·AD →.因为在棱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，所以AM →·BD →＝23×4－56×4＋16×2×2×cos 60°＝－13.

法二：设AM 与BD 交于点P ，则AP →＝23AM →＝23mAB →＋49AD →，因为B ，P ，D

三点共线，所以23m ＋49＝1，所以m ＝56，所以AM →＝56AB →＋23AD →，所以AM →·BD →＝

? ????56

AB →＋23AD →·(AD →－AB →)＝23AD →2－56AB →2＋16AB →·AD →.因为在菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，所以AM →·BD →＝23×4－56×4＋16×2×2×cos 60°＝－13.]

平面向量的数量积的运算的2种形式

(1)依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；

(2)利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．

1．已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a·(2a －b )＝( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

B [因为a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2|a |2－(－1)＝2＋1＝3.所以选B ．]

2．[多选]已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(－2,4)，则( )

A ．a ∥b

B ．(a ＋b )·a ＝－5

C ．b ⊥(a －b )

D ．2|a |＝|b |

ABD [因为1×4＝－2×(－2)，所以a ∥b .又a ＋b ＝(－1,2)，所以(a ＋b )·a ＝－5.a －b ＝(3，－6)，b ·(a －b )≠0，所以C 错误．|a |＝5，|b |＝25，2|a |＝|b |，故选ABD ．]

3．已知向量a ，b 均为非零向量，(a －2b )⊥a ，|a |＝|b |，则a ，b 的夹角为( )

A ．π6

B ．π3

C ．2π3

D ．5π6

B [依题意得(a －2b )·a ＝0，所以a 2＝2a·b ，又|a |＝|b |，所以|a |2＝2|a |2·cos 〈a ，

b 〉，故cos 〈a ，b 〉＝12，所以〈a ，b 〉＝π3，即a ，b 的夹角为π3，故选B ．]

4．[多选]已知|a |＝1，|b |＝3，且|a ＋2b |＝7，则有( )

A ．(3a ＋b )⊥(3a －b )

B ．a·b ＝－23

C ．向量a 与b 的夹角为150°

D ．a 在b 方向上的投影为12

AC [因为|a |＝1，|b |＝3，所以(3a ＋b )·(3a －b )＝3a 2－b 2＝0，所以(3

a ＋

b )⊥(3a －b )，故A 正确；由|a ＋2b |2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝7，故a·b ＝－32，则B

错误；设向量a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a ||b |＝－32，所以θ＝150°，故C 正

确；a 在b 方向的投影为|a |cos θ＝－32，故D 错误．]

5．(2020·大同调研)在直角三角形ABC 中，∠C ＝π2，AC ＝3，取点D ，E ，

使BD →＝2DA →，AB →＝3BE →，那么CD →·CA →＋CE →·CA →＝( )

A ．－6

B ．6

C ．－3

D ．3

D [由BD →＝2DA →，得CD →－CB →＝2(CA →－CD →)，得CD →＝23CA →＋13CB →.

由AB →＝3BE →，得CB →－CA →＝3(CE →－CB →)，得CE →＝－13CA →＋43CB →.

因为∠C ＝π2，即CA →⊥CB →，所以CA →·CB →＝0.

则CD →·CA →＋CE →·CA →＝? ????23CA →＋13CB →·CA →＋? ??

??－13CA →＋43CB →·CA →＝23CA →2－13CA →2＝3，故选D ．]

6．[多选]已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，设a 与b 的夹角为α，则( )

A ．若a ∥b ，则x ＝－2

B ．若x ＝1，则|b －a |＝5

C ．若x ＝－1，则a 与b 的夹角为60°

D ．若a ＋2b 与a 垂直，则x ＝3

ABD [由a ∥b 可得x ＝－2，故A 正确；若x ＝1，则b ＝(2,1)，|b －a |＝|(2,1)－(1，－1)|＝12＋22

＝5，故B 正确；当x ＝－1时，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝2＋12×5＝31010≠12，故C 错误；a ＋2b ＝(5，－1＋2x )，由5＋(－1)(－1＋2x )＝0，解得x ＝3，故D 正确．]

7．[一题两空]在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，cos A ＝14，D 是边BC 的中点，

E 是AB 上一点，且AE →＝λAB →(0≤λ≤1)，AE →·CE →＝12，则λ＝________，ED →·DC →＝

________.

13 0 [由已知得AB →·AC →＝3×2×14＝32

，CE →＝AE →－AC →＝λAB →－AC →，所以AE →·CE →＝λAB →·(λAB →－AC →)＝λ2AB →2－λAB →·AC →＝9λ2－32λ＝12，因为0≤λ≤1，所以λ

＝13.因为ED →＝EB →＋BD →＝23AB →＋12(AC →－AB →)＝16AB →＋12AC →，DC →＝12BC →＝12AC →－12AB →，

所以ED →·DC →＝112(AB →＋3AC →)·(AC →－AB →)＝112(－AB →2－2AB →·AC →＋3AC →2)＝0.]

8．[一题两空](2020·天津高考)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，

BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．

16 132

[依题意得AD ∥BC ，∠BAD ＝120°，由AD →·AB →＝|AD →|·|AB →|·cos ∠BAD ＝－32|AD →|＝－32，得|AD →|＝1，因此λ＝|AD →||BC →|

＝16.取MN 的中点E ，连接DE (图略)，则DM →＋DN →＝2DE →，DM →·DN →＝14[(DM →＋DN →)2－(DM →－DN →)2]＝DE →2－14NM →2＝DE →2－

1

4.注意到线段MN 在线段BC 上运动时，DE 的最小值等于点D 到直线BC 的距

离，即AB ·sin ∠B ＝332，因此DE →2－14的最小值为? ????3322－14＝132

，即DM →·DN →的最小值为132.]

命题点3 复数

掌握复数代数形式的运算的方法

(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类项，不含i 的看作另一类项，分别合并同类项即可；

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题时要注意把i 的幂写成最简形式．复数的除法类似初中所学化简分数常用的“分母有理化”，其实质就是“分母实数化”．

1．(2020·全国卷Ⅲ)若z (1＋i)＝1－i ，则z ＝( )

A ．1－i

B ．1＋i

C ．－i

D ．i

D [ ∵z －(1＋i)＝1－i ，∴z －＝1－i 1＋i ＝(1－i )2(1＋i )(1－i )

＝－i ，∴z ＝i ，故选D ．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)设复数z 满足|z －i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则( )

A ．(x ＋1)2＋y 2＝1

B ．(x －1)2＋y 2＝1

C ．x 2＋(y －1)2＝1

D ．x 2＋(y ＋1)2＝1

C [法一：∵z 在复平面内对应的点为(x ，y )，∴z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )．∵|z －i|＝1，∴|x ＋(y －1)i|＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C ．

法二：∵|z －i|＝1表示复数z 在复平面内对应的点(x ，y )到点(0,1)的距离为1，∴x 2＋(y －1)2＝1.故选C ．

法三：在复平面内，点(1,1)所对应的复数z ＝1＋i 满足|z －i|＝1，但点(1,1)不在选项A ，D 的圆上，∴排除A ，D ；在复平面内，点(0,2)所对应的复数z ＝2i 满足|z －i|＝1，但点(0,2)不在选项B 的圆上，∴排除B ．故选C ．]

3．(2020·四川五校联考)已知a ∈R ，若(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，则a 的值为

( )

A ．－32

B ．32

C ．－23

D ．23

A [(1－a i)(3＋2i)＝(3＋2a )＋(2－3a )i ，由于(1－a i)(3＋2i)为纯虚数，故????? 3＋2a ＝0，2－3a ≠0，

解得a ＝－32，故选A ．] 4．(2020·青岛模拟)复数z 满足1＋i z ＝1－i ，则|z |＝( )

A ．2i

B ．2

C ．i

D ．1

D [法一：z ＝1＋i 1－i

＝2i 2＝i ，则|z |＝1. 法二：|z |＝|1＋i||1－i|＝22＝1.] 5．[多选]已知z 满足(i ＋2)z ＝1－i ，记z 的共轭复数为z ，则下列说法正确的是( )

A ．|z |＝2

B ．z 在复平面内对应的点位于第四象限

C ．z 的虚部为35

D ．z 的实部为15

BCD [由题意得z ＝1－i 2＋i ＝(1－i )(2－i )(2＋i )(2－i )

＝2－i －2i －15＝15－35i ，所以|z |＝105，故A 不对；易知z 在复平面内对应的点位于第四象限，故B 对；z ＝1＋3i 5，所

以z 的虚部为35，实部为15

，故CD 对．故选BCD ．] 6.[多选][教材改编]已知复数z ＝(a －i)(3＋2i)(a ∈R )的实部为－1，则下列说法正确的是( )

A ．复数z 的虚部为－5

B ．复数z 的共轭复数z ＝1－5i

C ．|z |＝26

D ．z 在复平面内对应的点位于第三象限

ACD [z ＝(a －i)(3＋2i)＝3a ＋2＋(2a －3)i ，则3a ＋2＝－1，解得a ＝－1，

所以其虚部为2a －3＝2×(－1)－3＝－5，故A 正确；z ＝－1－5i ，其共轭复数z ＝－1＋5i ，故B 错误；|z |＝(－1)2＋(－5)2＝26，故C 正确；z 在复平面内对应的点为(－1，－5)，位于第三象限，故D 正确．]

7．[多选]已知复数z ＝－1＋3i(i 为虚数单位)，z 为z 的共轭复数，若复数ω＝z z ，则下列结论正确的是( )

A ．ω在复平面内对应的点位于第二象限

B ．|ω|＝1

C ．ω的实部为－12

D ．ω的虚部为32i

ABC [ω＝z z ＝－1－3i

－1＋3i ＝(－1－3i )(－1－3i )(－1＋3i )(－1－3i )

＝－2＋23i 4＝－12＋32i ，ω在复平面内对应的点的坐标为? ??

??－12，32，位于第二象限，|ω|＝14＋34＝1，ω的实部为－12，虚部为32.故选ABC ．]

8．[多选]已知不相等的复数z 1，z 2，则下列说法正确的是( )

A ．若z 1＋z 2是实数，则z 1与z 2不一定相等

B ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22

C ．若z 1＝z 2，则z 1，z 2在复平面内对应的点关于实轴对称

D ．若z 21＋z 22＞0，则z 21＞z 22

AC [当z 1＝2，z 2＝3时，z 1＋z 2＝5∈R ，但z 2＝3，z 1≠z 2，故A 正确；

当z 1＝1＋i ，z 2＝1－i 时，|z 1|＝2，|z 2|＝2，|z 1|＝|z 2|，但z 21＝2i ，z 22＝－2i ，z 21≠z 22，

故B 错误；设z 2＝a ＋b i(a ∈R ，b ≠0)，则z 1＝z 2＝a －b i ，z 1在复平面内对应的点的坐标为(a ，－b )，z 2在复平面内对应的点的坐标为(a ，b )，点(a ，－b )与点(a ，

b )关于实轴对称，故C 正确；设z 21＝2＋2i ，z 22＝1－2i ，z 21＋z 22＞0，但由于z 21，z 22

不能比较大小，故D 错误．]

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ma21.html