高中数学选修1-1：《导数在研究函数中的应用》习题(1)

导数在研究函数中的应用单元测试

一、选择题

1．下列函数在()

-+

，

∞∞内为单调函数的是（）

Ａ．2

y x x

=-Ｂ．y x

=

Ｃ．x

y e-

=Ｄ．sin

y x

=

答案：Ｃ

2．函数ln

y x x

=在区间(01)，上是（）

Ａ．单调增函数

Ｂ．单调减函数

Ｃ．在

1

e

??

?

??

，上是单调减函数，在

1

1

e

??

?

??

，上是单调增函数

Ｄ．在

1

e

??

?

??

，上是单调增函数，在

1

1

e

??

?

??

，上是单调减函数

答案：Ｃ

3．函数23

()(2)(1)

f x x x

=+-的极大值点是（）

Ａ．

4

5

x=-Ｂ．1

x=Ｃ．1

x=-Ｄ．2

x=-

答案：Ｄ

4．已知函数32

()

f x x px qx

=--的图象与x轴相切于(10)

，极大值为4

27

，极小值为（）

Ａ．极大值为4

27

，极小值为0

Ｂ．极大值为0，极小值为

4 27 -

Ｃ．极大值为0，极小值为

5 27 -

Ｄ．极大值为5

27

，极小值为0

答案：Ａ

5．函数2cos

y x x

=+在

π

2

??

??

??

，上取最大值时，x的值为（）

1

Ａ．0 Ｂ．π

6

Ｃ．

π

3

Ｄ．

π

2

答案：Ｂ

6．设函数()

f x在定义域内可导，()

y f x

=的图象如图1所示，则导函数()

y f x

'

=的图象可能为（）

答案：Ｂ

二、填空题

7．函数2

2ln(0)

y x x x

=->的单调增区间为．

答案：

1

2

??

+

?

??

，∞

8．函数2

()ln3

f x a x bx x

=++的极值点为

1

1

x=，

2

2

x=，则a=，b=．答案：

1

2

2

--

，

9．函数42

()25

f x x x

=-+在[22]

-，上单调递增，则实数a的取值范围是．

答案：4

10．函数32

()5

f x ax x x

=-+-在()

-+

，

∞∞上单调递增，则实数a的取值范围是．答案：

1

3

??

+

?

??

，∞

2

11．函数543

()551

f x x x x

=-++在[12]

-，上的值域为．

答案：[102]

-，

12．在一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图2所示．当x为时，正三棱柱的体积最大，最大值是．

答案：

3 65

4 a a ，

三、解答题

13．已知0

x>，证明不等式ln(1)

x x

>+．证明：原不等式等价于证明ln(1)0

x x

-+>．

设()ln(1)

f x x x

=-+，则

1

()1

11

x

f x

x x

'=-=

++

．

3

4 0x >∵，()0f x '>∴．

()f x ∴在(0)x ∈+，∞上是单调增函数．

又(0)0ln10f =-=，

()(0)0f x f >=∴即ln(1)0x x -+>，亦即ln(1)x x >+．

14．已知函数32()32f x x ax bx =-+在1x =处有极小值1-，试求a b ，的值，并求出()f x 的单调区间．

解：由已知，可得(1)1321f a b =-+=-，

又2()362f x x ax b '=-+， ①

(1)3620f a b '=-+=∴， ② 由①，②，解得1132a b ==-，． 故函数的解析式为32()f x x x x =--．

由此得2()321f x x x '=--，根据二次函数的性质，当13

x <-或1x >时，()0f x '>； 当113

x -<<，()0f x '<． 因此函数的单调增区间为13??-- ???，∞和(1)+，∞，函数的单调减区间为113??- ???

，．

15．已知某工厂生产x 件产品的成本为212500020040

C x x =++

（元），问：（1）要使平均成本最低，应生产多少件产品？（2）若产品以每件500元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？

解：（1）设平均成本为y 元，则2125000200250004020040

x x x y x x ++

==++， 225000140

y x -'=+，令0y '=得1000x =． 当在1000x =附近左侧时0y '<；

在1000x =附近右侧时0y '>，故当1000x =时，y 取极小值，而函数只有一个点使0y '=，故函数在该点处取得最小值，因此，要使平均成本最低，应生产1000件产品．

（2）利润函数为2250025000200300250004040x x S x x x ??=-++=-- ??

?，30020x S '=-， 令0S '=，得6000x =，当在6000x =附近左侧时0S '>；在6000x =附近右侧时0S '<，故当6000x =时，S 取极大值，而函数只有一个点使0S '=，故函数在该点处取得最大值，因

此，要使利润最大，应生产6000件产品．

5

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