高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第七节 方向导数与梯度

高等数学 第八章 多元函数微分法及其应用 第七节 方向导数与梯度

§7.方向导数和梯度问题的提出

?

实例：一块长方形的金属板，四个顶点的坐标是 (1,1),(5,1),(1,3),(5,3).在坐标原点处有一个火焰，它使金属板受热.假定板上任意一点处的温度与该点到原点的距离成反比.在(3,2)处有一个青蛙，问这只青蛙应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？ 1 1 n= (3, 2) T= 2 2 13 3 x+y问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向(即梯度方向)爬行.

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一、方向导数讨论函数 z= f ( x, y )在一点P沿某一方向的变化率问题.设函数 z= f ( x, y )在点 P ( x, y )的某一邻域 U ( P )内有定义，自点 P引射线 l.yl

P′

设 x轴与射线 l的夹角′( x+ x, y+ y ) o为 ,并设 P

P

x

y

x

为 l上的另一点且 P′∈ U ( p ). (如图)

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∵| PP′|=ρ= ( x )2+ ( y )2,

且 z= f ( x+ x, y+ y ) f ( x, y ),考虑 z

ρ

,

当 P′沿着 l趋于 P时，

limρ→0

f ( x+ x, y+ y ) f ( x, y )

ρ

是否存在？

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定义如果极限 f ( x+ x, y+ y ) f ( x, y ) lim存在，ρ→0ρ则称这极限为函数在点 P沿方向 l的方向导数.

f ( x+ x, y+ y ) f ( x, y ) f= lim .记为 lρ→ 0ρ依定义，函数 f ( x, y )在点 P沿 x轴正向 e1= (1, 0) f ( x+ x, y ) f ( x, y ) f f=, lim= x→ 0的方向导数 x x l f f= .沿 y轴正向 e 2= ( 0, 1)的方向导数 l y f f , .沿着 x轴负向、 y轴负向的方向导数分别是 x y

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定理如果函数 z= f ( x, y )在点 P ( x, y )是可微分的，那末函数在该点沿任意方向 l的方向导数都存在，且有 f f f cosα+ cosβ= y l x其中α,β为方向 l的方向角.

证明

由于函数可微，则增量可表示为

f f f ( x+ x, y+ y) f ( x, y)= x+ y+ o(ρ) x y两边同除以ρ,得到

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f ( x+ x, y+ y ) f ( x, y )

ρ故有方向导数

f x f y o(ρ )= + +ρ xρ yρ

cosαy

cosβ

f= llimρ→0

l

f ( x+ x, y+ y ) f ( x, y )

ρβ

P′ y

ρo

α x

P

f f cosα+ cosβ .= x y

x

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例1

求函数 z= xe 2 y在点 P (1,0)处沿从点 P (1,0)到点 Q( 2, 1)的方向的方向导数.这里方向 l即为 PQ={1, 1},

解

1 2 2= cosα=, cosβ== , 2 2 2 2 2 2 1+1 1+1 1

z∵= e 2 y (1, 0 )= 1; x ( 1, 0 )所求方向导数

z= 2 xe 2 y (1, 0 )= 2, y ( 1, 0 )

z 2= cosα+ 2 cosβ= . 2 l

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例 2求函数 f ( x, y )= x 2 xy+ y 2在点(1,1)沿与 x轴夹角为α的射线 l的方向导数.并问在怎样的方向上此方向导数有 (1)最大值； (2)最小值； (3)等于零

?解由方向导数的计算公式知

f l

= f x (1,1) cosα+ f y (1,1) sinα( 1,1 )

= ( 2 x y ) (1,1) cosα+ ( 2 y x ) (1,1) sinα,

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故

π= cosα+ sinα= 2 sin(α+ ), 4

π (1)当α=时，方向导数达到最大值 2; 4(2)当α=

5π时，方向导数达到最小值 2; 4

3π 7π (3)当α=和α=时，方向导数等于 0. 4 4

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推广可得三元函数方向导数的定义对于三元函数 u= f ( x, y, z ),它在空间一点 P ( x, y, z )沿着方向 l的方向导数，可定义为 f f ( x+ x, y+ y, z+ z) f ( x, y, z)= lim,ρ→0 lρ

(其中ρ=

( x )+ ( y )+ ( z ) )2 2 2

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设方向 l的方向角为α,β,γ

同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向 l的方向导数都存在，且有

f f f f= cosα+ cosβ+ cosγ . z l x y

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例3

设 n是曲面 2 x 2+ 3 y 2+ z 2= 6在点 P (1,1,1)处的指向外侧的法向量，求函数

1 1 u= ( 6 x 2+ 8 y 2 ) 2在此处沿方向n的方向 z

导数.解2 2 2令 F ( x, y, z )= 2 x+ 3 y+ z 6,

Fx

故 n= Fx, F y, Fz= (4, 6, 2),n= 42+ 62+ 22= 2 14,

P

= 4 x P= 4, F y

(

P

)

= 6 y P= 6, Fz

P

= 2 z P= 2,

方向余弦为

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2 cosα=, cosβ= 3, cosγ= 1 . 14 14 14 u 6x= x P z 6 x 2+ 8 y 2 u 8y= y P z 6 x 2+ 8 y 2=P

6; 14

P

8=; 14

u 6x2+ 8 y2= 14 .= 2 z P z P

u u u u 11故= ( cosα+ cosβ+ cosγ )= . 7 z n P x y P

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例4

考察函数 z= f ( x, y )=

x 2+ y 2在原点

(0,0)处沿任意射线方向 l的方向导数及偏导数.(0+ x ) 2+ (0+ y ) 2 0 2+ 0 2 f解= limρ lρ→ 0 ( x ) 2+ ( y ) 2= lim= 1.ρ→0 ( x ) 2+ ( y ) 2 f ( x,0 ) f ( 0,0 ) f x ( 0,0)= lim x→ 0 x

= lim

x→ 0

x ( x ) 2+ 0 2 0= lim x→ 0 x x

不存在.

z同理： y

| y|不存在. ( 0, 0 )= lim y→ 0 y

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f注意: (1)例4中的方向导数 l求方向导数的定义式来求.

只能按照( 0,0 )

(2)沿任意方向的方向导数存在不能保证偏导数存在，反之也然。

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二、梯度问题:函数在点 P沿哪一方向增加的速度最快?

由方向导数公式知 f f f f= cosα+ cosβ+ cosγ l x y z f f f = ,, (cosα, cosβ, cosγ ) x y z

l P

= G el

= G el cos(G, el ) f= G. cos(G, el )= 1时， max l l∧

∧

称 G为梯度.

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定义设函数 u= f ( x, y, z )在区域 D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点 P ( x, y, z )∈ D,都 f f f i+ j+ k这向量称为函可定出一个向量 x y z,

数 u= f ( x, y, z )在点 P ( x, y, z )的梯度，记为

gradf ( x, y, z )=

f f f i+ j+ k

x y z

(grad是gradient(梯度)的缩写)对于二元函数 z= f ( x, y )

gradf ( x, y )=

f f i+ j x y

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梯度的性质： (1)梯度的方向是函数增长最快的方向，且沿梯度方向的方向导数等于梯度的模.

f∵= gradf el l f l与gradf同向时， max= gradf; l f= gradf . l与gradf反向时， min l f l⊥ gradf时，= 0. l

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结论函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值.梯度的模为

f f | gradf ( x, y )|= + x y 2

2

ygradf f y f x

由定义

f f gradf ( x, y )= , x y o

P

θ

f不为零时，x轴与梯度的夹角的正切(即斜率)为当 x f f tanθ= y x

x

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(2)梯度与等值线的关系：梯度的方向与过点P的等值线上的法向量的一个方向相同，且指向等值线(函数值)增加的方向.在几何上 z= f ( x, y )表示一个曲面曲面被平面 z= c所截得曲线 z= f ( x, y ), z= c此曲线在xoy面上投影如图由于点P处法线斜率为 fy 1 1 f ( x, y )= c2 y = = gradf ( x, y ) dy fx fx P dx fy又由于沿梯度方向的方向导数

o

f ( x, y )= c1(c1< c< c 2 )

f ( x, y)= c

x

f= gradf> 0 l

等值线

∴沿gradf方向 f↑

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等值线的画法0 -.5 02 -. 05 -.5 07 1 1 -. 05 0 05 . 1 1 -. 05 0 1 05 .

播放播放

gradf

gradf

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