2016届高考数学考点专项突破复习讲义：不等式的综合应用(PDF版)

不等式的综合应用

不等式的综合应用

一、知识热点及复习策略

运用不等式解决函数、方程、数列、带有实际意义或在相关学科、生产、生活中的问题时，关键在于把非不等式问题转化为不等式问题；在化归与转化中，要注意等价性；在应用均值不等式处理相关问题时，有时要对式子的结构进行调整，创造所需形式。

二、例题分析

(a b)2a+b(a b)2

例题1、设a>b>

0，证明：<<.

8a28b

例题2、设a,b,c∈R，证明：

（1）

+

abc3++≥. b+cc+aa+b2

（2

）2(

a+ba+b+c ≤3(. 23

例题3、设x,y∈R+，a、b是正常数，且

ab

+=1，求证：x+y≥a+b+2ab. xy

例题4、a，b∈R且a+b<1，求证：a 2ab b

2222

<2.

例题5、某粮食批发市场每天随行情定价，某甲、乙两名采购员在每月同一天去该市场购买同一种大

米，甲每次购买a公斤，乙每次购买b元，问该方案实施三次后，谁的购买方式平均价格更低.

例题6、四边形ABCD对角线交于O点，△AOB面积为4，△COD面积为16，求四边形ABCD面

积的最小值.

3x y 6≤0

例题7、设x，y满足约束条件 x y+2≥0 ，若目标函数z = ax + by（a>0，b>0）的值是最大值

x≥0,y≥0

为12，求

例题8、过P(1,0)做曲线C:y=x(x∈(0,+∞),k∈N+,k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的

投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2， ，依次下去得到一系列点Q1,Q2,Q3, Qn，设Qn的横坐标为an，求证：

n

in k

a≥+1（1）an= ；（2）；（3）<k2 k. ∑n

k 1 k 1 i=1ai

23

+的最小值. ab

k

n

例题9、x轴上有一系列点P1,P2,P3, ,Pn, ，已知当n≥2时，点Pn是把线段Pn 1Pn+1,作n等分的

分点中最靠近Pn+1的点，设线段PP12,P2P3, ,PnPn+1的长度分别为a1,a2,a3, ,an，其中a1=1. （1）写出a2,a3和an(n≥2,n∈N)的表达式； （2）证明：a1+a2+a3+ +an<3

(n∈N )；

（3）设点Mn(n,an)(n>2,n∈N)，在这些点中是否存在两个点同时在函数

y=

k

(x 1)2

(k>0)的图象上，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由.

参考答案（部分）

(a b)2a+b(a b)2

例题1

． < <

8a28b

(a b)2(a b)2 <

< <<

8a8b<

2<

<1< a>b>0

y+z x a= 2b+c=x

z+x y

例题2．（1）设： c+a=y b=

2 a+b=z

x+y z

c= 2

原式左边=

6y+z xx+z yx+y z1 y+zx+zx+y

++= ++ 3 ≥

yz2x2y2z2 x 2

（2）

证明：原式 a+b≤a+b+c ≤c+ ≤c ≤得证

ab bxay

≥a+b+ 例题3．x+y=(x+y

) + =a+b++

xyyx a=rcosθ

(0<r<1)，则 例题4．∵a2+b2＜1 可设

θbr=sin

a2 2ab b2=r2cos2θ 2r2cosθsinθ r2sin2θ=r2cos2θ sin2θ=2

c++3

θθ

π

2sin 0 ≤2< 4

例题5．设三次平价为x,y,z（元/kg） x甲=

3b3ax+ay+azx+y+z

== ，x乙=

bbb1113a3++++xyzxyz

111 3x+y+z

≥又(x+y+z

) ++ ≥ ∴∴x甲≥x乙 xyz3 ++xyz答：若三次单价不全相同，则乙的均价低.若三次单价完全相同，则甲乙均价一样.

例题6．设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，∠AOB=θ

11

解法1：S=4+16+bcsinθ+adsinθ

22≥20+

=20+=20+=36

(当且仅当ab=cd时) ∴Smin=36

解法2：∵

SΔBOCcSΔAODa4c16a

=；

= ∴S=4+16++44acac

≥20+=36

(当且仅当

4c16a

时) ∴Smin=36 =

ac

例题7．Z=ax+by(a b＞0)

a

Z表示斜率为 的截距的b倍，由3x y 6=0

x y+2=0b联立解得B(4，6)，Zmax=4a+6b=12则2a+3b=6

13 23 2a+3b1 6b6a += + = 4+9++

ab ab 6ab 6

{

125≥(13+= 66

例题8.（1）证明：∵y=x∴y′=kx

k k 1

kk 1

则切线PnQn+1方程：y an+1=k an+1(x an+1)

kk 1过点Pn(an,0) ∴0-an+1=kan+1(an an+1)

∴ an+1=k(an an+1) 则

an+1k

=（常数） ank 1

又切线PQ1︰y ak1=ka1k 1(x a1) 过点P(1，0)︰0 a1k=ka1k 1(1 a1) ∴a1=

kk

故{ an}是首项与公比为的等比数列 k 1k 1

n

k ∴an=

k 1

1 k k 1+1

(2)由（1）an= = = 1+

111kkk

11n 1 01

CC1+...+Cnn ≥+=+=C+C nn

k 1k 1k 1 k 1

n

1n

n

n

n

n

ik 1 k 1 k 1 k 1

(3)∑=1×+2 +3 +...+n

akkkk i=1i

n

23n

k 1ni k 1 k 1 k 1 k 1

nn=+2+...+( 1)+∑

ki=1ai k k k k 1nik 1 k 1 k 1 k 1 k 1

n=+++...+ ∑

ki=1aik k k k k

nk 1 k 1

1 n+1k k k 1 = n k 1k 1

k

23nn+1

23nn+1

k 1 n

<(k 1) 1 <k 1

k

∴∑

i=1

n

i

<k2 k ai

例题9．（1）解：由题如图Pn 1Pn=PnPn+1(n 1)

∴an 1=an(n 1)

a1

∴n=

an 1n 1∴∴

aa21a311

=,=......n= a11a22an 1n 1an1=且a1=1 a1(n 1)!

1

(n 1)!1

=1

(2 1)!

∴an=∴a2=

a3=

1 2

11

≤

(n 1)!(n 1)(n 2)

（2）当n≥3时，

Sn=1+1+

111++...+ 2×13×2×1(n 1)!

1111

+++...+ 2×13×24×3(n 1)(n 2)

≤1+1+

1 1 11 11 1

=1+1+ 1 + + +...+

2 23 34 n 1n 2 1=3 ＜3

n 1当n=1时，S1=a1=1＜3

当n=2时，S2=a1+a2=1+1=2＜3

*

综上n∈N，有a1+a2+a3+…+an＜3

（3）假设存在两点P(p，ap)、Q(q，aq) (p≠q, p、q>2且p,q∈N)

同时在y=

k

图象上

(x 1)2

∴ ap=

kk

a= ，且q

(q

1)2(p 1)2

∴ ap(p 1)2=aq(q 1)2 ∴ ∴

p 1q 1

=

(p 2)!(q 2)!

(p 1)(q 1)

=

(p 1)!(q 1)!

22

(n+1)

构造数列： (n∈N*)

n! an+1

=an

(n+2)

(n+2)n+2n+2(n+1)!==<=1

n+(n+1)2n2+2n+1n+2n!

则

n+1

∴ an+1<an ∴ ↓

n!

不存在p、q（p、q>2且p,q∈N） 使得……

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/m9pi.html