高一数学总复习基础知识要点-三角函数

1 高一数学总复习基础知识要点-三角函数 复习提纲 1. ①与?（0°≤?＜360°）终边相同的角的集合（角?与角?的终边重合）：??|??k?360??,k?Z? ??②终边在x轴上的角的集合： ?|??k?180,k?Z ??③终边在y轴上的角的集合：?|??k?180?90,k?Z ????④终边在坐标轴上的角的集合：??|??k?90,k?Z? ?每个学生都应该用的 ⑤终边在y=x轴上的角的集合：??|??k?180?45,k?Z? ?????|??k?180?45,k?Z y??x⑥终边在轴上的角的集合：???????360k?? ??⑦若角与角的终边关于x轴对称，则角与角的关系：????360?k?180?????⑧若角与角的终边关于y轴对称，则角与角的关系： ?????180k?? ??⑨若角与角的终边在一条直线上，则角与角的关系：⑩角?与角?的终边互相垂直，则角?与角???的关系：??360k???90 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 3. 三角函数的定义域： 三角函数 f(x)?f(x)?f(x)?f(x)? 定义域 sinx cosx tanx cotx ?x|x?R? ?x|x?R? 1???x|x?R且x?k???,k?Z?2?? “超级学习笔记” ?x|x?R且x?k?,k?Z? 2 复习提纲 f(x)?secx ???x|x?R且x?k??12?,k?Z???f(x)?? x|x?R且x?k?,k?Z?cscx 4. 三角函数的公式： （一）基本关系 公式组二公式组一 2sin(sin2kx?·?cscx)x?=1sinxtanx=sinxcosxsinx+cos2x=1cos(cos2kx?·?secx)x?=1cosxx=cosxk??x)?tanxsinx1+tan2x=sec2tan(2xcot(tan2kx?·?cotxx)=1?cotx 1+cot2x=csc2xsin(?x)??sinxcos(?x)?cosxtan(?x)??tanx公式组三cot(?x)??cotx 公式组四 公式组五 公式组六 sin(??x)??sinxsin(2??x)??sinxsin(??x)?sinxcos(??x)??cosxcos(2??x)?cosxcos(??x)??cosxtan(??x)?tanxtan(2??x)??tanxtan(??x)??tanxcot(??x)?cotx cot(2??x)??cotx cot(??x)??cotx （二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?co?s cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos2??co2s??si2n??2co2s??1?1?2si2n? ?sin(???)?sin?cos??cos?sin?tan2??2tan 1?tan2? ?1?co?ssin(???)?sin?cos??cos?sin?sin 2??2 tan(???)?tan??tan??1?cos?1?tan?tan?cos?? 22 tan(???)?tan??tan?1?cos?sin?1?cos1?tan?tan?tan? 2??1?cos??1?cos???sin?公式组三 公式组四 sin?cos??12?公式组五sin??????sin??????cos?sin??1 2?sin??????sin??????cos?cos??12?cos??????cos??????每个学生都应该用的 “超级学习笔记” 3 复习提纲 2tan?2sin??1cos(???)?sin?22 1?tan2?1sin(???)?cos?21tan(???)?cot?21cos(???)??sin?2每个学生都应该用的1?tancos??1?tan2?22?2 sin??sin??2sin??????22cossin??????22sin??sin??2cos2tantan??1?tansin15??cos75???2cos??cos??2cos???2cos??????22?2 cos??cos???2sin2sin2???1tan(???)??cot?21sin(???)?cos?2, 6?24sin75??cos15??6?2????4,tan15?cot75?2?3,tan75?cot15?2?3. 5. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 周期性 奇偶性 y?sinxR [?1,?1] y?cosxR [?1,?1] y?tanx y?cotxy?Asin??x???（A、?＞0） R 1??x|x?R且x?k???,k?Z?? 2?? ?x|x?R且x?k?,k?Z?R ? R ? ??A,A? 2? 2? 奇函数 2? ? 偶函数 奇函数 奇函数 当当 单调性 [???0,非奇非偶 奇函数 ????0,“超级学习笔记” ?2[?2k?1??,?2k?,2k?]???????k?,?k??2?；?2?k?,?k?1???上为减?2?2k?]上为增函数[2k?,?2k?1??] 上为增函数（k?Z） 函数（k?Z） 上为增函数；??2k?????2k?????2(A),????1?????2(?A)?????上为增函数； 上为减函数 4 复习提纲 [?（k?Z） ?2k?,23??2k?]2 每上为减函数个学（k?Z） 生都注意： 应该①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反；y??cosx与y?cosx的单调性也同样相反.一▲y用的数（k?Z） 般地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减），则y??f(x)在[a,b]上递减（增）. 上为减函??2k?????2k?????2(A),????3?????2(?A)??????? x②y?sinx与y?cosx的周期是?. T?2?O?x??)或③y?sin(y?tany?cos(?x??)（??0）的周期?. ?xT??T?2??2的周期为2?（，如图，翻折无效）. ?x??)的对称轴方程是④y?sin(x?k???y?o(cs2（k?Z），对称中心（k?,0）；?x??)的对称轴方程是x?k?（1k???,0k?Z）2，对称中心（）；y?tan(?x??)的对称中心“超级学习笔记”k?,02（）. y?cos2x?原点对称????y??cos(?2x)??cos2x ??????k??(k?Z)????k??(k?Z)tan??1,tan???1,22⑤当tan?·；tan?·. ???y?sin?x??2k??2??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则 ⑥y?cosx与1y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x)2. ⑦函数y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，y?tanx为增函数，同样也是错误的]. ⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一 5 复习提纲 是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(?x)?f(x)，奇函数：f(?x)??f(x)） 1y?tan(x??)3是非奇非偶.奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx是奇函数，（定义域不关于原点对称） 奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有f(0)?0.（0?x的定义域，则无此性质） ▲y▲y⑨y?sinx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）； x1/2每个学生都应该用的 xy?cosx是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T??）； y=cos|x|图象y=|cos2x+1/2|图象y?cos2x?12的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如： y?f(x)?5?f(x?k),k?R. ⑩y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos??b22a 有a?b?y. II. 竞赛知识要点 一、反三角函数. 1. 反三角函数：?反正弦函数y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，x???1,1?（一定要注明定义域，若x????,???，没有x与y一一对应，故y?sinx无反函数） ????arcsinx???,?x)?x，x???1,1?，?22?. 注：sin(arcsin?反余弦函数y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?. 注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??. ②y?cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx和y?arcsinx为奇函数. ?反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（arctan(?x)??arctanx，x?(??,??). “超级学习笔记” ???atcra22），y?n,x是奇函数， x)?x，x?(??,??). 注：tan(arctan?反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（ ???,croct22），y?ax是非奇非6 复习提纲 偶. arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??). 注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??). ②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数，y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arccotx非奇非偶但满足arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1]. ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a的取值范围 解集 a的取值范围 解集 ①sinx?a的解集 ②cosx?a的解集 a＞1 ? a＞1 ? a=1 ?x|x?2k??arcsina,k?Z? a=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z? a＜1 ?x|x?k????1?karcsina,k?Z? a＜1 ?x|x?k??arccosa,k?Z? ③tanx?a的解集：?x|x?k??arctana,k?Z? ③cotx?a的解集：?x|x?k??arccota,k?Z?二、三角恒等式. 组一 sin3??3sin??4sin3?sin2??sin2? cos?cos2?cos4?...cos2n??sin2n?1?n?1cos3??4cos3??3cos??cos2??cos2?组二 2sin??ncos?k?cos?cos?sin?k?122cos?48?cos?2n?2nsin?2n ?ncos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?sin((n?1)d)cos(x?nd)k?0sind ?nsin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?sin((n?1)d)sin(x?nd)k?0sind tan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?1?tan?tan??tan?tan??tan?tan? 组三 三角函数不等式 ?sinxsinx＜x＜tanx,x?(0,2) f(x)?x在(0,?)上是减函数 若A?B?C??，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC 每个学生都应该用的 “超级学习笔记”

6 复习提纲 偶. arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??). 注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??). ②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数，y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arccotx非奇非偶但满足arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1]. ? 正弦、余弦、正切、余切函数的解集： a的取值范围 解集 a的取值范围 解集 ①sinx?a的解集 ②cosx?a的解集 a＞1 ? a＞1 ? a=1 ?x|x?2k??arcsina,k?Z? a=1 ?x|x?2k??arccosa,k?Z? a＜1 ?x|x?k????1?karcsina,k?Z? a＜1 ?x|x?k??arccosa,k?Z? ③tanx?a的解集：?x|x?k??arctana,k?Z? ③cotx?a的解集：?x|x?k??arccota,k?Z?二、三角恒等式. 组一 sin3??3sin??4sin3?sin2??sin2? cos?cos2?cos4?...cos2n??sin2n?1?n?1cos3??4cos3??3cos??cos2??cos2?组二 2sin??ncos?k?cos?cos?sin?k?122cos?48?cos?2n?2nsin?2n ?ncos(x?kd)?cosx?cos(x?d)???cos(x?nd)?sin((n?1)d)cos(x?nd)k?0sind ?nsin(x?kd)?sinx?sin(x?d)???sin(x?nd)?sin((n?1)d)sin(x?nd)k?0sind tan(?????)?tan??tan??tan??tan?tan?tan?1?tan?tan??tan?tan??tan?tan? 组三 三角函数不等式 ?sinxsinx＜x＜tanx,x?(0,2) f(x)?x在(0,?)上是减函数 若A?B?C??，则x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC 每个学生都应该用的 “超级学习笔记”

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