东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测 高三数学理科 试

东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测

高三数学 （理科）

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共5页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

（1）已知集合A?{x|0?x?2}，B?{x|(x?1)(x?1)?0}，则A?B?

（A）(0,1) （B） (1,2)

（C）(??,?1)?(0,??) （D） (??,?1)?(1,??) （2）在复平面内，复数

2?i 的对应点位于 i（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

（3）设a?R，则“a??1”是“直线ax?y?1?0与直线x?ay?5?0平行”的

（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件

（4）执行右图所示的程序框图，输出的a的值为

（A）3 （B）5 （C）7 （D）9

（5）在△ABC中，a?15，b?10，A?60，则cosB?

?开始 S=1 a=3 S=S×a S ≥100? 否 是 输出a 结束 13（A） （B） 33622（C） （D） 33

a =a+2 （6）已知直线y?kx?3与圆(x?2)2?(y?3)2?4相交于M，N两点，若MN?23，则k的取值范围为 （A）[?1133,] （B）[?,]

3333 （C） (??,?33] （D）[,??) 33（7）在直角梯形ABCD中，?A?90?，?B?30?，AB?23,BC?2，点E在线段CD

????????????上，若AE?AD??AB，则?的取值范围是

（A）[0,1] （B）[0,3] （C）[0,] （D）[,2]

1212??a,a?b,?x?2,

（8）定义max{a,b}??设实数x,y满足约束条件?则

?b,a?b,??y?2,

z?max{4x?y,3x?y} 的取值范围是

（A）[?6,10]

（B）[?7,10] （C）[?6,8] （D）[?7,8]

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）若函数f(x)为奇函数，当x?0时，f(x)?x?x，则f(?2)的值为 ． （10）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体

的体积为 ．

221 1 2 （主视图）

1 （侧视图）

（俯视图）

（11）若点P(4,4)为抛物线y?2px上一点，则抛物线焦点坐标为 ；点P到抛

物线的准线的距离为 ．

（12）函数y?x?1?x的最大值为 ．

yPAOx1（13）如图，已知点A(0,),点P(x0,y0)(x0?0)在曲线y?x2 4 上，若阴影部分面积与△OAP面积相等时，则x0? ．

（14）设等差数列?an?满足：公差d?N，an?N*，且?an?中任意两项之和也是该数列

*中的一项. 若a1?1，则d? ； 若a1?25，则d的所有可能取值之和为 .

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15）（本小题共13分）

已知函数f(x)?23sinxcosx?2sin2x?1． （Ⅰ）求f(?)的值； 12?2（Ⅱ）求f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值．

（16）（本小题共13分）

已知?an?是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a5?45, a2?a6?14. （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若数列?bn?满足：

（17）（本小题共14分）

如图，在三棱柱ABC?A1B1C1中，B1B?平面A1B1C1AC?CB?CC1?2，

bb1b2?2???n?an?1(n?N*)，求数列{bn}的前n项和. 222n?ACB?90?， D，E分别是A1B1，CC1的中点．

（Ⅰ）求证：C1D∥平面A1BE；

A1 （Ⅱ）求证：平面A1BE?平面AA1B1B； （Ⅲ）求直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值．

A C1 DB1ECB

（18）（本小题共13分）

已知a?R，函数f(x)?lnx?1?ax． x（Ⅰ）当a?0时，求f(x)的最小值；

（Ⅱ）若f(x)在区间[2,??)上是单调函数，求a的取值范围．

（19）（本小题共13分）

x2y2已知椭圆2?2?1(a?b?0)上的点到其两焦点距离之和为4，且过点(0,1)．

ab（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）O为坐标原点，斜率为k的直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于点A(x1,y1)，

B(x2,y2)，若

x1x2y1y2?2?0，求△AOB的面积. 2ab（20）本小题共14分）

an?an?2?an?1若无穷数列{an}满足：①对任意n?N*，；②存在常数M，对任2意n?N*，an?M，则称数列{an}为“T数列”.

（Ⅰ）若数列{an}的通项为an?8?2n(n?N*)，证明：数列{an}为“T数列”； （Ⅱ）若数列{an}的各项均为正整数，且数列{an}为“T数列”，证明：对任意n?N*，

an?an?1；

（Ⅲ）若数列{an}的各项均为正整数，且数列{an}为“T数列”，证明：存在 n0?N*，数列{an0?n}为等差数列.

东城区2013-2014学年第一学期期末教学统一检测

高三数学参考答案及评分标准 （理科）

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）

（1）C （2）D （3）A （4）C （5）C （6）A （7）C （8）B 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）

（9）?6 （10）

3 （11） (1,0) ，5 2（12）2 （13）三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）

6 （14）1,63 4

解：（Ⅰ）由f(x)?23sinxcosx?2sin2x?1

?3sin2xcosx?cos2x，

得f(x)?2sin(2x?所以f(?)． 6??)?2sin?3． ???????8分 123?， 2（Ⅱ）因为0?x?所以

?????2x??． 666???

?，即x?时， 626

?2当2x?函数f(x)在区间[0,]上的最大值为2． 当2x??????，即x?时， 662

?2函数f(x)在[0,]上的最小值为?1．???????13分

（16）（共13分）

解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，则依题设d?0． 由a2?a6?14,可得a4?7．

由a3a5?45，得(7?d)(7?d)?45，可得d?2． 所以a1?7?3d?1．

可得an?2n?1．???????????6分 （Ⅱ）设cn?bn，则c1?c2???cn?an?1. 2n 即c1?c2???cn?2n，

可得c1?2，且c1?c2???cn?cn?1?2(n?1)． 所以cn?1?2，可知cn?2(n?N*)． 所以bn?2n?1，

所以数列?bn?是首项为4，公比为2的等比数列．

4(1?2n)?2n?2?4． ??????????13分 所以前n项和Sn?1?2

（17）（共14分）

M，可知M为DF中点， 证明：（Ⅰ）取AB的中点F，连结DF，交A1B于点

连结EM，易知四边形C1DME为平行四边形， 所以C1D∥EM．

又C1D?平面A1BE，EM?平面A1BE，

所以C1D∥平面A1BE．???????????4分 证明：（Ⅱ）因为AC1B1的中点， 11?C1B1，且D是A所以C1D?A1B1．

因为BB1?平面A1B1C1，所以BB1?C1D． 所以C1D?平面AA1B1B．

又C1D∥EM，所以EM?平面AA1B1B．

又EM?平面A1BE，

所以平面A1BE?平面AA1B1B．???????????９分 解：（Ⅲ）如图建立空间直角坐标系C?xyz，

则B(0,2,0)，C1(0,0,2), E(0,0,1)，A1(2,0,2)．

????? BC1?(0?,????????2，,EA2)1?(2,0,1)，EB?(0,2,?1)．

C1 zB1ED设平面A1BE的法向量为n?(x,y,z).

??????EA1?n?0,则???? ???EB?n?0.所以?A1 MCFA x?2x?z?0,

?2y?z?0.By令x?1. 则n?(1,?1,?2).

?????设向量n与BC1的夹角为?，

?????BC1?n3则cos??????. ???6BC1n所以直线BC1与平面A1BE所成角的正弦值为（18）（共13分）

解：（Ⅰ）当a?0时，f(x)?lnx?3. ????????????14分 61（x?0）， xf'(x)?11x?1??2． xx2x所以，当0?x?1时，f'(x)?0；当x?1时，f'(x)?0． 所以，当x?1时，函数有最小值f(1)?1． ?????６分

11ax2?x?1（Ⅱ）f'(x)??2?a?．

xxx2 当a?0时，ax2?x?1在x?[2,??)上恒大于零，即f?(x)?0，符合要求． 当a?0时，要使f(x)在区间[2,??)上是单调函数，

当且仅当x?[2,??)时，ax?x?1?0恒成立．

21?x恒成立． 2x1?x 设g(x)?2，

xx?2 则g'(x)?，

x3 即a? 又x?[2,??)，所以g'(x)?0，即g(x)在区间[2,??)上为增函数， g(x)的最小值为g(2)??11，所以a??． 441综上， a的取值范围是a??，或a?0．?????13分

4（19）（共13分）

解（Ⅰ）依题意有a?2， b?1．

x2?y2?1． ??????????????????５分 故椭圆方程为4（Ⅱ）因为直线AB过右焦点(3,0)，设直线AB的方程为 y?k(x?3).

?x22??y?1， 联立方程组?4

?y?k(x?3).? 消去y并整理得(4k2?1)x2?83k2x?12k2?4?0． （*）

12k2?483k2 故x1?x2?，x1x2?．

4k2?14k2?1y1y2?k(x?13?k)x(?2?k2． ?3)24k?1

x1x2y1y2x1x2??0?y1y2?0． ，即2 又a2b43k2?1?k221 所以2． ?2?0，可得k2?，即k??24k?14k?12

方程（*）可化为3x2?43x?2?0，

2由AB?1?kx1?x2，可得AB?2．

原点O到直线AB的距离d?所以S?AOB?3kk?12?1.

1AB?d?1． ????????????13分 2（20）（共14分）

（Ⅰ）证明：由an?8?2n，可得an?2?8?2n?2，an?1?8?2n?1，

所以an?an?2?2an?1?8?2n?8?2n?2?2(8?2n?1)??2n?0，

an?an?2?an?1所以对任意n?N*，． 2又数列{an}为递减数列，所以对任意n?N*，an?a1?6． 所以数列{an}为“T数列”．?????????????5分

（Ⅱ）证明：假设存在正整数k，使得ak?ak?1．

由数列{an}的各项均为正整数，可得ak?ak?1?1．

ak?ak?2?ak?1由，可得ak?2?2ak?1?ak?2(ak?1)?ak?ak?2． 2且ak?2?2ak?1?ak?2ak?1?ak?1?ak?1． 同理ak?3?ak?1?2?ak?3，

依此类推，可得，对任意n?N*，有ak?n?ak?n． 因为ak为正整数，设ak?m，则m?N*. 在ak?n?ak?n中，设n?m，则ak?n?0．

与数列{an}的各项均为正整数矛盾．

所以，对任意n?N*，an?an?1.?????????????10分

（Ⅲ）因为数列{an}为“T数列”，

所以，存在常数M，对任意n?N*，an?M． 设M?N*．

由（Ⅱ）可知，对任意n?N*，an?an?1，

则a1?a2?a3???an?an?1??．

若an?an?1，则an?1?an?0；若an?an?1，则an?1?an?1． 而n?2时，有an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)???(an?an?1)．

所以a1，a2?a1，a3?a2，?，an?an?1，?，中最多有M个大于或等于1， 否则与an?M矛盾．

所以，存在n0?N*，对任意的n?n0，有an?an?1?0． 所以，对任意n?N*，an0?n?1?an0?n?0 ．

所以，存在 n0?N*，数列{an0?n}为等差数列.????????????14分

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