3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式 讲义

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式

一、知识点 公式 1、 二倍角公式

2? sin?2s?in2222c? o s cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin?

2? tan?2ta?n

1?ta2n?2、 公式拓展

cos2??sin2?1?tan2??万能公式：cos2??cos??sin??

cos2??sin2?1?tan2?22 sin2??2sin?cos?? tan2??2sin?cos?2tan??

sin2??cos2?1?tan2?2tan?

1?tan2?22升幂公式：1?cos2??cos?，1?cos2??2sin? 1?cos??2cos2?2，1?cos??2sin2?2

1?sin2??sin2??cos2??2sin?cos??(sin??cos?)2 降幂公式：cos??21?cos2?1?cos2?2，sin?? 222 (sin??cos?)?1?sin2? 二、例题

（一） 利用倍角公式求值的问题 例1、利用倍角公式求下列各式的值

2tan1500cos （2）1?2sin750 （3）（1）2sin 12121?tan21500??20（4）cos

?12cos5?13? （5） 0012sin10cos10132(cos100?sin100)cos10?3sin104(sin300cos100?cos300sin100)22??? sin100cos100sin100cos1002sin100cos100004sin(300?100)4sin200???4

sin(2?100)sin200例2、（1）已知sinx? （2）若sin??

例3、计算cos

?5?1，则sin2(x?)?________

421??且2????3?，则sin?cos?________ 3222?4?6?coscos 777例4、求值（1）sin10sin50sin70 （2）sin6sin42sin66sin78

（二） 三角函数式的化简 例5、化简

00020002cos2??12cot(?4??)cos(2?4

??)

例6、已知

3?1111???2?，化简??cos2? 22222例7、已知tan?,tan?是方程x?3x?3?0的两根，

试求sin2(???)?3sin(???)cos(???)?3cos2(???)的值

（三）给值（式）求值或求角的问题 例8、设sin2???

例9、已知tan(

例10、已知sin(

2243?,??(,2?)，求tan?的值 254?4??)?3，求sin2??2cos2?的值

?4?x)sin(?4?x)?1?，x?(,?)，求sin4x的值 62例11、（1）已知sin??cos??3?(????)，求cos2?,tan2?的值 32（2）已知sin(

??2???)sin(??)?(0???)，求sin2?的值 4462?????例12、已知向量a?(sin?,2),b?(cos?,1)，且a?b，其中??(0,)

2（1）求sin?,cos?的值 （2）求sin(???)?

3?,0???,求cos?的值 52

例13、（1）已知sin(?4?x)?5?,0?x?,求134cos2xcos(?x)4?的值

sin(??)154 （2）已知?为第二象限角，sin??，求的值

4sin2??cos2??1

（四）有关三角函数的综合问题

例14、求函数y?sin4x?23sinxcosx?cos4x的最小正周期和最小值，并写出该函数在?0,??上的单调递减区间

??例15、已知??(cos?,sin?),??(0,?),b?(sin?,cos?),??(0,2?)

1??5 又tan?且a?b?

2213???（1）求sin?,cos?的值 （2）求sin?的值

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