高考中常用的数学概念、公式、中间结论

高中数学重要知识点

一、概念

1.集合的基本运算

交集：A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集：A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集：全集为U,集合A(A?U)的补集为CuA={x|x∈U且x?A} 2.(1)全称命题p:?x∈M,p(x)的否定为特称命题

?p:?x0∈M,?p(x0).

(2)特称命题p:?x0∈M,p(x0)的否定为全称命题

?p:?x∈M,?p(x).

3.分段函数:在定义域的不同范围内函数具有不同的解析式,这类函数称为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

4.奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称)，都有f(－x)＝－f(x)成立，则f(x)为奇函数(都有f(－x)＝f(x)＝f(|x|)成立，则f(x)为偶函数)．

5.对数：如果ax?N(a?0,a?1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x?logaN.其中a叫底数, 叫做真数 6.指数函数与对数函数

N

定义 指数函数 对数函数 形如y=ax(a>0且a≠1)的函数 形如y=logax(a>0且a≠1)的函数 图象 定义域 值域 过定点 单调性 R {y|y>0} (0,1) a>1时,在R上单调递增 00} R (1,0) a>1时,在(0,+∞)上单调递增 00时,01 当x>1时,y<0；当00 a>1, a>1, 当x>0时,y>1；当x<0时,01时,y>0；当0

8.导数的几何意义：函数f(x)在x=x0处的导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应的切线方程为y?f(x0)?f'(x0)(x?x0).切点(x0,f(x0))在切线上，又在函数图象上。

1

9.求可导函数极值的步骤

①求导数f′(x); ②求方程f′(x)=0的根;

③列表,检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判断y=f(x)在根左右两侧的单调性),如果左正右负(左增右减),那么f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正(左减右增),那么f(x)在这个根处取得极小值.如果左右两侧符号一样,那么这个根不是极值点. 10.求函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤: ①求y=f(x)在(a,b)内的极值;

②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

11.三角函数定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则 sin α=y, cos α=x, tan α=错误！未找到引用源。y.

x各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 12．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 图象 定义域 值域 R [-1,1] R [-1,1] 在[2kπ-π,2kπ] (k∈Z)上单调增; 在[2kπ,2kπ+π] (k∈Z)上单调递减 {xx≠错误！未找到引用源。+kπ,k∈Z} R 在错误！未找到引用源。 (k∈Z)上单调递增 在错误！未找到引用源。 (k∈Z)上单调增; 单调性 错误！未找到引用源。 (k∈Z)上单调递减 x=2kπ+?k?z?时,ymax=1; 最值 x=2kπ-错误！未找到引用源。,k∈Z时,ymin=-1 奇函数 对称中心 (kπ,0)(k∈Z) 对称性 对称轴 πx?kπ+?k?z? 2π2y=sin x y=cos x y=tan x x=2kπ(k∈Z)时,ymax=1; x=2kπ+π(k∈Z)时,ymin=-1 无最值 奇偶性 偶函数 对称中心 π???kπ+,0?(k∈Z) 2??奇函数 对称中心 错误！未找到引用源。(k∈Z) π 对称轴 x=kπ(k∈Z) 2π 周期 2π 注：y?sinx的周期为?，y?sin2x的周期为?.

2

2

13.向量加减法则

14.平面向量的两个重要定理

(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.

(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的

任一向量a,有且只有一对实数?1,?2,使a=?1e1+?2e2，其中e1,e2是一组基底. 15.平面向量的两个充要条件

若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0.

(2)a⊥b?a2b=0?x1x2+y1y2=0?|a＋b|＝|a－b|. 16.等差数列的相关概念

(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.符号表示为an-an-1=d(n>1,d为常数).

(2)等差中项:若a,A,b成等差数列,则A叫做a与b的等差中项,且A=错误！未找到引用源。

a?b. 217.等比数列的相关概念

(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q(q≠0)表示.符号表示为错误！未找到引用源。

an?q?n?2?，qan?1为常数.

(2)等比中项:如果三个数a、G、b成等比数列,则G叫做a和b的等比中项,那么错误！未找到引用源。

Gb2

=错误！未找到引用源。,即G=ab. aG18.判断二元一次不等式表示的平面区域的方法

(1)在直线Ax+By+C=0的某侧任取一点(x0,y0),通过Ax0+By0+C的符号来判断

Ax+By+C>0(或Ax+By+C<0)所表示的区域.

(2)一般地，若Ax+By+C>0,则当B>0时表示直线Ax+By+C=0的上方；当B<0时，表示直线Ax+By+C=0的下方.若Ax+By+C<0，与上述情况相反. 19.复数的有关概念

(1)复数的定义:形如a+bi(a、b∈R)的数叫做复数,其中实部是a,虚部是b(i是虚数单位)，其中i2??1. (2)复数的分类

?实数(b?0) 复数z?a?bi??纯虚数(a?0) ?(a、b?R)?虚数(b?0)??非纯虚数(a?0)?(3)复数相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R). 特别地,a+bi=0?a=0且b=0(a,b∈R).

(4)共轭复数：复数z=a+bi的共轭复数错误！未找到引用源。=a-bi (5)复数的模:

①建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.

3

②在复平面内,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,实轴上的点都表示实数;除原点以外,虚轴上的点都表示纯虚数.

一一对应一一对应?平面向量错误！未找到引用源。. ?复平面内的点Z(a,b)????③复数z=a+bi????④向量错误！未找到引用源。的模叫做复数z=a+bi的模,记作|z|或|a+bi|, 即|z|=|a+bi|=r=错误！未找到引用源。(r≥0,a、b∈R). 20.(1)直线与平面平行

文字语言 图形语言 符号语言 错误！未找到引l???用源。a?????ll∥a? ?判 平面外一条直线与平面内的一条直线平定 行,则该直线与此平面平行(简记为“线线定 平行?线面平行”) 理 性 一条直线与一个平面平行,则过这条直线质 的任一平面与此平面的交线与该直线平定 行(简记为“线面平行?线线平行”) 理 (2)平面与平面平行

∥α 错误！未找到引a∥??用源。a????????b?? ?a∥b 错误！未找到引用判 一个平面内的两条相交直线与另一个平定 面平行,则这两个平面平行(简记为“线面定 平行?面面平行”) 理 ????源。a∥???α?b∥?? a?b?P??a??b??∥β 性 如果两个平行平面同时和第三个平面相质 交,那么它们的交线平行(简记为“面面平定 行?线线平行”) 理 (3)直线与平面垂直 错误！未找到引用一条直线与一个平面内的两条相交直判定线都垂直,则该直线与此平面垂直(简定理 记为“线线垂直?线面垂直”) a????b???源。a?b?O???l?l?a??l?b?a∥???????a?错误！未????b?? 找到引用源。?a∥b ⊥α 性质 垂直于同一个平面的两条直线平行 定理 (4)平面与平面的垂直 错误！未找到引用 源。a?????a∥b b??? 4

判定一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平定理 面垂直(简记为“线面垂直?面面垂直”) 错误！未找到引用源。l???????? l???错误！未找到引用????????a??源。??ll????l?a?两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的性质直线与另一个平面垂直(简记为“面面垂直定理 ?线面垂直”) ⊥α

21.（1）异面直线所成的角定义：设a、b是两条异面直线,经过空间中任一点O作直线 a′∥a,b′∥b,把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角.

π? 范围:错误！未找到引用源。??0,?.

?2?（2）直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做

这条直线和这个平面所成的角.如图,∠PAO就是斜线 ?π?AP与平面α所成的角. 范围:?0,?.

?2?

（3）二面角定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱.两个半平面叫做二面角的面.如图,记作:二面角αlβ或二面角αABβ或二面角PABQ. 范围：

?0,??

22.直线方程点斜式：y－y1＝k(x－x1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)． 斜截式：y＝kx＋b(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)．

222

23.圆的标准方程:(x-a)+(y-b)=r(r>0);圆心(a,b),半径为r;

2222

圆的一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0);

圆心(-错误！未找到引用源。,-错误！未找到引用源。),半径错误！

未找到引用源。1D2?E2?4F. 2D224.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质 名称 定义 标准 方程 椭圆 双曲线 抛物线 |PF|=|PM|,点F不在直线l上,PM⊥l于M y=2px (p>0) 2|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|) ||PF1|-|PF2||=2a(2a<|F1F2|) 错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。-+错误！未找到引用源。=1 错误！未找到引用源。=1 (a>b>0) (a>0,b>0) 5

图形 范围 顶点 对称性 焦点 轴 离心率 长轴长2a, 短轴长2b e=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。(01) y=±错误！未找到引用源。x 准线 渐近线

25.求曲线轨迹方程的定义法:其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义,则根据定义直接求出动点的轨迹方程.

26.极坐标：设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为ρ.以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ.有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记作M(ρ,θ).

27.常用简单曲线的极坐标方程

曲线 圆心在极点,半径为r的圆 圆心为(r,0),半径为r的圆 圆心为(r,错误！未找到引用源。),半径为r的圆 图形 极坐标方程 ρ=r (0≤θ<2π) ρ=2rcosθ (-错误！未找到引用源。≤θ<错误！未找到引用源。) ρ=2rsinθ (0≤θ<π) θ=α(ρ∈R) 或 θ=π+α(ρ∈R) ρcosθ=a (-错误！未找到引用源。<θ<错误！未找到引用源。) ρsinθ=a (0<θ<π) 28.直线与圆、椭圆的参数方程

过极点,倾斜角为α的直线 过点(a,0),与极轴垂直的直线 过点(a,错误！未找到引用源。),与极轴平行的直线 6

(1)过点M0(x0,y0),倾斜角为α的直线参数方程错误！未找到引用源。?参数)

(2)圆(x-a)+(y-b)=r的参数方程错误！未找到引用源。?2

2

2

?x?x0?tcos?, (t为

y?y?tsin?.0??x?a?rcos?, (θ为参数)

?y?b?rsin?.(3)椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)的参数方程错误！未找到引用源。??x?acos?, (θ为参数)

y?bsin?.?29.将曲线的参数方程化为普通方程时,要把其中的参数消去,还要注意消去参数的过程要

保持普通方程与参数方程的等价性.参数方程化为普通方程常用的消参技巧:代入消元、加减消元、平方后再加减消元等.

30.求解极坐标方程和参数方程的综合问题应统一化为直角坐标方程后处理.

?值是自变量每增加一个单?x?a??b?一定过样本点的中心?x,y?．其中b31.线性回归方程y位，因变量的变化值.

32.离散型随机变量的分布列

(1)设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,?,xi,?,ξ取每一个值xi的概率为P(ξ=xi)=pi,则称下表: ξ P x1 p1 x2 p2 x3 p3 ? ? xi pi ? ? 为离散型随机变量ξ的分布列.

(2)离散型随机变量ξ的分布列具有两个性质:①pi≥0,②p1+p2+?+pi+?=1(i=1,2,3,?). (3)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即P(ξ≥xk)=P(ξ=xk)+P(ξ=xk+1)+?. 二、公式

1.对数性质：loga1?0,logaa?1. alogaN?N,logaaN?N.(a?0,a?1.N?0) 2.运算性质：logaMN?logaM?logaN. logaM?logaM?logaN. NlogaMn?nlogaM(n?R)(a?0,a?1.M?0,N?0)

3.换底公式：logb?logcb.(a?0,a?1.c?0,c?1.b?0.)

alogca4.导数公式及运算法则 (1)导数公式：

c′=0 （c为常数） ； (xn)′=nxn?1 （n?Q*）； (sin x)′＝cos x； (cos x)′＝－sin x； (ax)′＝axln a(a>0且a≠1)； (ex)′＝ex； 11

(logax)′＝(a>0且a≠1)； (ln x)′＝. xln ax

(2)导数的四则运算法则

①[u(x)±v(x)]′=u′(x)±v′(x);

②[u(x)v(x)]′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x);

u?xvx?uxv?x③[错误！未找到引用源。u?x?]′=错误！未找到引用源。?????2???

v?x???v?x???

7

(3)复合函数的求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和y=f(u),u=g(x)的导数之间的关系

'为yx=f′(u)g′(x).

5.同角三角函数的基本关系

sin α

(1)商数关系：＝tanα.(α≠错误！未找到引用源。+kπ,k∈Z)；

cos α22

(2)平方关系：sinα＋cosα＝1(α∈R)． 6.诱导公式 组序 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α(k∈Z) sin α cos α tan α 二 π+α -sinα -cosα tan α 函数名不变 符号看象限 三 -α -sin α cos α -tan α 四 π-α sin α -cos α -tan α 五 六 错误！未找错误！未找到引用源。到引用源。-α +α cos α sin α cos α -sin α 函数名改变 符号看象限 π诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中，“奇、偶”是指“k2±α(k∈

2

Z)”中k的奇偶性；“符号”是把任意角α看作锐角时，原函数值的符号．

7.两角和与差的正弦、余弦、正切公式

cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β, 余余正正符号异 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β, 正余余正符号同 sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β tan(α+β)=错误！未找到引用源。tan(α-β)=错误！未找到引用源。

tan??tan??π???,?,?????kπ,k?Z?, 1?tan?tan??2?tan??tan??π???,?,?????kπ,k?Z? 1?tan?tan??2?8.二倍角的正弦、余弦和正切公式

sin 2α=2sin αcos α.

2222

cos 2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α. tan 2α=错误！未找到引用源。

2tan?.

1?tan2?9.公式的常见变式

(1)tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β). (2)sinα=错误！未找到引用源。

2

1?cos2?1?cos2?2

; cosα=错误！未找到引用源。; 22sin α2cos α=错误！未找到引用源。.

??(3)1+cos α=错误！未找到引用源。2cos2; 1-cos α=2sin2;

22 8

????1+sin α=?sin?cos?错误！未找到引用源。; 1-sin α=错误！未找到引用源。

22???????sin?cos?. 22??2210.形如asin x+bcos x的式子的化简

asin x+bcosx=错误！未找到引用源。a2?b2sin(x+?)

(其中sin ?=错误！未找到引用源。ba?b22,cos ?=错误！未找到引用

源。).

11.正弦定理: 错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=2R(2R为△ABC外接圆的直径).

变形:a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.

sin A=错误！未找到引用源。, sin B=错误！未找到引用源。, sin C=错误！未

找到引用源。.

a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

222222222

12.余弦定理: a=b+c-2bccos A, b=a+c-2accos B, c=a+b-2abcos C.

推论:cos A=错误！未找到引用源。ba2?c2?b22ac2?c2?a22bc, cos B=错误！未找到引用源。

, cos C=a2?b2?c22ab错误！未找到引用源。.

13.三角形常用面积公式

(1)S=错误！未找到引用源。a2ha(ha表示边a上的高); (2)S=错误！未找到引用源。absin C=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。acsin B;

(3)S=错误！未找到引用源。r(a+b+c)(r为三角形内切圆半径). 注意：圆锥曲线题求三角形面积有时会用分割法。

14.平面向量的运算

(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=(x1±x2,y1±y2); (2)若a=(x,y),则λa=(λx,λy).

??22

|a|＝a2a＝x＋y. ?a??a.

(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2 )，则中点C(x1?x2,y1?y2). AB?(x2?x1,y2?y1)

22(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，

a2bx1x2＋y1y2

则cos θ＝＝2 . 222

|a||b|x1＋y1 x2＋y2

(a?b)?(c?d)?a?c?a?d?b?c?b?d.

15.等差数列

(1)若等差数列{an}的首项是a1,公差为d,则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 通项的推广:an=am+(n-m)d.

(2)等差数列的前n项和公式Sn=

n?a1?an?2错误！未找到引用源。= na1?n?n?1?d2

9

16.等比数列

n-1

(1)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,q≠0,则它的通项公式an=a1q. 通项公式的推广

n-m

an=am2q.

a1?1－qn?a1－anq

(2)等比数列的前n项和公式 ： q≠1，Sn＝＝

1－q1－qq＝1，Sn＝na1

17. 复数的加、减、乘、除运算法则 设z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R),则

①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; ②减法:z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i; ③乘法:z12z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;

?bdbc?ad ④除法:错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=ac?2i222c?dc?d(c+di≠0).

18. 表面积和体积公式

①柱体的体积V=Sh; ②锥体的体积V=错误！未找到引用源。Sh; ③台体的体积V=错误！未找到引用源。(S′+错误！未找到引用源。SS?+S)h ④球的表面积和体积: S球＝4?R2， V球＝4?R3.

31319.空间向量运算的坐标表示

设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么

①加、减运算:a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2). ②数量积:a2b=x1x2+y1y2+z1z2.

③夹角公式:cos=错误！未找到引用源。x1x2?y1y2?z1z2222x?y12?z12x2?y2?z221. ④模长公式:|a|=错误！未找到引用源。a?a=错误！未找到引用源。x12?y12?z12. ⑤数乘运算:λa=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R).

⑥平行的充要条件:a∥b ? x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R). ⑦垂直的充要条件:a⊥b ? x1x2+y1y2+z1z2=0. 20．用向量求空间中角的公式

(1)直线l1，l2夹角θ有 cos θ＝|cos〈l1，l2〉|；

(2)直线l与平面α的夹角?有：sin?＝|cos〈l，n〉|(其中n是平面α的法向量)；

(3)平面α，β夹角余弦为cos? =cos?=|cos〈n1，n2〉|，则α -l-β二面角的平面角为θ或π－θ.(其中n1，n2分别是平面α，β的法向量) 21.求空间距离 (1)两点间距离求法

若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则|错误！未找到引用源。|=错误！未找源。?x1到引用

?x2???y1?y2???z1?z2?222. 10

(2)点面距的求法

设n是平面α的法向量,点A在平面α内,点B在平面α外,则点B到平面α的距离为错误！未找到引用源。

????AB?nn.

(3)线面距、面面距均可转化为点面距再用(2)中方法求解. 22.直线的倾斜角与斜率

①直线的倾斜角范围为?0,??,注意任意直线都有倾斜角。

②直线的斜率：斜率与倾斜角的关系是k?tan?(??90?)，注意倾斜角为90°的直线没有斜率。

③过两点的直线的斜率公式:经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=y2?y1

x2?x1注意：两条直线平行是两条直线斜率相等的既不充分也不必要条件,即l1//l2时,l1,l2的斜率可不能推出k?k，k?k不能推出l//l能不存在，k1?k2时l1,l2可能重合.

两条直线l1,l2垂直是两直线的斜率乘积为-1的必要不充分条件，即l1?l2时,l1,l2可能一条斜率为0，另一条斜率不存在. 23.求平面距离

(1)两点距离:两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=错误！未找到引用源。.

(2)点线距离:点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0(A、B不同时为0)的距离d=错误！未找到引用源。.

(3)线线距离：两平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离d=错误！未找到引用源。. 24.有关弦长的问题 (1)圆的弦长的求法

法一：几何法:圆的弦长的计算常用弦心距d,弦长一半错误！未找到引用源。l及圆的半

1?错误！径r所构成的直角三角形来解,即r=d+?未找到引用源。. ?l??2?2

2

212

《 球：任意截面是圆面（经过球心的平面，截得的圆叫大圆，不经过球心的平面截得的圆叫小圆）.球心和截面圆心的连线垂直于截面，并且r?R2?d2，其中R为球半径，r为截面半径，d为球心到截面的距离。》

法二：利用弦长公式|P1P2|=错误！未找到引用源。|x1-x2|=错误！未找到引用源。

1?k2(x1?x2)2?4x1x2 (2) 圆锥曲线的弦长公式

①斜率为k的直线与圆锥曲线相交于两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),则弦长|P1P2|=错误！未找到引用源。|x1-x2|=错误！未找到引用源。1?k2(x1?x2)2?4x1x2或 |P1P2|=错误！未找到引用源。1?到引用源。.

11

11|y-y|=1?(y1?y2)2?4y1y2（k1222kk?0）错误！未找

②当直线的斜率不存在时,求出交点直接运算.

22b椭圆与双曲线的通径长为；抛物线通径为2p.

a抛物线y2?2px(p?0)的焦点弦长|AB|=x1+x2+p. 25.对角线垂直的四边形ABCD面积为：12AC?BD.

26.极坐标与直角坐标的互化

设点P的直角坐标为(x,y),它的极坐标为(ρ,θ),则直角坐标方程化为极坐标方程的公式为错误！未找到引用源。????x2?y2,用源。? ?y?tan??.x??x??cos?,极坐标方程化为直角坐标方程的公式为错误！未找到引

y??sin?,?27．频率分布直方图

频率

(1) 频率＝小长方形的面积＝3组距； 频率＝频数.

组距样本容量(2)各小长方形的面积之和等于1.

28.样本数据的数字特征

1

平均数： x＝(x1＋x2＋?＋xn)．

n12222

方差：s＝ [(x1－x)＋(x2－x)＋?＋(xn－x)]．

n29.怎样利用频率分布直方图求众数、中位数、平均数与方差? (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数; (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;

(3)平均数等于每个小长方形底边中点的横坐标乘以小长方形的面积之和;

(4)方差等于每个小长方形底边中点的横坐标与平均数的差的平方乘以小长方形面积之和. 30.排列、组合

(1)错误！未找到引用源。Amn=n(n-1)(n-2)?(n-m+1) =错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。=n!, 0!=1 (n∈N,m∈N,m≤n).

An=错误！未找到引用源。(2)错误！未找到引用源。Cmn=错误！未找到引用源。mAmmn!, ?n?m?!**

n?n?1??n?2?…?n?m?1?m!=错误！未找到引用源。

n!. m!?n?m?!31.二项式定理

nnn-11(a+b)=错误！未找到引用源。C0b+?+错误！未找到引用na+错误！未找到引用源。Cna

n-rrn-1?1源。Crnab+?+错误！未找到引用源。Cn+nab

n*错误！未找到引用源。Cnnb(n?N).

n-rr

(1)通项(展开式的第r+1项):Tr+1=错误！未找到引用源。ab,其中错误！未找到引用源。(r=0,1,?,n)叫做二项式系数.

(2)二项式系数最值问题：当n为偶数时，中间一项即第＋1项的二项式系数C最大；当

2n?1n?1n＋1n＋3

n为奇数时，中间两项即第，项的二项式系数Cn2，Cn2相等且最大．

22

12

nn2n(3)求两个二项积展开式中x项(或系数)，要用系数配对． 32.概率计算公式

事件A包含的基本事件数m(1)古典概型：P(A)＝；

基本事件总数n(2)几何概型：

构成事件A的区域长度?面积或体积?

P(A)＝

试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?33.离散型随机变量的期望值和方差

期望E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.反映了X的平均值.

222

方差D(X)＝(x1－E(X))·p1＋(x2－E(X))·p2＋…＋(xn－E(X))·pn， 标准差DX.反映了X的离散程度.

34.互斥事件有一个发生的概率：P(A∪B)＝P(A)＋P(B)； 对立事件的概率：P(A)＝1－P(A)；

相互独立事件同时发生的概率：P(AB)=P(A)P(B).

35.条件概率：在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)=错误！未找到引用源。P?AB?.

P?A?k36.超几何分布

一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则P(X=k)=错误！未找

n?k*CkMCN?M到引用源。,k=0,1,2,?,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N.则称随机变nCN量X服从超几何分布. 37.二项分布

在一次随机试验中,某事件可能发生也可能不发生,在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是p,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

kn-k

Pn(ξ=k)=错误！未找到引用源。pq(k=0,1,2,3,?, q=1-p) 于是得到随机变量ξ的概率分布如下:

ξ 0 1 ? k ? n 错误！错误！错误！错误！未找到未找到未找到未找到Pn(ξ) 引用引用? 引用? 引用源。源。源。n0源。pq 0n1n-1kn-k0Cnpq pq pq kn-kn0n

由于错误！未找到引用源。pq恰好是二项展开式(q+p)=错误！未找到引用源。pq+错误！

1n-1kn-kn0

未找到引用源。pq+?+错误！未找到引用源。pq+?+错误！未找到引用源。pq中的各项的值,所以称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作ξ～B(n,p),其中n,p为参数.

若ξ～B(n,p),则E(ξ)=np,D(ξ)=np(1-p).

13

三、中间结论

1．判断函数单调性的方法: 定义法 图象法 导数法 运算法 区间D上的增函数 区间D上的减函数 x1f(x2) 自左向右函数图象下降 导数小于零 减函数+减函数 内外层单调性相反 复合函数法 内外层单调性相同 注意:函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f′(x)≥0,f′(x)>0是f(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.

2.函数奇偶性的重要结论

(1)f(x)为奇函数?f(x)的图象关于原点对称； f(x)为偶函数?f(x)的图象关于y轴对称． (2)在x=0处有定义的奇函数f(x)一定有f(0)=0. (3)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性， 偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性． 3.函数图象平移变换的相关结论

作出函数y=错误！未找到引用源。的图象

∵y=2+错误！未找到引用源。,故函数图象可由y=错误！未找到引用源。的图象向右平移1个单位,再向上平移2个单位而得,如图所示.

4.存在性问题与恒成立问题容易混淆,它们既有区别又有联系:若f(x)≤m恒成立,则

f(x)max≤m;若f(x)≥m恒成立,则f(x)min≥m.若f(x)≤m有解,则f(x)min≤m;若f(x)≥m有解,则f(x)max≥m.

若f(x)min?g(x)max,则f(x)?g(x).反之，不一定成立. 5.关于三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d(a?0)： f'(x)?3ax2?2bx?c.f'(x)?0中??(2b)2?4?3ac.

当a?0时，若??0，则f'(x)?0，f(x)在R上递增；

若??0，f'(x)?0两根为x1,x2.（x1?x2），则f(x)在???,x1?上递增，(x1,x2)

上递减，?x2,???上递增.

当a?0时，若??0，则f'(x)?0，f(x)在R上递减.

14

若??0，f'(x)?0两根为x1,x2.（x1?x2），则f(x)在???,x1?上递减，(x1,x2)

上递增，?x2,???上递减.

三次函数是中心对称图形。 6.几组特殊值

sin150?6?26?2. sin750?. tan150?2?3. tan750?2?3. 44tan??2，正弦绝对值25，余弦绝对值5;

55110，余弦绝对值310.

tan???，正弦绝对值

310107．三点共线的判定

????????（1）A，B，C三点共线 ? AB，AC共线；

??????????????????（2）向量PA，PB，PC中三终点A，B，C共线 ? 存在实数α，β使得PA＝αPB＋

????βPC，且α＋β＝1.

特别地，α=β=1,A为BC的中点。

28. 若a?b,则a?c?b?c 9. an与Sn的关系 (1)Sn=a1?a2???an.

(2)若数列{an}的前n项和为Sn,则an=错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

??S1 ?n?1?, （需检验a1是否符合n≥2时,an的表达式,若符合则把通项公式合写,否则?S?S n?2.??n?1??n应分n=1与n≥2两段来写.）

10. 裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.

1①错误！未找到引用源。=1?1; ②错误！未找到引用源。

n?n?1?nn?11?2n?1??2n?1?22n?1=1(1?1)错误！未找到引用源。; 2n?11n?n?1③错误！未找到引用源。11. 一元二次不等式的解集

=错误！未找到引用源。n?1?n.

若x1，x2是方程ax2?bx?c?0(a?0)的两不等实根（x1?x2）， 则ax2?bx?c?0(a?0)的解集为?x|x?x1或x?x2? ax2?bx?c?0(a?0)的解集为?x|x?x1或x?x2? ax2?bx?c?0(a?0)的解集为?x|x1?x?x2?

15

ax2?bx?c?0(a?0)的解集为?x|x1?x?x2?.

提示:若a<0,则可以先进行转化,使x的系数为正,但是一定要注意在转化过程中不等号的变化.

y－2

12．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如是指已知x＋2

22

区域内的点(x，y)与点(－2,2)连线的斜率，而(x－1)＋(y－1)是指已知区域内的点(x，y)到点(1,1)的距离的平方等．

nn13.a＞b＞0 ?a＞b (n∈N,n≥1).

a>b>0?错误！未找到引用源。 a＞b (n∈N,n≥2). 14.六个重要的不等式

2

(1)|a|?0, a?0(a∈R);

22

(2)a+b?2ab(a,b∈R);

(3)错误！未找到引用源。?错误！未找到引用源。(a,b>0);

2

(4)ab?（错误！未找到引用源。）(a,b?R); (5)错误！未找到引用源。a2?b222

nn ?错误！未找到引用源。?错误！未找到引用源。?错误！

未找到引用源。(a,b>0);

222

(6)2(a+b)?(a+b)(a,b∈R,当a=b时等号成立). 15.a2?b2?c2?ab?bc?ca.(a,b,c?R)

16.定理:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立. 结论：||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.

||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|.

17.绝对值不等式的解法

(1)含绝对值的不等式|x|a的解集

不等式 |x|a a>0 {x|-a0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c;

②|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c.

(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想. 方法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;

方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.

提示:数轴上,设与实数x,a,b对应的点分别为P,A,B,则|x-a|+|x-b|的几何意义为|PA|+|PB|.

(4)形如|ax+b|≥|cx+d|的不等式,可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解. 18.柯西不等式二维形式:

22222

若a,b,c,d都是实数,则(a+b)(c+d)≥(ac+bd),当且仅当ad=bc时,等号成立. 19.复数的几个常见结论

1＋i1－i2

(1)(1±i)＝±2i； (2)＝i，＝－i；

1－i1＋i

16

(3)i＝1，i＝i，i＝－1，i＝－i， i＋i＋i＋i＝0(n∈Z)； 20.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质 ①圆心在过切点且与切线垂直的直线上; ②圆心在任一弦的中垂线上;

③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线. 21.（1）直线与圆的位置关系

几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr?相离，d＝r?相切． （2）圆与圆的位置关系

几何法:设圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2

两圆外离?|O1O2|>r1+r2;2条内公切线，2条外公切线 两圆外切?|O1O2|=r1+r2;1条内公切线，2条外公切线 两圆相交?|r2-r1|<|O1O2|

（3）直线与椭圆的位置关系

将直线与椭圆的方程联立,消去一个未知数,得到一个一元二次方程,若Δ>0,则直线与椭圆相交;若Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离. 22. 圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值

F1、F2为椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆上的任意一点,则有|PF1|∈[a-c,a+c]. (2)双曲线中的最值

F1、F2为双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P1为双曲线左支上的任一点, P2为双曲线右支上的任一点,O为坐标原点,则有 ①|OP1|≥a. P2a. 1P2?②|P1F1|≥c-a. P2F1? c+a.

23. 圆锥曲线中涉及弦中点的问题,常用“点差法”设而不求,将动点A、B的坐标,弦中点M坐标和弦所在直线的斜率联系起来,相互转化.

椭圆错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=1(a>b>0)中有k222yx椭圆2?2?1(a>b>0)中有kOM?kAB??a. abb2OM4n4n＋14n＋24n＋34n4n＋14n＋24n＋3

?kAB??b2 .a2双曲线错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。=1(a>0,b>0)中有k222双曲线y2?x2?1(a>0,b>0) 中有kOM?kAB?a.

2OM?kAB?b2 .a2abb

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