有理数计算的常用方法

有理数计算的常用方法

有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。为此老师给大家总结出解有理数计算题的十三种常用方法，以供参考． 一、倒序相加法

例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。

分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。 解：用字母S表示所求算式，即 S＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。 ① 再将S各项倒过来写为

S＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。 ② 将①，②两式左右分别相加，得

2S?(1?1999)?(3?1997)???(1997?3)?(1999?1)?2000?2000???2000?2000(1000个2000) ?2000?1000

从而有

说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。

另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用a1表示；最后一项叫末项，通常用an表示，相等的差叫公差，通常用d表示，项数用n表示（

S?2000?1000?1000000.2

n?an?a1?1d），则该题也可以用等差数列的求和（Sn）公式：

Sn?(a1?an)n2来计算。

二、凑整法

例2 计算：

2002＋98＋997＋9996＋99995．

分析 题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解． 解1 原式

＝ (2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5) ＝ 1988＋100＋1000＋10000＋100000

1

＝ 113088．

例3 若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋ 79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．

分析 将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出， 解 原式

＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋ (49994＋6)＋(599995＋5)＋ (6999996＋4)＋(79999997＋3)＋ (899999998＋2)－9＋8＋7＋…＋2)

＝ (20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)

＝987654320－44 ＝987654276．

∴S的末四位数字之和是 4＋2＋7＋6＝19． 三、分组结合法 例4 计算：

1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．

分析 题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果． 解 原式

＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011) ＝（－2）×503 ＝－1006． 例5 计算：

1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．

分析 观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法． 解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．

本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法． 解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0． 四、分解相约法 例6 计算： (10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．

分析 被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．

解 原式＝

2

1． 11五、巧用运算律法

＝

23797?6.6??2.2??0.7??3.3?． 1173118 分析 本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计 算．

解 原式

六、妙用性质法 例8 计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．

分析 本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a÷(b÷c)＝a÷b×c＝a×c÷b．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．

解 原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011

＝ (1×3×4×…×2011)÷(2×3×4×…×2010)

＝2011÷2

＝1005.5．

七、添项相加法 例9 计算：

512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．

分析 经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l（末项），使问题得以顺利解决．

解 原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(2＋2)－1 ＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1 ＝…

＝512＋(256＋256)－1 ＝512＋512－1＝1023． 八、错位相减法

例7 计算：0.7?12399100例10 计算1?5?5?5???5?5的值。

分析：观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍，如果将和式各项

3

都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算。

299100 解：设S?1?5?5???5?5，① 23100101 所以5S?5?5?5???5?5.②

5101?1S?1014。 ②－①，得4S?5?1，所以

说明：如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等（本例中是都等于5），那

么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决。

例11 计算：1?248162． ????3927812432，考虑用错位相减法解． 3分析 观察算式发现，从第二项起，每一项是前一项的

九、活用公式法 例12 计算：1?111?2?…?10． 33313 分析 上式从第二项起，后一项与前一项的比值都是，因此它是道等比数列求和

a1(1?qn)题．可用公式Sn?求解，其中Sn表示前n项的和，n表示项数，q表示公比，a1

1?q表示首项，

解 原式

例13 计算:19492－19502＋19512－19522＋… ＋20092－20102＋20112．

分析 上式除末项外，前面的项顺次每两项构成平方差形式，可用平方差公式分解后再计算．

4

解 原式

十、拆项法

359173365?????． 248163264 分析 和式中每个相加的分数分子都比分母大1，而分母依次是后一个分母是前一个分母的2倍，于是我们可以先拆项，再相加．

例12 计算： 解 原式

十一、裂项相减法

例13 计算：

1111…?． ???1?21?2?31?2?3?41?2?3??100 分析：一般情况下，分数计算是先通分，但本题通分计算很繁。由1＋2＋……＋100

1?想到等差数列求和公式：

Sn?12111(1?n)n???2，所以Snn(n?1)，又有nn?1n(n?1)想

111??到n(n?1)nn?1，从而把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法。

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