概率论与数理统计试题库（优秀资料，免费下载）

《概率论与数理统计》试题（1）

一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 对任意事件A和B，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则(A∪B)-B=A ( )

⑶ 若X服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差S2n=

1nn?(Xi?1i2?X)是母体方差DX的无偏估计 （ ）

二 、（20分）设A、B、C是Ω中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来 （1）仅A发生，B、C都不发生；

（2）A,B,C中至少有两个发生； （3）A,B,C中不多于两个发生； （4）A,B,C中恰有两个发生； （5）A,B,C中至多有一个发生。

三、（15分） 把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X的分布列为

X?215?116015111531 13012

P求Y?X2的分布列.

五、（10分）设随机变量X具有密度函数f(x)?求X的数学期望和方差.

六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14?X?30).

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设X1,X2,?,Xn是来自几何分布 P(X?k)?p(1?p)k?1e?|x| ，?＜ x＜?，

,k?1?,2,,?0p?， 1的样本，试求未知参数p的极大似然估计.

《概率论与数理统计》试题（1）评分标准

一 ⑴ ×；⑵ ×；⑶ √；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）ABC

（2）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC；

（3）A?B?C或ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC?ABC； （4）ABC?ABC?ABC；

（5）AB?AC?BC或ABC?ABC?ABC?ABC

每小题4分；

三 解 设A?‘三段可构成三角形’，又三段的长分别为x,y,a?x?y，则0?x?a,0?y?a,0?x?y?a，不等式构成平面域S.------------------------------------5分

a A发生?0?x?,0?y?,?x?y?a

222S a/2 不等式确定S的子域A，----------------------------------------10分

所以

A a /2 a P(A)?0

四 解 Y的分布列为

Y014

P17191 1 .

A的面积S的面积?14aaa -----------------------------------------15分

530530 Y的取值正确得2分，分布列对一组得2分；

1?|x|x?（因为被积函数为奇函数）--------------------------4分 ???2edx?0，

????221?x||?2xxedx??xedx DX?EX????02五 解 EX??? ??x2e?x?2[?xe??0?2????0??0xedx

edx]?2.----------------------------------------10分

?x?x?x??0?

六 解 X～b(k;100,0.20), EX=100×0.2=20, DX=100×0.2×0.8=16.----5分 30?2014?20P(14?X?30)??()??()---------------------------10分

1616 ??(2.5)??(?1 .5 =0.994+0.933--1

7 ?0.92.--------------------------------------------------15分

nn七 解 L(x1,?x,np;?)?pi?1?(p1xi?1)?pn?xi?n?p(1i?1)----------5分

n lnL?nlnp?(?i?1 X?n)ln?(1pi?n),n 解似然方程

dlnLdp?npn?X?i?1i1?p?0,--------------------------------10分

np?n???Xi?1i1?p，

得p的极大似然估计

1p? ?。--------------------------------------------------------------------15分

X

《概率论与数理统计》期末试题（2）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

1． 设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)?P(B)?0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为__________. 2． 设随机变量X服从泊松分布，且P(X?1)?4P(X?2)，则P(X?3)?______.

3． 设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y?X在区间(0,4)内的概率密度为fY(y)?_________. 4． 设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为?的指数分布，P(X?1)?eP{min(X,Y)?1}=_________.

?22，则??_________，

5． 设总体X的概率密度为

???(??1)x, f(x)????0,0?x?1,其它 ???1.

X1,X2,?,Xn是来自X的样本，则未知参数?的极大似然估计量为_________.

解：1．P(AB?AB)?0.3

即 0.3?P(AB)?P(AB)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?0.5?2P(AB) 所以 P(AB)?0.1

P(A?B)?P(AB)?1?P(AB)?0.9. 2．P(X?1)?P(X?0)?P(X?1)?e 由 P(X?1)?4P(X?2) 知 e16??????e????,2P(X?2)????22e??

??e?2?e

2 即 2????1?0 解得 ??1，故

P(X?3)?e?1.

3．设Y的分布函数为FY(y),X的分布函数为FX(x)，密度为fX(x)则 FY(y)?P(Y?y)?P(X?2y)?P(?y?X?)yX?F()Xy? F(?)y 因为X~U(0,2)，所以FX(?y)?0，即FY(y)?FX(y) 故

fY(y)?FY?(y)?212yfX(?1,?y)??4y??0,0?y?4,

其它. 另解 在(0,2)上函数y?x严格单调，反函数为h(y)?所以

fY(y)?fX(y ?1,1?y)???4y2y??0,0?y?4,

其它. 4．P(X?1)?1?P(X?1)?e???2?e，故 ??2

P{minX(Y,?)?1}?1P ?1?e?4.

{mXinY(?,?1?P(X?1)P(Y? 1)n 5．似然函数为 L(x1,?,xn;?)? lnL?nln?(?

dlnLd??nn?(?i?1n?n??1)xi?(??1)(x1,?,xn)

?1?)?i?1ixl n??1??lnxi?1i?0

解似然方程得?的极大似然估计为

1?? ??1. n1?lnxini?1

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设A,B,C为三个事件，且A,B相互独立，则以下结论中不正确的是 （A）若P(C)?1，则AC与BC也独立. （B）若P(C)?1，则A?C与B也独立. （C）若P(C)?0，则A?C与B也独立.

（D）若C?B，则A与C也独立. （ ） 2．设随机变量X~N(0,1),X的分布函数为?(x)，则P(|X|?2)的值为 （A）2[1??(2)]. （B）2?(2)?1.

（C）2??(2). （D）1?2?(2). （ ） 3．设随机变量X和Y不相关，则下列结论中正确的是

（A）X与Y独立. （B）D(X?Y)?DX?DY.

（C）D(X?Y)?DX?DY. （D）D(XY)?DXDY. （ ） 4．设离散型随机变量X和Y的联合概率分布为

(X,Y)(1,1)1619(1,2)19(1,3)118(2,1)13(2,2)(2,3)

P??

若X,Y独立，则?,?的值为 （A）?? （C） ??29,,????. （A）?? （D）??19,,??29.

1181616518??. （ ）

5．设总体X的数学期望为?,X1,X2,?,Xn为来自X的样本，则下列结论中 正确的是

（A）X1是?的无偏估计量. （B）X1是?的极大似然估计量. （C）X1是?的相合（一致）估计量. （D）X1不是?的估计量. （ ）

解：1．因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以（A），（B），（C）都是正确的，只能选（D）. 事实上由图 可见A与C不独立.

S A B C

2．X~N(0,1)所以P(|X|?2)?1?P(|X|?2)?1?P(?2?X?2) ?1??(2)??(?2)?1?[2?(2?) 3．由不相关的等价条件知应选（B）.

1?] ? 应选（A）. 2?[1 4．若X,Y独立则有

Y ??P(X?2,Y?2)?P(X?2P)Y(? 2123X 121111111 18 3 ?(6 913??121??)(??)?(?? )93929?????? 3 3 ?129??118????， ??19

故应选（A）.

5．EX1??，所以X1是?的无偏估计，应选（A）.

三、（7分）已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是

合格品的概率为0.02，求（1）一个产品经检查后被认为是合格品的概率；（2）一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率.

解：设A?‘任取一产品，经检验认为是合格品’ B?‘任取一产品确是合格品’

则（1） P(A)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)

50?.10?.02 0 ?0.9?0.9?P(AB)0.9?0.95 （2） P(B|A)???0.9977.

P(A)0.857四、（12分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率

都是2/5. 设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差. 解：X的概率分布为 P(X?k)?C3()()55k2k33?kk?0,1,2,3.

X027125154125x?0,2361253 即

P 8125 X的分布函数为

?0,?27?,?125??81, F(x)??125??117,?125???1,26 EX?3??,

552318 DX?3???.

55250?x?1,1?x?2, 2?x?3,x?3.五、（10分）设二维随机变量(X,Y)在区域D?{(x,y)|x?0,y?0,x?y?1} 上服从均匀分布. 求（1）(X,Y)关

于X的边缘概率密度；（2）Z?X?Y的分布函数与概率密度. 解： y （1）(X,Y)的概率密度为

1 D x+y=1

(,y?)D?2,x f(x,y)??

?0,其它. fX(x)? （2）利用公式fZ(z)??2, 其中f(x,z?x)???0,??????x?1?2?2x,0 fx(y,dy)??,其它?0?????f(x,z?x)dx

0?x?1,0?z?x?1?x其它?2,0?x?1,???0,其它.x?z?1.

当 z?0或z?1时fZ(z)?0 z z=x 0?z?1时 fZ(z)?2? 故Z的概率密度为

??2z,0?z?1,x fZ(z)??

??0,其它.z0dx?2xz0?2z

Z的分布函数为

z?? fZ(z)??fZ?0,?z?(ydy)???ydy20???1,z?0,?0z?z?1?0,z?0,?2??1z,?z0??1,z?1.? 1, 或利用分布函数法

??0?)z?????D1??10?z?1 ,z?1.,z?0,? z1, FZ(z)?P(Z?z)?P(X?Y?2dxd,y0?,z?1.?0? ??z2?1?,,,z?0,?2z,(?)? fZ(z)?FZ?z?0,0?z?其它.1,

2六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N(0,2)分

布. 求（1）命中环形区域D?{(x,y)|1?x?y?2}的概率；（2）命中点到目标中心距离Z?学期望.

解： y （1）P{X,Y)?D}?x?y82222X2?Y2的数

??Df(x,y)dxdy

r82 ?0 1 2 x ??2??4eD211?dxdy?18?r2?2?0?1821e?rdrd?

???e?r28d(?r228)??e?81?e??e?12；

（2）EZ?E(X2?Y2)?18?2?0?r2?????????x?y?1r2218?2e?x?y822dxdy

????????0re?8rdrd??r2?42?2??0e?8rdr

r22r2 ??re80????0e?8dr??????12?e?8dr?2?.

七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位：cm）X~N(?,?2)，今抽取容量为16的样本，测得样本均值x?10，

样本方差s2?0.16. （1）求?的置信度为0.95的置信区间；（2）检验假设H0:? （附注）t0.05(16)?1.746,t0.05(15)?1.753,t0.025(15)?2.132, ?02.0(516?)26.29?6,02.052?0.1（显著性水平为0.05）.

?(15)2?4.909.6,?0252(1 5)27.488. 解：（1）?的置信度为1??下的置信区间为 (X?t?/2(n?1),? X?10,s?0.4nsn,X?t?1?6,?/n?(2s1) n)2.13200.t.05,025?(15 ) 所以?的置信度为0.95的置信区间为（9.7868，10.2132） （2）H0:? ??22?0.1的拒绝域为?22???(n?1).

2215S0.1?15?1.6?24，?0.05(15)?24.996

22 因为 ??24?24.996??0.05(15)，所以接受H0.

《概率论与数理统计》期末试题（3）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1） 设事件A与B相互独立，事件B与C互不相容，事件A与C互不相容，且P(A)?P(B)?0.5，P(C)?0.2，

则事件A、B、C中仅C发生或仅C不发生的概率为___________.

（2） 甲盒中有2个白球和3个黑球，乙盒中有3个白球和2个黑球，今从每个盒中各取2个球，发现它们是同一颜

色的，则这颜色是黑色的概率为___________. （3） 设随机变量X的概率密度为f(x)???2x,?0,0?x?1,其它, 现对X进行四次独立重复观察，用Y表示观察值不大于

0.5的次数，则EY2?___________.

（4） 设二维离散型随机变量(X,Y)的分布列为

(X,Y)P(1,0)0.4(1,1)0.2a(2,0)b 若EXY?0.8，则Cov(X,Y)?____________.

（5） 设X1,X2,?,X17是总体N(?,4)的样本，S2是样本方差，若P(S2?a)?0.01，则a?____________.

2222 （注：?0.01(17)?33.4, ?0.005(17)?35.7, ?0.01(16)?32.0, ?0.005(16)?34.2）

解：（1）P(ABC?ABC)?P(ABC)?P(ABC)

因为 A与C不相容，B与C不相容，所以A?C,B?C，故ABC?C 同理 ABC?A. B P(ABC?AB)C?(P)?C(PA)?B0.?20?.50?.5.

0.45 （2）设A?‘四个球是同一颜色的’， B1?‘四个球都是白球’，B2?‘四个球都是黑球’ 则 A?B1?B2. 所求概率为 P(BP(AB2)P(B2)2|A)?P(A)?P(B1)?P(B

2)2222 P(B?C3C31)?C2C25C2?3(B2)?C2?C25100,P5C2?35100

所以 P(B12|A)?2.

（3）Y~B(4,p), 1 其中 p?P(X?0.5)??0.502xdx?2210x?4， EY?4?14?1,DY?4?14?34?3，4 EY2?DY?(EY)2?14?1?54.

（4）(X,Y)的分布为

X Y 1 2 0 0.4 0.1 0.5 1 0.2 0.3 0.5 0.6 0.4 这是因为 a?b?0.4，由EXY?0.8 得 0.2?2b?0.8

?a?0.1,b?0 .3 EX?0.6??20?.4，

1EY?0.5 故 covX(Y,?)EXY?EXE?Y0.?80?.7.

（5）P(S2?a)?P{16S24?4a}?0.01

即 ?20.0(116?)a4，亦即 4a?32 ?a?8.

二、单项选择题（每小题3分，共15分）

（1）设A、B、C为三个事件，P(AB)?0且P(C|AB)?1，则有 （A）P(C)?P(A)?P(B)?1. （B）P(C)?P(A?B).

（C）P(C)?P(A)?P(B)?1. （D）P(C)?P(A?B). ）

（（2）设随机变量X的概率密度为

f(x)?12?e?(x?2)42,???x??

且Y?aX?b~N(0,1)，则在下列各组数中应取 （A）a?1/2,b?1. （B）a? （C）a?1/2,b??1. （D）a?XP00.410.62/2,b?2.

2/2,b??2. （ ）

（3）设随机变量X与Y相互独立，其概率分布分别为 则有

（A）P(X?Y)?0. （B）P(X?Y)?0.5.

（C）P(X?Y)?0.52. （D）P(X?Y)?1. （ ） （4）对任意随机变量X，若EX存在，则E[E(EX)]等于

（A）0. （B）X. （C）EX. （D）(EX)3. （ ） （5）设x1,x2,?,xn为正态总体N(?,4)的一个样本，x表示样本均值，则?的 置信度为1??的置信区间为

44 （A）(x?u?/2,x?u?/2).

nn22 （B）(x?u1??/2,x?u?/2).

nn22 （C）(x?u?,x?u?).

nn22 （D）(x?u?/2,x?u?/2). （ ）

nn 解 （1）由P(C|AB)?1知P(ABC)?P(AB)，故P(C)?P(AB) P(C)?P(AB)? 应选C. （2）f(x)?12?e?(x?2)42 YP00.410.6 P(A?)P(B?)?P(A2?B)P(?A) ?BP(?122??[x?(?2)]2(2)2e 即 X~N(?2, 故当 a? 应选B.

12,22 )b???22?2 时 Y?aX?b~N(0,1)

（3）P(X?Y)?P(X?0,Y?0)?P(X?1,Y?1)

4 ?0.4?0.?0?.60?.6 0 应选C.

（4）E[E(EX)]?EX

应选C.

（5）因为方差已知，所以?的置信区间为 (X?u?/ 应选D.

三、（8分）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的

箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取

2

件产品，结果都

?2n,X?u??/2n )是一等品，求丢失的也是一等品的概率。 解：设A?‘从箱中任取2件都是一等品’ Bi?‘丢失i等号’ i?1,2,. 3 则 P(A)?P(1B)P(A|1B?)22P2(B)P(A|?B)223P(B)P( 3A|B)1C3C51C2 ??42??2??52?；

2C910C95C99 所求概率为P(B1|A)?

P(B1)P(A|B1)P(A)?38.

四、（10分）设随机变量X的概率密度为

?ax?1,f(x)???0,????200?x?2,其它.

求（1）常数a； （2）X的分布函数F(x)； （3）P(1?X?3). 解：（1）1? ∴ a???12f(x)dx??(ax?1)dx?(a2x?x)0?2a?2

22

（2）X的分布函数为

x?? F(x)???0??fu(du)??????1,x0x?0,u?(1du)2,?x0?x?2. 2,,?0,?2x?, ??x?4??1,?x?0,0?x?2 ,x?2. （3）P(1?x?3)??31f(x)dx??21(1?x2)dx?14.

五、（12分）设(X,Y)的概率密度为

?e?x,f(x,y)???0,0?y?x,其它.

求（1）边缘概率密度fX(x),fY(y)； （2）P(X?Y?1)； （3）Z?X?Y的概率密度fZ(z). 解：（1）fX(x)?y ?????,?0?f(x,y)dy??x?xedy,???0x?0?0,???xx?0.?xe,x?0,x?0.y?0

y=x fY(y)???????0,?f(x,y)d?x????xedx,???y

y?0.?0,y?0,x 0 ???y

e,y?0.x+y=1 ?1 （2）P(X?Y?1)???x?y?1f(x,y)dxdy??20????1?yy??xedxdy

??

1 ? （3）fZ(z)??????20(e?y?e?e)dy?1?2ey?1?12?1?e.

?f(x,z?x)dx

f(x,z??x?x?0,x?z?2x,?e, x)????0,其它. z z =2 x 当 z?0 时 fZ(z)?0 z=x z?0 时 fZ(z)? 所以

?0,? fZ(z)???zx ?z2?0 ?e?e,z?0,?zz2edx?e?x?z2?e?z

z?0.

六、（10分）（1）设X~U[0,1]，Y~U[0,1]且X与Y独立，求E|X?Y|； （2）设X~N(0,1),Y~N(0,1)且X与Y独立，求E|X?Y|.

解： （1）E|X?Y|?y 1 ???????x0????f(x,y)|x?y|dxdy

11??01(x?y)dxd?y??0x(?y)xd xdy x ?；

1 0 3 （2）因X,Y相互独立，所以Z?X?Y~N(0,2)

Z2?X?Y22?1 )~N(0,12 EX?Y?，所以E|X?Y|?2?.

七、（10分）设总体的概率密度为

??x??1,0?x?1,f(x;?)?? (??0)

其它.0,? 试用来自总体的样本x1,x2,?,xn，求未知参数?的矩估计和极大似然估计.

解：先求矩估计 ?1?EX? ????11??1?10?xd?x????1

X1?X?? 故?的矩估计为?

再求极大似然估计

n L(x1,?,xn;?)???xi?1ni?1??1i??(x1?xn)xl nn??1

lnL?nl?n??(?

dlnLd??nn1)??0

i???lnxi?1i 所以?的极大似然估计为

1??? ?. 1n?lnxini?1《概率论与数理统计》期末试题（4）与解答

一、填空题（每小题3分，共15分）

（1） 设P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(B|A)?0.8，则A,B至少发生一个的概率为_________. （2） 设X服从泊松分布，若EX2?6，则P(X?1)?___________.

?1?(x?1),（3） 设随机变量X的概率密度函数为f(x)??4?0,?0?x?2,其他. 今对X进行8次独立观测，以Y表示观测值

大于1的观测次数，则DY?___________.

（4） 元件的寿命服从参数为

率为_____________.

1621100的指数分布，由5个这种元件串联而组成的系统，能够正常工作100小时以上的概

162（5） 设测量零件的长度产生的误差X服从正态分布N(?,?)，今随机地测量16个零件，得?Xi?8，?Xi?34.

i?1i?1在置信度0.95下，?的置信区间为___________.

(t0.05(15?)1.753t10,.025?(15) 2.1315)0.5P(A?B) 解：（1）0.8?P(B|A)? P(A?B)?P(BA)1?P(A)?P(B)?P(AB) 得 P(AB)?0.2

. 0?.2P(A)?2P(B?)1?.1 （2）X~P(?),6?EX22?DX?(EX)???? 故 ??2.

P(X?1)?1?P(X?1)?1?PX(??2 ?1?e?2?2e?2?1?3e.

210?)PX( ?58 （3）Y~B(8,p)，其中p?P(X?1)? DY?8?58?38?158?14(x?1)dx?

.

1100?1 （4）设第i件元件的寿命为Xi，则Xi~E()P(X? P(Y?100?1100X,?25),i?1,2,3,4,5. 系统的寿命为Y，所求概率为

?100,X?,55

5100)?e1 ?[P(X1?100)?]?[1?]e

?. （5）?的置信度1??下的置信区间为 S (X?t?/2(n?1)nX,?t?22/n?(2S1) n) X?0.5,S? t0.025211516[?Xi?16X]?2,S?1.4142,n?16

i?1(15?)2.13 15.所以?的置信区间为（?0.2535,1.2535）.

二、单项选择题（下列各题中每题只有一个答案是对的，请将其代号填入（ ） 中，每小题3分，共15分）

（1）A,B,C是任意事件，在下列各式中，不成立的是 （A）(A?B)?B?A?B.

（B）(A?B)?A?B.

（C）(A?B)?AB?AB?AB. （2）设

X1,X2

F1(x),F2(x) （D）(A?B)C?(A?C)?(B?C). （ ）

是随机变量，其分布函数分别为

，为使

F(x)?aF1(x)?bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值

中应取 （A）a?325,b??5. （B）a?23,b?23. （C）a??132,b?2. （D）a?132,b?2.

（ ）

（3）设随机变量X的分布函数为FX(x)，则Y?3?5X的分布函数为FY(y)? （A）FX(5y?3). （B）5FX(y)?3. （C）F?3X(y5). （D）1?F3?yX(5). （ ）

Xi?101（4）设随机变量X1,X2的概率分布为 11 P1 i?1,2. 424 且满足P(X1X2?0)?1，则X1,X2的相关系数为?X?

1X2 （A）0. （B）14. （C）

12. （D）?1. （ ）

（5）设随机变量X~U[0,6],Y~B(12,14)且X,Y相互 雪夫不等式有P(X?3?Y?X?3) （A）?0.25. （B）?512. （C）?0.75. （D）?512. （ ）

解：（1）（A）：成立，（B）：(A?B)?A?B?A?B 应选（B） （2）F(??)?1?a?b. 应选（C） （3）FY(y)?P(Y?y)?P(3?5X?y)?P(X?(3?y)/5) ?1?P(3?y?y5?X)?1?FX(35) 应选（D）

（4）(X1,X2)的分布为

X2 X–1 0 1 1 –1 110 4 0 4 10 1 140 42 111 0 4 0 4 1 4 1 124 EX1?0,EX2?0,EX1X2?，所以0cov(X1,X2)?0， 于是 ?X?0. 应选（A）

1X2 （5）P(X?3?Y?X?3)?P(|Y?X|?3) E(Y?X)?EY?EX?0 D(Y?X)?DY?DX?3?9214?4

由切比雪夫不等式

独立，根据切

比215 P(|Y?X|?3)?1?4? 应选（D）

912

三、（8

分）在一天中进入某超市的顾客人数服从参数为?的泊松分布，而进入

超市的每一个人购买A种商品的概率为p，若顾客购买商品是相互独立的， 求一天中恰有k个顾客购买A种商品的概率。

解：设B?‘一天中恰有k个顾客购买A种商品’ k?0,1,? Cn?‘一天中有n个顾客进入超市’ n?k,??k?1,?

则 P(B)? ? ? ?

?n?kP(CB?)n??nkP(nC)P(Bn| C?nk??n?k?nn!ke??Cnp(1?p)

?kk(p?)k!ek???(n?k)!(1?n?k?n?kp)n?k

(?p)k!e??p k?0,1,?.

四、（10分）设考生的外语成绩（百分制）X服从正态分布，平均成绩（即参

数?之值）为72分，96以上的人占考生总数的2.3%，今任取100个考生 的成绩，以Y表示成绩在60分至84分之间的人数，求（1）Y的分布列. （2）

EY和DY.

(?(2)?0.97?7,?(1)0 .884?72 解：（1）Y~B(100,p)，其中p?P(60?X?84)??( ??(60?72)?2?(12?) 196?7224(??)?1 (?)

??3PX(? 由 0.02?9?6)??124??) 得 ?(24?)?0.977，即

??2，故

12??1

所以 p?2?(1)?1?0.6826.

kk100?k 故Y的分布列为P(Y?k)?C100(0.6826)(0.3174)

（2）EY?100?0.6826?68.26，DY?68.26?0.3174?21.6657.

2五、（10分）设(X,Y)在由直线x?1,x?e,y?0及曲线y?1x所围成的区域

上服从均匀分布，

（1）求边缘密度fX(x)和fY(y)，并说明X与Y是否独立. （2）求P(X?Y?2). 解：区域D的面积 SD?y (X,Y)的概率密度为

e12?1xdx?lnx1?2

e2y=1/x D 2 x ?1?, f(x,y)??2?0,?(x,y?)D其它.2

, （1）fX(x)???????11??xdy,f(x,y)dy??02?0,?1?x?e,其它.1?x?e其它.2

?1,? ??2x?0,?

, fY(y)???????e1??12dx,?11?fx(y,dx)???ydx,12????0,21?y?ee?2?2,?y?1,

其它1?y?ee?2?2?12?2(e??1? ??2y????0?1),12,?y?1

,其它 （2）因f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y不独立. （3）P(X?Y?2)?1?P(X?Y?2)?1?1211?1?243?4??x?y?2f(x,y)dxdy

?1??0?.7. 5

六、（8分）二维随机变量(X,Y)在以(?1,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区 域上服从均匀分布，求Z?X?Y的概率密度。

y ?1, 解1： (X,Y)的概率密度为f(x,y)???0,(x,y)?D,其它.

设Z的概率密度为fZ(z)，则

D1 fZ(z)?x –1 0 x+y=z 1 f(z?y,y)????1,??0,0?y?其它1,y2??1z??????f(?zy,y) dy

z 当 z??1或z?1时fZ(z)?0 y z?1z?11 当 ?1?z?1时f(z)?2dy? Z?02 y 所以Z的密度为

0 –1

?z?1,? fZ(z)??2?0,?|z?|其它.1,

解2：分布函数法，设Z的分布函数为FZ(z)，则 FZ(z)?P(Z?z?)P(?X?Y?)z??x?y?z(f,x)y dxdy??0z??1?0,???(zz1?? ????dxd,y?1???D1???1?z?1?1,,?1)4,2z??1,,??1?z 1,z?1. 故Z的密度为

?z?1,? fZ(z)?FZ?z(?)?2?0,?|z?|其它.1,

七、（9分）已知分子运动的速度X具有概率密度

x2?()?4x2?e,?f(x)???3??0,?x?0,x?0.??0, x1,x2,?,xn为X的简单随

机样本

（1）求未知参数?的矩估计和极大似然估计； （2）验证所求得的矩估计是否为?的无偏估计。 解：（1）先求矩估计 ?1?EX?2???04x3??(x3???e?(x?)2dx

??2x??e?)2?04?????0xe?(x?)2dx?2???? ???2X

再求极大似然估计

n L(X1,?,Xn;?)???i?14xi32?n2e?(xi?)2

1n ?? lnL??3nln??ln(??n2n?3n???4(x1?xn)?e2n2?2?xii?12

4)?ln(x1?xn)?1n?2?xi?12i

?lnLd???3n??2n2i?3?xi?1?0

n?? 得?的极大似然估计 ?2?xii?123n，

（2）对矩估计

?? E??2EX??2?2????

所以矩估计 ???2X是?的无偏估计.

八、（5分）一工人负责n台同样机床的维修，这n台机床自左到右排在一条直

线上，相邻两台机床的距离为a（米）。假设每台机床发生故障的概率均为

1n，且相互独立，若Z表示工人修完一台后到另一台需要检修的机床所走

的路程，求EZ.

解：设从左到右的顺序将机床编号为1,2,?,n

X为已经修完的机器编号，Y表示将要去修的机床号码，则 P(X?i)?1n,P(Y?j)?1n,i,j?1,2,?,n

P(X?i,Y?)j?P(X?)i(P?Y1)?j2 n Z?|i?j|a 于是

nn EZ???|i?i?1nj?1nj|aP(X?i,Y?j)

1n2 ???|i?i?1j?1j|a?

n ?an2n?i?12?i??(i?j)??j?1?j?i?1(j??i?) ?(n?1) ?a.

3n

《概率论与数理统计》试题（5）

一、 判断题（每小题3分，本题共15分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 设A、B是Ω中的随机事件,必有P(A-B)=P(A)-P(B) ( ) ⑵ 设A、B是Ω中的随机事件,则A∪B=A∪AB∪B ( ) ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p), 则EX=p ( ) ⑷ 样本均值X=

1

nn?i?1Xi是母体均值EX的一致估计 （ ）

⑸ X～N(?,?12) , Y～N(?,?22) ，则 X－Y～N(0, ?12－?22) （ ） 二、 计算（10分）

（1）教室里有r个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率.

三、（10分） 设P(A)?0,P(B)?0，证明A、B互不相容与A、B相互独立不能同时成立.

四、（15分）某地抽样结果表明，考生的外语成绩X（百分制）近似服从正态分布，平均成绩（即参数?之值）为72

分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。分布表如下

x 0 1 1.5 2 2.5 3

Ф(x) 0.5 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 五、（15分） 设(X,Y)的概率密度为

?(x?y)?,?e f(x,y)??,??0x?0,Y?0,其他.

问X,Y是否独立？

六、（20分）设随机变量服从几何分布，其分布列为

k?1 P(X?k)?(1?p)，p0?p?1,k?1,2,?

求EX与DX

七、（15分）设总体X服从指数分布

?e?(x??),? f(x;?)????0,x??,其他.

试利用样本X1,X2,?,Xn，求参数?的极大似然估计. 八

《概率论与数理统计》试题（5）评分标准

一 ⑴ ×；⑵ √；⑶ ×；⑷ √；⑸ ×。 二 解 （1）设A?‘他们的生日都不相同’，则 P(A)?P3653651rr----------------------------------------------------------5分

（2）设B?‘至少有两个人的生日在同一个月’，则 P(B)?或

C4C1P?CC4?1CP?C12112412422223212?411296；

P(B)?1?P(B)?1?P121244?4196-------------------------------------------10分

三 证 若A、B互不相容，则AB??，于是P(AB)?0?P(A)P(B)?0 所以 A、B不相互独立.-----------------------------------------------------------5分

若A、B相互独立，则P(AB)?P(A)P(B)?0，于是AB??，

即A、B不是互不相容的.--------------------------------------------------------------5分

四 解 0.02?3PX(? ??(249?6)??196?7224分 (??)?1-------------------------3()???24)?0.977,??12分 2,?-------------------------------------71.?所求概率为

P(60?X????? =2Ф（1）-1=2×0.841-1=0.682--------------------15分

84?)?84?72(??)6?0(72??)12?(??)12----------12分 ()

五 解 边际密度为 fX(x)??0,?fx(y,dy)?????x?yeedy,???0x?0,?x?0;??????0,x?0,---5分 ??x?e,x?0.?0,f(y)? Y??y?e,y?0,---------------------------------------------------------10分 y?0.因为 f(x,y)?fXx(?)fYy(，所以X,Y独立.-----------------------------------15分

???k?1六 解1 EX??k(1?k?1p)k?1p?p?kqk?1?p?(x)?k?1x?qk??k??p??x??k?1??--8分

x?q其中 q?1?p

由函数的幂级数展开有

? 所以

?xk?0k?11?x，

?1?1? EX?p??1??p2(1?x)?1?x?x?q?x?q1. --------------------------------12分 p因为

? EX所以

2??kk?122pqk?1???k?p?x(?x)???k?1??x?q??x?p?2??(1?x)???x?q2?pp2-----16分

DX?EX?(EX)?22?ppn2?1p2?qp?2n.------------------------------------20分

七 解 L(X1,?,Xn;?)?n?ei?1?(xi??)?e?xi?n?i?1,xi??,i?1,2,?,n.

lnL?n???Xi-----------------------------------------------------------8分

i?1

dlnLd??n?0

??x---------------------------15分 由极大似然估计的定义，?的极大似然估计为?(1)

《概率论与数理统计》试题（6）

一、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”）

⑴ 设A、B是Ω中的随机事件，则Ａ－Ｂ?A （ ） ⑵ 对任意事件A与B，则有P(A∪B)=P(A)+P(B) （ ） ⑶ 若X服从二项分布b(k;n,p),则EX=npq ( )

⑷ X~ N（?，?2

），X1 ，X 2 ，??Xn是X的样本，则?~ N（?，?2

） （）

⑸X为随机变量，则DX=Cov（X，X）----------------------------------------------（ ）

二、（10分）一袋中装有m枚正品硬币，n枚次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽）从袋中任取一枚，已知将它投

掷r次，每次都得到国徽，问这枚硬币是正品的概率是多少？.

三、（15分）在平面上画出等距离a(a?0)的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长l(l?a)的针，求针与任一平行

线相交的概率.

四、（15分） 从学校到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是

设X为途中遇到红灯的次数，求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.

五、（15分）设二维随机变量（X，Y）在圆域x2+y2≤a2上服从均匀分布，（1）求X和Y的相关系数?；（2）问X,Y是否独立？

六、（10分）若随机变量序列X1,X2,?,Xn,?满足条件 (Xi lim2D?n??ni?11n25，

?) 0

试证明{Xn}服从大数定律.

?n(X,?,X)是?的一个估计量，若七、（10分） 设X1,X2,?,Xn是来自总体F(x,?)的一个样本，?1n?n???k,D??n??且limk?lim??0 E?nnnn22n??n???n是?的相合（一致）估计量。 试证?

八、（10分）某种零件的尺寸标准差为σ=5.2，对一批这类零件检查9件得平均尺寸数据（毫米）：x=26.56,设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是26毫米（??0.05）.正态分布表如下

x 0 1.56 1.96 2.33 3.1

Ф(x) 0.5 0.941 0.975 0.99 0.999

《概率论与数理统计》试题（6）评分标准

一 ⑴ √；⑵ ×；⑶ ×；⑷ ×；⑸ √。

二解 设A?‘任取一枚硬币掷r次得r个国徽’， B?‘任取一枚硬币是正品’， 则

所求概率为

P(B|A)?P(B)P(A|B)P(B)P(A|B?)?1???m?n?2?mrr

B，A----------------------------------------------------------5分

A?BA?

P(B)P(A|B)mm?n?2rm ??.------------------10分

n?1????m?n?2?m?n

三 解 设A?‘针与某平行线相交’，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设x为针的中点到最近的一条平行线的距离。

a ?为针与平行线的夹角，则 a 0?x?a2,0????，不等式确定了平面上

x 的一个区域S.------------------------------------6分

a L 2 A发生?x?sin?，

l 2x?sin?S 2A 0? ? 不等式确定S的子域A------------------------10分

1a2 故 P(A)????0L2sin?d??2La?

-----------------------------------------------------15分

四 解 X~B(3,即

X25kk3?k，分布律为)P(X?k)?C3()()2355k?0,1,2,3.

027125154125x?0,0?x?1,2361253

P-----------------------5分 8125X的分布函数为

?0,?27?,?125??81 F(x)??,?125?117,?125???1,5472 EX???1251251?x?2,------------------有所不同-----------------10分 2?x?3,x?3.241506??---------------------------------------------------15分 1251255

五． 解 (X,Y)的密度为

?1,? f(x,y)???r2?0,?x?y?r,其他.222-------------------------------------------3分

（1）EX?2??2x?21x?y?r?r1r?22dxdy??2?0?r0?cos??1?r2?d?d?

?sin? EXY?22?0??2r02?d?? 0??1xy?21xrdxdy?12?r32x?y?r2?2?0sin2?d??r03?d?

?4?r2[?cos?202??0]?d?? 0r 故 X,Y的相关系数??0.----------------------------------------------------------9分 （2）关于X的边缘密度为 fX(x)?22r?x1?dy,|x|?r,???r2?x22?r f(x,y)dy???0,|x|?r,???????2r2?x2?,2 ???r??0,|x|?r,|x|?r.

关于Y的边缘密度的

?2r2?y2?,2 fY(y)???r??0,|y|?r,|y|?r.

因为f(x,y)?fX(x)?fY(y)，所以X,Y不独立.------------------------------------15分

六 证：由契贝晓夫不等式，对任意的??0有

D(1n?1 P??nn?i?1Xi?1n?ni?1EXi???????n?i?12Xi)?1n2nD(?Xi)i?1?2---------5分

所以对任意的??0 ?1 limP?n???nn?Xi?1i?1niEX?ni?1n?11????2lim2D(?Xi)?0

n??ni?1??故{Xn}服从大数定律。----------------------------------------------------------------------10分 七 证 由契贝晓夫不等式，对任意的??0有

?nD?? P(|?n???kn?-------------------------------------------------------5分 |??)2??于是 0?limP?(n|???kn??|?)n???n?2n??lim? 0?n依概率收敛于?，故??n是?的相合估计。--------------------------------------10分 即 ?

八 解 问题是在?2已知的条件下检验假设H0：?0=26 查正态分布表，1－

?2=0.975,

?1??2=1.96---------------5分

1u1=1.08＜1.96,

应当接受H0，即这批零件的平均尺寸应认为是26毫米。---------------15分

模拟试题A

一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶 3 发，事件

表示“击中 i 发” ， i = 0， 1， 2， 3。 那么事 件

表 示 ( )。

( A ) 全 部 击 中 ； ( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必 然 击 中； ( D ) 击 中 3 发

2.设离散型随机变量 x 的分布律为 ( A )

； ( B )

； (C)

； (D)

则 常 数 A 应 为 ( )。

3.设随机变量 ，服从二项分布 B ( n，p )，其中 0 < p < 1 ， n = 1， 2,?， 那么，对于任一实数 x ，有

等 于 ( )。

( A ) ; ( B ) ;

( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分）

1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知 P(AB) =__________ 2.设

且 有

=___________。

, ,则

3.某柜台有4个服务员 ，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为 ，则4人中至多1

人需用台秤的概率为 ： __________________。

4.从1，2，?，10共十个数字中任取一个 ，然后放回 ，先后取出5个数字 ，则所得5个数字全不 相同的事件的概率等于 ___________。 三、（10分）已知

， 求证

四、（10分）5个零件中有一个次品 ，从中一个个取出进行检查 ，检查后不放回 。直到查到 次品时为止 ，用x表示检查次数 ，求

的分布函数 ：

五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求 ： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率;

( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？

六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量

和

，其概率密度分别是 ：

如果

与

相互独立，写出

的联合概率密度，并求下列事件的概率:

( 1 ) 到时刻 ( 2 ) 到时刻 ( 3 ) 在时刻

两家的元件都失效(记为A)， 两家的元件都未失效(记为 B)， 至少有一家元件还在工作(记为 D)。

七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过 八、（10分）设 和

是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

。

又知随机变量 , 试求w 的分布律及其分布函数 。

九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg 且 强力服从正态分布，改用新原料后，从新

产品中抽取 25 件作强力试验，算得 ( 分别取

和 0.01， 已知

，

， 问新产品的强力标准差是否有显著变化 ？

）

十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

从经验和理论知且各

与

之间有关系式

。 试用最小二乘法估计 a , b.

?

独立同分布于

概率论与数理统计模拟试题A解答 一、单项选择题

1. （B）; 2. (B); 3.(D) 二、填空题

1. P(B)P(A|B); 2. 0.3174; 3. ; 4. =0.3024

三、解 ： 因

其中 u～N ( 0， 1 ) ， 又由于

， 故可取

， 且u与y相互独立 。 从而

与y也相互独立 。

于是

四、 的分布律如下表：

五、

( i= 1，2， 3 ) 分别表示居民为肥胖者 ，不胖不瘦者，瘦者

B ： “ 居民患高血压病 ” 则

由全概率公式

， ，

， ，

由贝叶斯公式

，

六、(x , h)联合概率密度

( 1 ) P(A) =

( 2 ) ( 3 )

七、证 一 ： 设事件A在一次试验中发生的概率为p ，又设随机变量 则

，

故

证二 ：

八、因 为

所以w的分布律为

w 的分布函数为

九、要检验的假设为

：

；

在 故在 当故 在 注:

：

时

时 ，

时 ，拒绝，下 接 受

认为新产品的强力的标准差较原来的有显著增大 。

，认为新产品的强力的标准差与原来的显著差异 。 改 为

：

也 可

十、

模拟试题C(A.B.D)

一.填空题（每小题3分，共15分）

1． 设A，B，C是随机事件， 好出现一个的概率为______。

则A，B，C三个事件恰

2． 设X，Y是两个相互独立同服从正态分布 3． 是总体X服从正态分布N

，而

的随机变量，则E(|X-Y|)=______。

是来自总体X的简单随机样本，则随机变量

服从______，参数为______。

4． 设随机变量X的密度函数 DY=______。

，Y表示对X的5次独立观察终事件

出现的次数，则

5． 设总体X的密度函数为 量

＝______。

是来自X的简单随机样本，则X的最大似然估计

二.选择题（每小题3分，共15分） 1．设

（A） 事件A和B互不相容； （B） 事件A和B互相对立； （C） 事件A和B互不独立；

（D） 事件A和B互相独立。

2．将一枚硬币重复郑n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X与Y的相关系数等于（ ）。 （A）-1 （B）0 （C）1/2 （D）1 3．设

分别为随机变量

的分布函数，为使

是某一随机变量的分布函

,则下列结论成立的是（ ）

数，在下列给定的各组值中应取（ ）。

3．设

是来自正态总体

的简单随机样本，

是样本均值，记

则服从自由度为n-1的t分布随机变量为（ ）。

5．设二维随机变量（X，Y）服从二维正态分布，则随机变量

不相关的充分必要条件为（ ）。

三、（本题满分10分）假设有两箱同种零件，第一箱内装50件，其中10件一等品，第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机取两个零件（取出的零件均不放回），试求： （1） 先取出的零件是一等品的概率；

（2） 在先取出的零件是一等品的下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率。

四、（本题满分10分）假设在单位时间内分子运动速度X的分布密度为

，

求该单位时间内分子运动的动能

的分布密度，平均动能和方差。

五、（本题满分10分）设随机变量X与Y独立，同服从[0,1]上的均匀分布。试求：

六、（本题满分10分）某箱装有100件产品，其中一、二和三等品分别为80件、10件、10件，现从中随机抽取，记

，试求：（1）随机变量 的联合分布；（2）随机变量

的相关系数。

七、（本题满分15分）设总体X的密度函数为 本，试求：

是来自X的简单随机样

八、（本题满分15分）某化工厂为了提高某种化学药品的得率，提出了两种工艺方案，为了研究哪一种方案好，分别对两种工艺各进行了10次试验，计算得

假设得率均服从正态分布，问方案乙是否能比方案甲显著提高得率

？

概率论与数理统计模拟试题C解答

模拟试题D(A.B.C) 一、 填空题（每小题3分，共15分）

1．甲、乙二人独立地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲命中的概率是______。

2．设X和Y为两个随机变量，且 ，则

。

3．设随机变量X与Y独立， 4．设

,且

是来自正态总体

，则

。

N（0，1）的简单随机样本，令 为使

服从

分布，则a=______,b=______.

的置信度为

5．设由来自正态总体

0.95的置信区间为______。

的一个容量为9的简单随机样本计算得样本均值为5，则未知数

二.选择题（每小题3分，共15分）

1．当事件A与事件B同时发生时，事件C必发生，则（ ）。

2．设随机变量X服从指数分布，则随机变量Y＝min（X，2）的分布函数（ ）。 （A）是连续函数； （B）至少有两个间断点； （C）是阶梯函数； （D）恰好有一个间断点。

3．设随机变量X和Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X +Y ,则随机变量U与V也（ ）。 （A）不独立； （B）独立；

（C）相关系数不为零； （D）相关系数为零。

4．设总体X服从正态 分布， 是来自X的简单随机样本，为使 是

的

无偏估计量，则A的值为（ ）。

5．对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平

下，下列结论中正确的是（ ）。

（A）必接受 （C）必拒绝

； （B）可能接受，也可能有拒绝 ； （D）不接受，也不拒绝

。

；

下，接受假设

，则在显著水平

三、（本题满分10分）三架飞机：已架长机两架僚机，一同飞往某目的地进行轰炸，但要到达目的地，一定要有无线电导航。而只有长机有此设备。一旦到达目的地，各机将独立进行轰炸，且每架飞机炸毁目标的概率均为0.3。在到达目的地之前，必须经过高射炮阵地上空。此时任一飞机被击落的概率为0.2，求目标被炸毁的概率。 四、（本题满分10分）使用了 小时的电子管在以后的 的数，求电子管在T小时内损坏的概率。

小时内损坏的概率等于

，其中

是不依赖于

五、（本题满分10分）设随机变量X与Y独立同服从参数为1的指数分布。证明

相互独立。

六、（本题满分10分）设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为

（1） 计算 ;

（2） 求X与Y的密度函数；

（3） 求Z＝X＋Y 的密度和函数。

七、（本题满分15分）设总体X服从正态 数。

（1） 区域 （2）

的最大似然估计量

；

分布， 是来自X的一个样本，

是未知参

是否是

的有效估计？为什么？

八、（本题满分15分）设有线性模型

其中

（1） 试求系数 （2） 求

相互独立，同服从正态 的最小二乘估计；

分布：

的无偏估计量；

的统计量。

（3） 求构造检验假设

概率论与数理统计模拟试题D解答

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