二次根式

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第十讲 二次根式

一、二次根式考点

考点： 1、二次根式的相关概念； 2、最简二次根式； 3、化简二次根式； 4、利用二次的性质进行运算； 5、求代数式的值； 6、比较二次根式的大小； 7、二次根式的开放性问题； 8、二次根式的应用。 二、知识梳理/提炼

1.二次根式的定义：式子 叫做二次根式. 2.二次根式的性质 （1）

、?a?＝a（a≥0）

2a2＝a，

（2）ab＝a·b（a≥0，b≥0），aa＝（a≥0，b＞0）. bb3.最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（?2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式.

4.分母有理化

（1）互为有理化因式：?两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式，则这两个代数式叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：a与±a，a+b与a－b，a+b与a－b，ma+nb与ma－nb；

（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，?方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式.

5.二次根式的运算：（1）加减运算：化成同类二次根式后，再合并同类二次根式；（2）乘除运算：按a·b＝ab，aa＝运算，再化成最简二次根式.

bb6.化简求值：与二次根式有关的求值问题通常情况下都是先通过化简代数式，然后将含有二次根式的字母的值代入求值.

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7.二次根式的应用：应用二次根式的性质及其二次根式的运算解决和二次根式相关的问题。

三、课堂精讲例题

例题1

题目：若3?x+- - - - -

x?3有意义，则x= 。

难度分级：A类

试题来源：尖子生培优

选题意图（对应知识点）： 二次根式的定义

解题思路：要使得3?x和x?3都是有意义，那么x-3和3- x都必须是非负数。 解法与答案：3

搭配课堂训练题

题目：当x是多少时， 例题2

题目：下列二次根式是最简二次根式的为（ ）

2x?32

+x在实数范围内有意义。 x1 A．3

- - -

a2?1223a?bB． C．

22a?2ab?bD．

难度分级：A类

试题来源：实验班教材

选题意图（对应知识点）： 最简二次根式的定义

解题思路：本题考查最简二次根式：符合条件（1）被开方式中不含有开得尽方的数或因式，（2）被开方式中不含有分母，符合以上两个条件的二次根式叫最简二次根式， -

解法与答案：C

搭配课堂训练题

题目：

（1） 下列二次根式是最简二次根式的为（ ）

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A．23a

（2）若2例题3 题目：化简：- - - -

12?3m?n?2B．8x 和33m?2n?22C．y3 D．b 4都是最简二次根式，则m?_____,n?______。

＝ ．

难度分级：A类

试题来源：2011年中考试题汇编 选题意图（对应知识点）： 分母有理化

解题思路：分母有理化：（1）互为有理化因式：?两个带有二次根式的代数式相乘不再含有二次根式，则这两个代数式叫做互为有理化因式，常见的有理化因式有：a与±a，a＋b与a－b，a＋b与a－b，ma＋nb与ma－nb；（2）分母有理化：把分母中的根号化去过程，叫做分母有理化，?方法是在分子分母上同乘以分母的有理化因式。

解法与答案：2＋3。

搭配课堂训练题

1题目：（1）化简：6?3= 。

1(a?0,b?0) （2）化简：a?b= 。 1(a?0,b?0) （3）化简：a?b= 。

例题5

224x?4x?1?(2x?3)题目：化简的结果是 。

- - - -

难度分级：B类

试题来源：2011年中考试题汇编

选题意图（对应知识点）：二次根式的性质。

解题思路：利用已知条件，运用公式a＝a化去根号，从而达到化简的目的。

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解法与答案：2

搭配课堂训练题

题目：

（1）已知2＜x＜5，化简(x?2)2+(x?5)2＝ 。 （2）如果式子

(x?1)2?x?2的化简结果为2x?3，则x的取值范围是 。

（3）若xy?3，则 例题6

xyx?y?xy 。

题目：若m满足关系式

- - - -

3y?8?5x?3?a?b?2011?2011?a?b，求5x?3y的值．

难度分级：B类

试题来源：2011年中考试题汇编

选题意图（对应知识点）： 二次根式内的数或代数式的非负性

解题思路：二次根式的被开方数必须是非负数，因而本题存在隐含条件a?b?2011?0，

2011?a?b?0，由此求出a?b的值，问题也随之解决。

解法与答案：由二次根式的意义可得

?2011?a?b?0??a?b?2011?0，∴a?b?2011．

3y?8?0． ∴x?3，y?8， ∴5x?3?3y?8?0， ∴5x?3?0，53∴5x?3y?3?8?11．

搭配课堂训练题

题目：

y?（1）已知

x2?2x2?2??222x?y?_____________. 5x?44?5x，则

2（2）已知实数a满足|2010?a|?a?2011?a，，那么a?2010? 。

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例题7

0.75?(5?2)(15?0.2)?题目：计算：- - - -

难度分级：B类 试题来源：中考试题汇编

15?1

选题意图（对应知识点）：二次根式的加减乘除的运算。

解题思路：分析利用算术平方要和二次根式的减、乘、除的法则计算并淘汰错误的。

解法与答案:?93255?25??. 254搭配课堂训练题

题目：

（1）下列计算正确的是（ ） A.8?2?2 B.27?12?9?4?1 36?2?32 2C.(2?5)(2?5)?1 D.（2）计算：18?22?8?(5?1)0 24?a2a?3（3）计算：??a?2 2a?6a?92?a 例题8

x2?2x?1x2?11??题目：化简求值：，其中x＝2.

x?2x?1x?2193

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- - - - -

难度分级：B类

试题来源： 中考试题汇编

选题意图（对应知识点）： 分式的化简；代数式的求值。 解题思路：分析先将已知的代数式化简，然后再将x＝解法与答案：

2代入化简后的代数式求值.

(x?1)2(x?1)(x?1)1x2?2x?1x2?11解 ＝ ????x?2x?1x?2x?2x?1x?2(x?1)211xx?11＝＝＝. ???x?2x?1x?2x?2x?2x?2当x＝

2时，原式＝

22(2?2)??2?1. 2?2(2?2)(2?2)搭配课堂训练题

题目：

x3?xy23?23?2（1）已知：x?，求4的值。． ,y?3223xy?2xy?xy3?23?2

（2）已知：a? 例题9

题目：已知直角三角形斜边长为（26＋3）cm，一直角边长为（6＋23）cm，求这个直角三角形的面积．

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11?1?10，求a2?2的值。

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- - - -

难度分级：B类

试题来源：中考试题汇编

选题意图（对应知识点）：勾股定理；二次根式的运算；二次根式的应用。

解题思路：利用勾股定理求出直角三角形的第三条边，然后利用直角三角形的面积公式求出直角三角形的面积。

- 解法与答案：

33?362cm2。

搭配课堂训练题

题目：

(1)第一个正方形的面积等于27cm，第二个正方形的面积为3cm，问第一个正方形的边长是第二个正方形边长的几倍？

(2)如图，扶梯AB的坡比为4:3，滑梯CD的坡比为1:2，设AE＝30米，BC＝30米，一男孩从扶梯底走到滑梯的顶部，然后从滑梯滑下，共经过了多少路程？ 例题10

题目：已知a?2?5，b?5?2，c?5?25的大小

- - - - -

难度分级：B类

2

2

BCAEFD试题来源：2011年中考试题汇编

选题意图（对应知识点）： 二次根式大小的比较

解题思路：由2?4?5，可知道ab?5?2,故c>b>a 解法与答案：故c>b>a

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搭配课堂训练题

题目： 比较3?5与15?1的大小。 例题11

题目：化简13?242

- - - - -

难度分级：C类

试题来源：新课标提高训练

选题意图（对应知识点）：二次根式的化简与求值 解题思路：关键是对根式的变形。

22213?242?(7)?2?7?6?(6)?(7?6)?7?6

解法与答案：

搭配课堂训练题

题目：化简7?210 例题12

题目：观察下列各式：

1?11?2,332?11?3,443?1?451,....请你将发现的规律用含自然数5n(n≥1)的等

式表示出来 ． - - - -

难度分级：C类 试题来源：新课标提高班

选题意图（对应知识点）：二次根式的混合运算；找规律。

解题思路：观察分析每个式子的特点，然后进行归纳，然后推导出式子的规律。

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解法与答案：n?1n?2＝(n?1)1 n?2搭配课堂训练题

题目：

1111?????10098?98100= 。 (1)求和：64?4686?68108?81011112??????(k?1)k?kk?13，则(2)若某个正整数K满足21?1?232?2343?34k= 。 例题13

题目：求满足等式

- - - -

xy?xy?2003x?2003y?2003xy?2003的正整数x、y的值。

难度分级：C类 试题来源：新课标提高班

选题意图（对应知识点）：提取公因式；二次根式的非负性。

解题思路：关键就是抓住这个式子的特点，进行适当的变形，再利用二次根式的性质，求出最终的结果。

- - - - -

解法与答案：由条件得：

(xy?xy?2003xy)?(2003x?2003y?2003)?0，

xy(y?x?2003)?2003(x?y?2003)?0， (xy?2003)(y?x?2003)?0

因为故?(y?x?2003)>0，所以xy?2003。

?x?1?x?2003或?

?y?2003?y?1197

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搭配课堂训练题

x?题目：正整数x和y满足等式

11y?x?y?122 ，求y与x的函数关系式。

四、巩固练习

基础训练题（A类）

1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ）

A.0.2b B.12a?12b C.x?y D.5ab 2. 若18x?2222x2?x?10，则x的值等于（ ） 2x A.4 B.?2 C. 2 D.?4 3. 下列式子中正确的是（ ） A.5?2?7 B.a2?b2?a?b

C.ax?bx??a?b?x D.6?8?3?4?3?2 24. 若3的整数部分为x，小数部分为y，则3x?y的值是（ ） A.33?3 B.1 C. 3 D.3

1有意义，则m的取值范围是 。 m?1326. 若最简二次根式4a2?1与6a2?1是同类二次根式，则a?______。

235. 若?m?198

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7.化简:

⑴. 212?31?5

⑶. 7?437?43?35?1 ⑷. 1?2

13121?? ?48 ⑵. 48?54?2?3?3?1??333??????????2???1?3??1?2??1?3?

2222提高训练（B类）

8.观察分析下列数据，寻找规律： 0，3，6，3，23，15，32，……那么第10个数据应是 . 9. 化简：

?1?.

a3b5?a?0,b?0? ?2?.1x?y32 ?3?.?a?a? ax?y10. 计算及化简：

1??1?a?ba?b?2ab??a??⑴. ?a? ⑵. ???a??a?a?ba?b? ⑶. 22xy?yxxy?yx?yx?xyyx?xy 199

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⑷.

211. 已知x?3x?1?0，求x?2a?2ab?b?ab?a???? ???a?b?a?abb?ab?b?ab1?2的值。 x2

12.已知x＝

13. 已知：x,y为实数，且y? 14. 已知

200

2+1，求??x?1x?1???的值. 22x?xx?2x?1??xx?1?1?x?3，化简：y?3?y2?8y?16。

x?3y?x2?9?x?3?2?0，求x?1的值。 y?1 精品专题课程 · 初中数学

综合迁移（C类）

15.求代数式x?1?

16.已知7x?9x?13?7x?5x?13?7x，求x的最小值。

17.已正整数m、n满足m?174?m?34?n，求n的最大值。

22x?2?x?2的最小值。

五、错题记录

错题题号 错误原因 错误知识点小结 课堂练习 课后作业 201

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202

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