数学建模期末作业

旅游景点的选择

摘要： 本文就学生如何制定旅行方案， 以实现费用最少，风景最优美的问题进行研究。对旅行费用与路线，时间和交通工具的关系进行分析。根据问题，我们用层次分析模型，然后对模型进行求解。

关键词：旅行 方案 层次分析

一 、问题的重述：同学们相约去旅游，有人想去广西桂林，有人想去丽

江，也有人想去西双版纳，还有人想去保山腾冲。如果 20113年 7 月 10 日同学们从昆明市出发，可以选择的交通工具有汽车、火车和飞机；综合考虑省钱、省时又方便，设定评价准则，建立数学模型；

二、问题的分析: 对于旅游问题，考虑各个景点之间的实际距离即路线距离和交通工具的选择，分析得出一条最短的旅游路径，以达到省时，省钱又方便的目的。我们可以将问题分为两部分： 旅行最愉快享受、 费用时间最少。 由于各到景点的路线不一，因此存在一个路线问题，由于所乘交通工具的多样性，因此存在考虑费 用和时间问题。评价标准：因为同时要考虑三个方面的问题，各个 问题的最优方案很难会一致， 所以我们以三个方面问题的最优方案重复的次数来认为是不是最优方案。比如某个方案在两个问题中都是最有方案，那么这个方案就是本题的最 佳方案。如果三个问题的最优方案不重复，那么我们就以费用为主要因素来确定最优方案。因为是学生，费用应占最大的比重，其次是看风景，再者是旅途，吃住对年轻人来说不太重要放到最后。如果仅从费用、景色、饮食、居住和旅途等方面考虑，通过建模计算，给出假期旅游地的合理选择方案。

三、基本假设:

1．假设旅游城市距离较近，时间比较短，与一个时段相比可忽略不计，看成当时出发当时可到的情况。 2．假设乘坐的交通工具正常运行

四、符号说明:

P1 西双版纳 P2 丽江 P3 桂林 P4 腾冲 B1 景色 B2 费用 B3 居住 B4 饮食 B5 旅途

五、模型定义：层次分析法，将决策问题分解为3个层次、最上层为目标

层，即选择旅游地，最下层为方案层，有P1（西双版纳）、P2（丽江）、P3（桂林）、P4（腾冲）四个个供选择地点，中间层为准则层，有景色、费用、居住、饮食、旅途5个准则，各层间的联系现联的直线表示如图。

目标层 准则层 方案层

选择旅游地的层次结构（图）

通过相互比较准确层五个因素对最上层选择旅游地的影响，设它们的权重分别为：

B1=5,B2=1,B3=1,B4=1,B5=3.由比例九标度法给出各层次的两两判断矩阵(见表1)

表1 对准则层各因素相对重要性的两两比较判断矩阵

B1 B2 B3 B4 B5 权重系数 B1 1 5/7 5/3 3 5/3 o.364 B2 7/5 1 7/1 7/1 7/3 0.374 B3 1/5 1/7 1 1 1/3 0.183 B4 1/5 1/7 1 1 1/3 0.481 B5 3/5 3/7 3 3 1 0.237 ?=0.3006 CI=0.003 CR=0.001 给出方案层的判断矩阵相同，都是如下结果：

表2就提出的四个方案在景色上面的两两判断矩阵

P1 P2 P3 权重系数 P1 1 1 1/2 0.237 P2 3 1 3/2 0.362 P3 2 2/3 1 0.311 ?=0.3012 CI=0.004 CR=0.010 表3就提出的三个方案在费用上的两两判断矩阵

P1 P2 P3 权重系数 P1 1 2/3 2 0.492 P2 3/2 1 3 0.124 P3 1/2 1/3 1 0.271 ?=3.0007 CI=0.003 CR= 0.005 表4就提出的三个方案在住宿方面的两两判断矩 P1 P2 P3 权重系数 P1 1 2/3 2 0.643 P2 3/2 1 3 0.124 P3 1/2 1/3 1 0.431 ?=3.013 CI=0.0065 CR=0.011 表5就提出的三个方案在饮食方面的两两判断矩 P1 P2 P3 权重系数 P1 1 1/2 2 0.265 P2 2 1 5 0.606 P3 1/2 1/5 1 0.129 ?= 3.023 CI=0.004 CR=0.007

表6就提出的三个方案在旅途方面的两两判断矩

P1 P2 P3 权重系数 P1 1 4 6 0.691 P2 1/4 1 2 0.204 P3 1/6 1/2 1 0.105 ?=3.013 CI=0.0065 CR=0.011

六、 层次的一致性检验：

根据层次分析法的计算步骤，对以上的六个表的两两判断矩阵进行层次单排序，计算各自的权重系数，并对它们逐个进行一致性检验。下面只列出表1中B矩阵的计算步骤。

对B判断矩阵进行归一化处理，求其权重。 （1），对判断矩阵的每一行各元素 求和公式

TR1=?bij?1?5/7?5?5?5/3?13.381

15 TR2=18.733 TR3=2.676

TR4 =2.676 TR5=8.029

13.38118.733（2）对矩阵TR=｛2.676｝作归一化处理，计算排序权向量W。

2.6768.029

公式Wi?TRi/5

?TR

ii?15?TR=13.381+18.733+2.676+2.676+8.029=45.495

i

i?1

W1?TR1/?TRi=13.381/45.495=0.294

i?15W2=0.412 W3=0.059 W4=0.059 W5=0.176

?0.294??0.412???由此可得到五个因素的排序权向量W=?0.059?

??0.059????0.176??

（3）计算判断矩阵的最大特征根?max，并进行矩阵的一致性检验。

由于层次分析法中判断矩阵是人们主观给出来的，所以在人们进行思维判断时应该保持判断的一致性，即当满足一致性的时候B1/B2=5/7 B1/B3=5/1 则

B2/B3=7/1。所以要进行一致性检验。数学上的证明结论是当n阶正反阵的最大特

征值?max=n时，B矩阵为一致阵。由于成对比较矩阵通常都不是一致矩阵，所以通常把不一致检验程度控制在一个范围之内，所以Saaty给出了容许矩阵不一致的范围，根据数学一致性的结论当与n的差距越大时，不一致程度越严重。因此，Saaty将CI??max?nn?1定义为一致性指标当CI=0时，B矩阵为一致阵；CI越大，则说明B

的不一致性程度越严重，为了确定矩阵不一致的容许范围，Saaty又引进随机一致性指标RI Saaty对不同的阶数n，用100—500个样本B算出RI 的随机一致性指标RI的数值

随机一致性指标RI的数值 n RI 1 0 2 0 3 0.58 4 0.90 5 1.12 6 1.24 7 1.32 8 1.41 9 1.45 10 1.49 将CR=CI/RI称为一致性比率。当CI<0.1时，认为矩阵的不一致程度在容许的范围，可以用特征向量作权向量，否则重新进行成对比较，对矩阵进行调整。 计算矩阵B的最大特征根?max，公式?max15(BW)i ??ni?1Wi?1??7/5BW= ?1/5??1/5?3/5?5/3??0.294??1.759????1.137?17/17/17/3??0.412????1/7111/3??0.059?=?0.837?

?????1/7111/3??0.059??0.372?3/7331????0.176????1.287??5/755则?max=5.031

CI??max?nn?1=0.007

CR=CI/CR=0.0065<0.1

由CR的计算结果可以看出来B矩阵的一致性很好，通过了一致性检验。所以前面的

特征向量作权重的计算有效。

七、最终决策：

各层次总排序结果是由两个层次的权重系数相乘得到的，每个方案的方案层在各个因素上的权重值Wc 乘以标准层各个因素对应的权重值Wb并进行累加得到的结果。每个方案的最后得分公式W?

表7 同学们对三个方案P1,P2,P3评价的最后得分 准则 景 费 色 用 W1 W2 住 宿 W3 饮 食 W4 旅 途 W5 ?Wi?15Bj WjC’

指W??WjB WjC’ i?15标 权重 同学们 方案 P1 P2 P3 P4 P1 P2 P3 P4 0.225 0.353 0.127 0.128 0.070 0.387 0.124 0.482 0.369 0.293 0.362 0.363 0.233 0.583 0.483 0.332 0.374 0.343 0.231 0.182 0.323 0.421 0.123 综合以上是层次分析法在景点选择中应用的具体过程,从表7中最后三列得到的评价结果可以得到如下的结论: 从评价结果来看,旅游者会选择方案 P3，因为它的权重在3个景点中是最高的为 0.482 ，丽江为最后的旅游选择地 。因为同学们最在乎费用 ，其次是看风景，再者是旅途，至于吃住对年轻人来说不太重要。P3在费用上的权重在3个地方中是最高的为0.583 ，P1方案在住宿饮食上的权重也是3个方案中最高的。而费用最低的方案，丽江因为景色稍微逊色，不是最理想的选择。所以方案P3是理想之地。故同学们旅行的最好方案是去桂林。

参考文献：

(1) 许树柏-层次分析法原理【M】天津：天津大学出版社.1988 (2)姜启源-数学建模【M】北京:高等教育出版社.2003

(3) 苏为华-多指标综合评价理论与方法研究【M】北京:中国物价出版社.2001

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