随机信号与分析课后答案 王琳

第一章 随机过程基础

本章要点

概率论、随机变量、极限定理等等是随机信号分析与处理应用的理论基础。

本章主要内容：概率,随机变量及其概率分布,随机变量函数的分布，随机变量的数字特征，特征函数等概念。

基本内容

一、概率论 1、古典概型

用A表示所观察的随机现象（事件），在A中含有的样本点（基本事件）数为nA，则定义事件A出现的概率P?A?为 P?A?? 2、几何概型

用A表示所观察的随机现象（事件），它的度量大小为L?A?,则规定事件A出现的概率

nA n （1-1）

P?A?为 P?A?? 3、统计概率

L?A?L?SE?

（1-2）

对n次重复随机试验EC，事件A在这n次试验中出现的次数fn?A?称为频数。用事件A发生的频数fn?A?与试验次数n的比值Fn?A?称为频率

4、概率空间

P?A??Fn?A??fn?A?n

（1-3）

对随机试验E，试验的各种可能结果（称基本事件、样本点）构成样本空间SE（也称基本事件空间），在样本空间中的一个样本点或若干个样本点之适当集合称为事件域A（A中的每一个集合称为事件）。若事件A?A，则P?A?就是事件A的概率。并称

?SE,A,P?为一个概率空间，而样本空间SE，事件域A素。

二、随机变量

1、随机变量的概念 设已知一个概率空间?实数x1，

，概率P是构成概率空间的三个要

SE,A,P?，对s?SE，

X?s?是一个取实数值的单值函数，则对任意

1X?s??x1是一个随机事件，且

?s:X?s??x??A，则称

X?s?为随机变量。

显然，随机变量

X?s?总是联系着一个概率空间，这将使对随机事件的研究转化为对随机变

量的研究。为了方便，此后若无特别需要将随机变量

2、随机变量的概率密度函数

定义随机变量X的累积概率分布函数为

X?s?简记为X。

F?x??P?X?x?

而把它的导数定义为随机变量X的概率密度函数。

dF?x?dP?X?x?f?x???dxdx

3、条件分布函数

?对随机变量X，

发生的概率

X?x?是一事件（x为一确定实数），则在给定事件B条件下，事件?称为随机变量X的条件分布函数，即

X?x?P?X?xB?F?xB??P?X?xB??P?X?xB?表示联合事件?P?X?xP?B?B?

式中

X?x?B的联合概率。式（1-18）对x求微分，可得到

相应的条件概率密度函数：

f?xB??dF?xB?dxf?x,y?f1?x?

f?yx??

更一般地，可以将上述概念推广到多维随机变量的场合，如在n维随机变量X1,…,Xn中，在Xk?1,…,Xn的取值为xk?1,…,xn的条件下，X1,…,Xk的条件概率密度函数为

f?x1,…,xkxk?1, xn??进而还可得出

f1?x1,…,xn?f?xk?1,…,xn?

f?x1,…,xn??f1?x1?f?x2x1?f?x3x1,x2?…f?xnx1,…,xn?1?4、随机变量独立性

利用条件分布函数的概念，可以对随机变量的独立性进行直观地解释。若随机变量X、

Y相互独立，则意味着X（或Y）发生的概率与Y（或X）是否发生没有关系，从而可以得到

f?x,y??f1?x?f2?y?，F?x,y??F1?x?F2?y? ???f?xy??f1?x?， F?xy??F1?x???f?yx??f2?y?， F?yx??F2?y???

更一般地，对n维相互独立的随机变量X1,…,Xn有

三、随机变量数字特征

f?x1,…,xn??f1?x1?f2?x2?…fn?xn?1、 数学期望

用符号

E???表示统计平均的运算，则定义

为随机变量X的数学期望，它表示了随机变量X取值的集中点，是随机变量概率密度函数的中心，也称均值。

??E?X???xf?x?dx?随机变量X的函数

Y?g?X?的数学期望为

E?Y??E??g?X?????yfY?y?dy??? ??g?x?f?x?dx???

若随机变量X、Y的二维联合概率密度函数为条件概率密度函数为

f?x,y?，已知X的取值为x的条件下，Y的

f?yx?，和已知Y的取值为y的条件下，X的条件概率密度函数为

f?xy?，则

E??YX??????yf?yx?dyE??XY??????xf?xy?dx

为条件数学期望（又称条件均值）。

??

2、 方差

方差是一个描述随机变量X的取值偏离其统计均值

E?X?的分散程度的指标，其定义是

2?D?X??E?X?EX???????? ??式中

????x?E?X??f?x?dx

2

f?x?是X的概率密度函数。

D?X???????x?2xE?X??E?X??f?x?dx222 ?E?X?E?X????????

式中

2E?X???称为随机变量X的均方值。

3、 相关系数与协方差

对随机变量X、Y，定义

R?x,y??E?XY?为X和Y之间的互相关矩。定义

COV?X,Y??E??X?E?X?????Y?E?Y???????为X和Y的互协方差。显然二者之间有关系

COV?X,Y??R?X,Y??E?X?E?Y?从上可见，互协方差也就是零均值化的互相关矩。 相关系数，也称归一化协方差或标准协方差：

rXY?COV?X,Y??

?E???X?E?X???Y?E?Y???D?X?D?Y??X?Y

由于

rXY?1，这样我们就可以解决这一问题。当rXY??1时，表明X和Y强烈相关，

只要知道其中一个随机变量，就可以准确地估计另一个随机变量，当rXY?0时，表明X和Y互不相关；当rXY在0与?1之间取不同值时，反映了X和Y之间不同的相关程度。rXY大，

r?rX3X4相关性就大；rXY小，相关性就小。就上面所及的例子而言，若X1X2，则表明X1和X2之间的相关程度比X3与X4之间的相关程度大，反之亦然。

4、 统计独立、不相关与正交的概念

1）两个随机变量X和Y互不相关，是指相关系数rXY?0，根据相关函数的定义可以推知两随机变量互不相关的必要条件为：

COV?X,Y??0E?XY??R?X,Y??E?X?E?Y?或

2）若两随机变量统计独立，则其联合概率密度函数可以写为两个随机变量各自概率密度函数的乘积：

fXY?x,y??fX?x?fY?y?

或两个随机变量的联合矩可分解为

jkjk????E?XY?EXEY???????

3）若两随机变量X和Y是正交的，则有

E?XY??R?X,Y??0或

COV?X,Y???E?X?E?Y?

5、 矩与数字特征

矩是一组重要的数字特征，利用所有的各阶矩的集合，可以唯一地确定随机变量的概

率分布函数，或辅助描述随机变量概率分布的性质，随机变量的矩分为原点矩和中心矩，对二维随机变量还有联合矩。

1 ） 原点矩与中心矩

一维随机变量的k阶矩，定义为随机变量k次幂的数学期望。 设X为随机变量，用mk表示它的k阶原点矩，则X的k阶原点矩为

kk?mk?E?X?xf?x?dx, k?1,2,…??????

若X的均值为

E?X?，则定义零均值化后的随机变量

X?E?X?的k次幂期望为随机变

量X的k阶中心矩?k。

k??k?E?X?EX???????? ??????x?E?X??f?x?dx, k?1,2,…

k

比对可给出原点矩和中心矩之间的关系如下

?k?E?X?E(X)k? ?k!(?1)k?i(E(X))k?i ?i?0i!(k?i)!ki?0k ? ?2） 联合矩

k!(?1)k?imimk?ii!(k?i)!对二维随机变量，可类似地定义联合矩。若X、Y为随机变量，其j?k阶联合矩定义为

jkjkE??XY?????????xyf?x,y?dxdy

??2, j,k?1,…

当上式中j?k?1时，称为互相关矩。

若X和Y的均值分别为

E?X?、

E?Y?，则

??jkjk??E??X?E?X???Y?E?Y???????x?E?X???y?E?Y??f?x,y?dxdy??????

称为j?k阶联合中心矩。

四、特征函数

随机变量的特征函数是为了方便前述与随机变量有关的计算而引入的。例如高阶矩的计算，多个如两个相互独立的随机变量和、差、积的概率密度函数的求取等等。

1.特征函数的定义及其性质

设有随机变量X，其函数e特征函数，亦

j?x?X????E??exp?j?X?????fX?x?edx???j?X也是一个随机变量，定义ej?X的数学期望为随机变量X的

式中

fX?x?是X的概率密度函数。可见特征函数就是概率密度函数的傅里叶变换，所以可

以用随机变量的特征函数的傅里叶反变换求得随机变量的概率密度函数：

1fX(x)?2??????X(?)e?j?xd?

从上可知，随机变量的特征函数与其概率密度函数是一个傅里叶变换对。所以，傅里叶变换与傅里叶反变换所具有的一切优良性质及求取方法它们都具有了。另外，由于X的概率密度函数具有

及????fX?x??0fX?x?dx?1的特点。因此X的特征函数满足：

??0??1?????1

2 特征函数与矩的关系

将式

j?x?X????E??exp?j?X?????fX?x?edx???

两边对?求导，并令??0，得

d?X???d???0?????jxfX?x?dx?jE?X?

可见，求特征函数在??0处的一阶导数可以求得X的数学期望。

同理，将式（1-71）两边求导k次

dk?X???d?k再令??0，整理可得：

?jk?xkfX?x?ej?xdx???

E??X???mk??j?k?kdk?X???d?k??0

3 多维随机变量的特征函数与联合矩

可以将一维随机变量特征函数的概念直接推广到多维随机变量的情况。 设有n维随机变量X1,X2,…,Xn，其联合概率密度函数

fn?x1,x2,…,xn?，它的联合特征

函数定义为n维随机变量的函数 exp?j(?1X1??2X2????nXn)?的数学期望，即

??n???X(?1,...?2)?E?exp?j??kXk??????k?1 ???????

??fX(x1,...,xn)ej(?1x1?...??nxn)dx1...dxn即联合特征函数与联合概率密度函数构成了一个n维傅里叶变换对，因之，联合概率密度函

数可由n维傅里叶反变换得到：

f?x1,…,xn ??

五、极限定理

1 随机变量序列的收敛性

1?2??nn??…??,?,…,?exp?j?x???kk?dx1…dxn??????12n?k?1?? ??

以下讨论中，均设Xn,n?1,2,…，以及X是定义在同一概率空间?SE,A,P?中的随机变

量。Xn可理解为是依赖于n次随机试验的某种统计量，而X可理解为相应的理论真值。

1）、几乎处处收敛（以概率1收敛）

如果

Ps:limXn?s??X?s??1n????

则称?Xn?几乎处处（以概率1）收敛于

X?s?，简记为Xn???X。

a.e几乎处处收敛也称“以概率1”收敛，其含义是当n??时，事件列Xn?X必然发生，没有其他的可能性。

2）、依概率收敛

若对任意实数??0，有

limPs:Xn?s??X?s????0n????

则称?Xn?依概率收敛于X，简记为Xn???X。

p3）、依分布收敛

若用

n???F?x??表示?X?的分布函数，用F?x?表示Xnn的分布函数，则若有

limFn?x??F?x? 就称?Xn?d依分布收敛于X，简记为Xn???X。

4）、均方收敛 若

?Xn?2E?Xn????满足?，且

2limE?Xn?X??0Xm.s??n?? 称?n?均方收敛于X，简记为Xn???X。

5）、四种收敛之间的联系

下面我们不加证明地给出四种收敛之间的联系，如有必要，读者可参阅相关概率论的书籍文献。

○1 几乎处处收敛或以概率1收敛是比依概率收敛更强的一种收敛，所以若

a.epXn???X，则Xn???X，反之则不然。

○2 以概率收敛是比依分布收敛更强的一种收敛，故若Xn???X，则Xn???X，反之不然。

○3 均方收敛是比依概率收敛更强的一种收敛，即若Xn???X，则Xn???X，

m.sppd2 大数定律

大数定律是研究大量随机现象统计平均结果稳定性的，其中涉及到上节所讨论的收敛性问题，并依据收敛性的不同分为弱大数定律和强大数定律，从而使我们在随机变量均值的估计（样本均值）、概率的估计（相对概率）等方面有了更为科学的基石。

1）、弱大数定律和样本均值

1nYn???Xk?E?Xk????XEX,n?1,…nk?1设随机变量序列?n?具有有限数学期望?n?，若令，有

limP?Yn?0????0n??

则称?Xn?服从弱大数定律，简称大数定律。

弱大数定律表明，对于一个给定的随机序列?Xn?，其样本均值（前n次的算术平均值）

与实际均值（统计平均）之差，大于某任意值??0的概率，在n??时趋于零，即依概率收敛于零，或者说?Xn?的n次算术平均以概率收敛于其统计平均。特别是当每个Xn具有相

同的概率密度分布，也就是原随机变量X的分布时，

p1n?XkE?X?nk?1

?2）、（Borel）强大数定律与相对频率

在n次贝努力试验中，事件A出现的次数为nA，事件A的频率为次试验中出现的概率，若有

fn?Ann，p是A在每

Plimfn?p?1n????a.e 或 fn???p

即贝努力试验中，事件“n??limfn?p”几乎是一个必然事件，故A出现的频率几乎处处收敛，

即以概率1收敛于它的概率p。

3 中心极限定理

中心极限定理研究的是大量随机变量和的极限分布。由于这一问题的重要性，在长达两个世纪的时期内，对收敛于正态分布的极限定理的研究成了概率论研究的中心课题，中心极限定理的名称也由此而来。

中心极限定理可描述如下：

，2…是相互独立的随机变量序列，其均值E?Xn??m，方差D?Xn???，若Xn，n?121n(Xk?m)标准化的和随机变量Yn??? ， 则

nk?1 这就是中心极限定理。 例题

limP(Yn?y)?n??12??y??e?t22dt

1.1有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 （1） 问所选零件为次品的概率是多少？ （2） 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用Bi表示第i批的所有零件组成的事件，用D表示所有次品零件组成的事件。

P?B1??P?B2??P?B3??P?B4??1 4100?0.052000100P?DB3???0.11000P?DB1??200?0.4500

100P?DB4???0.11000P?DB2??1111P?D??0.05??0.4??0.1??0.1??0.1625

4444（2）发现次品后，它来自第二批的概率为，

P?B2D??P?B2?P?DB2?P?D??0.25?0.4?0.615

0.1625

1.2离散随机变量X由0，1，2，3四个样本组成，相当于四元通信中的四个电平，四个样本的取值概率顺序为1/2，1/4，1/8，和1/8。求随机变量的数学期望和方差。

解：E[X]??xiP(X?xi)?0?i?14411117?1??2??3???0.875 2488871717171D[X]??(xi?E[X])2Pi?(0?)2??(1?)2??(2?)2??(3?)2?82848888i?1

?71?1.109 64

1.3设连续随机变量X的概率分布函数为

x?0?0?πF(x)??0.5?Αsin[(x?1)]0?x?2

2?x?2?1求（1）系数A；（2）X取值在（0.5，1）内的概率P(0.5?x?1)。

?πdF(x)??Acos[(x?1)]解：f(x)???22dx??0?0?x?2 其他由

???f(x)dx?1

2?ππ得 ?Acos[(x?1)]dx?Asin[(x?1)]?2A

0222??A?1 2?P(0.5?x?1)?F(1)?F(0.5)?1?1?2sin[(1?1)]?sin[(0.5?1)]??0.35 22224

1.4设随机试验X的分布律为 1 2 0.2 0.5 求X的概率密度和分布函数，并给出图形。 X P 3 0.3 解：f?x??0.2??x?1??0.5??x?2??0.3??x?3?

F?x??0.2u?x?1??0.5u?x?2??0.3u?x?3?

1.5 随机变量X在[α，β]上均匀分布，求它的数学期望和方差。

解：因X在[α，β]上均匀分布

?1?f(x)???????0???下??其他

E[X]??xf(x)dx??-??22x??? dx????2???x21E[X]??xf(x)dx??dx?(?2?2???2)

???3-???D[X]??(x?E[X])2f(x)dx?E[X2]?(E[X])2?-?1(???)2 12

?11.6设随机变量X的概率密度为fX(x)???0度函数。

解：反函数X = h(y) = (Y-1)/5

h′(y) = 1/5 1≤y≤6 fY (y) = fX (h(y))｜h′(y)∣= 1 ×1/5 = 1/5

0?x?1，求Y=5X+1的概率密其他?1/5于是有 fY(y)???0

1?y?6 其他1.7设随机变量X的概率密度函数为f(x)?ae?x，求:(1)系数a；（2）其分布函数。 解：（1）由????f(x)dx?1

?所以a?1 2???f(x)dx??aedx?a????x??0??exdx??e?xdx?2a

0??（2）F?x???x??f(t)dt??1?tedt ??2x所以X的分布函数为

?1xe,x?0??2F?x???

?1?1e?x,x?0??2

1.8 设随机变量X的数学期望和方差分别为m和?，求随机变量Y??3X?2的数学期望、方差及X和Y的相关矩。

解：数学期望：E[Y]??3m?2

方差： D[Y]?(?3)2??0?9?

RXY?E[XY]?E[X(?3X?2)]?E[?3X2?2X] E[X2]?D[X]?(E[X])2???m2

相关矩： RXY??3??3m2?2m

1.9随机变量X和Y分别在[0,a]和[0,证明：

P(x?bcosY)?2b ?a?]上均匀分布，且互相独立。对于b?a，2证：rv. X和Y分别在[0,a]和[0,

?]上均匀分布 2??1?20?x?a0?y??a??2??有f(X)?? 和f(Y)??

?0?0其它其它????0?x?bcosyx?bcosY??????0?y??x?bcosY

bcosy?b?a??2??p(x?bcosy)?p(0?x?bcosy,0?y?)

2?/2bcosy??0dy?f(x,y)dxdy

0?/2bcosy??dy?f(x)f(y)dxdy 因为rv. X和Y相互独立

00?/2bcosy??0dy?012?dxdy a??/2???02b?cosydy a?2b ?a命题得证

1.10 已知二维随机变量（X1,X2）的联合概率密度为fX1X2(x1,x2)，随机变量（X1,X2）与随机变量（Y1,Y2）的关系由下式唯一确定

?X1?a1Y1?b1Y2 ?X?cY?dY1112?2?Y1?aX1?bX2 ??Y2?cX1?dX2证明：（Y1,Y2）的联合概率密度为

fY1Y2(y1,y2)?1fXX(a1y1?b1y2,c1y1?d1y2)

ad?bc12证：做由fY1Y2(y1,y2)到fX1X2(x1,x2)的二维变换

fX1X2(x1,x2)=JfY1Y2(y1,y2) fY1Y2(y1,y2)=

1fX1X2(x1,x2) J?y1?xJ?1?y2?x1?y1ab?x2??ad?bc ?y2cd?x2fY1Y2(y1,y2)?

1fX1X2(a1y1?b1y2,c1y1?d1y2)

ad?bc1.11 随机变量X,Y的联合概率密度为fXY(x,y)?Asin(x?y)2求：（1）系数A；（2）X,Y的数学期望；（3）X,Y的方差；（4）X,Y的相关矩及相关系数。 解： （1）

????220?x,y??

?2?2?2?2??????fXY(x,y)dxdy???Asin(x?y)dxdy?A?sinxdx?cosydy?A?cosxdx?sinydy

000000?2A?1

A?1 2??2??11212（2）fX(x)??fXY(x,y)dy??sin(x?y)dy??sinxcosydy??cosxsinydy

22020??01(sinx?cosx) 21同理 fY(x)?(siny?cosy)

2??2????112121212mX?mY??y(siny?cosy)dy??ysinydy??ycosydy???ydcosy??ydsiny2202020200

112112??ycosy2??cosydy?ysiny2??sinydy

22020020??????4

?2?122?2?(y?)dcos(y?) （3）D[X]?D[Y]??(y?)(siny?cosy)dy???4220440?22?2?22????(y?)cos(y?)2?2(y?)cos(y?)dy

24402?440?????2216?2?(y?0?4)dsin(y??4)

?2??216?2(y??4)sin(y???)2?2?sin(y?)dy

4040???216??2?2

??22??221?（4）相关矩RXY?E[XY]???xyfXY(x,y)dxdy???xysin(x?y)dxdy??1

220000协方差CXY?RXY?E[X]E[Y]??2??216?1

?2?8??16相关系数rXY? ??2?X?Y??8??32CXY

1.12若随机变量X与Y的联合分布律为 Y -1 0 1

X 0 1

Z?XYX与Y的联合分布函数与密度函数；X与Y的边缘分布律；求：（1）（2）（3）

的分布律；（4）X与Y的相关系数。（北P181,T3） 解：（1）

0.07 0.08 0.18 0.32 0.15 0.20 F?x,y??0.07u?x,y?1??0.18u?x,y??0.15u?x,y?1??0.08u?x?1,y?1??0.32u?x?1,y??0.20u?x?1,y?1?f?x,y??0.07??x,y?1??0.18??x,y??0.15??x,y?1??0.08??x?1,y?1??0.32??x?1,y??0.20??x?1,y?1?

（2） X的分布律为

P?X?0??0.07?0.18?0.15?0.40P?X?1??0.08?0.32?0.20?0.60Y的分布律为

P?Y??1??0.07?0.08?0.15P?Y?0??0.18?0.32?0.50 P?Y?1??0.15?0.20?0.35（3）Z?XY的分布律为

P?Z??1??P?XY??1??P?X?1,Y??1??0.08P?Z?0??P?XY?0??P?X?0??P?X?1,Y?0??0.40?0.32?0.72 P?Z?1??P?XY?1??P?X?1,Y?1??0.20（4）因为

E?X??0?0.40?1?0.60?0.60E?Y????1??0.15?0?0.50?1?0.35?0.20

E?XY????1??0.08?0?0.72?1?0.20?0.12

则

Cov?X,Y??E?XY??E?X?E?Y??0.12?0.60?0.20?0

X与Y的相关系数?XY?0，可见它们无关。

1.13 求随机变量X的特征函数，已知随机变量X的概率密度

fX(x)?2e??xx?0

??X解： ΦX(?)????f(x)ej?xdx?2?u(t)e??xej?xdx

??利用傅氏变换：u(t)e??t~2

??j?1

??j?ΦX(?)?

?U?X?Y1.14设随机变量X~N?0,1?，Y~N?0,1?且相互独立，?。

V?X?Y?（1） 随机变量?U,V?的联合概率密度fUV?u,v?； （2） 随机变量U与V是否相互独立？ 解：（1）随机变量?X,Y?的联合概率密度为

fXY?x,y??1e2??x2?y22,?x,y??R2

112??， 12?21u?v?x???22由反函数 ?，J?1?y?u?v?2?21?ufUV?u,v??e4?1?ue（2）由于, 4?22?v24,?u,v??R2

2?v24?1?u??e4?2????1?v?e4????2???2? ???fUV?u,v??fU?u?fV?v?所以随机变量U与V相互独立。

?u,v??R2

1.15已知对随机变量X与Y，有EX?1，EY?3，D(X)?4，D(Y)?16，

?XY?0.5，又设U?3X?Y，V?X?2Y，试求EU，EV，D(U)，D(V)和

Cov(U,V)。

解：首先，

EX2?D(X)?(EX)2?5， EY2?D(Y)?(EY)2?25。

又因为E(XY)?Cov(X,Y)?EX?EY??XYD(X)D(Y)?EX?EY?7。于是

EU?E(3X?Y)?3EX?EY?6，

EV?E(X?2Y)?EX?2EY??5

D(U)?EU2?(EU)2?E(9X2?6XY?Y2)?(EU)2?76 D(V)?EV2?(EV)2?E(X2?4XY?4Y2)?(EV)2?52

E(UV)?E?(3X?Y)(X?2Y)??E(3X2?5XY?2Y2)??70

Cov(U,V)?E(UV)?EU?EV??40

1.16随机变量X1,X2,X3彼此独立；且特征函数分别为?1(x),?2(x),?3(x)，求下列随机变量的特征函数：

（1）X?X1?X2； （2）X?X1?X2?X3； （3）X?X1?2X2?3X3； （4）X?2X1?X2?4X3?10；

jvXe解：（1）?X(v)?E??????1(v)?2(v)

（2）同（1），?X()v??()1v()?()?3v2v

jv?X1?2X2?3X3????1(v)?2(2v)?3(3v) e（3）?X(v)?E???（4）?X(v)?E??e

jv?2X1?X2?4X3?10???ejv10?1(2v)?2(v)?3(4v)

?11.17 已知随机变量X服从柯西分布fX(x)?????2?x2，求他的特征函数。

解： ΦX(?)????fX(x)ej?x1dx?2?2?ej?xdx 22???x???利用傅氏变换：

2????~e 22??xΦX(?)?e

???

1?xe的随机变量X的特征函数。 2j?x1.18 求概率密度为fX(x)??解： ΦX(?)????fX(x)e1?xdx??eej?xdx

2???利用傅氏变换：

2???x~e 22???1ΦX(?)?

1??2

1.19 已知相互独立的随机变量X1，X2，X3，…，Xn的特征函数，求X1，X2，X3，…，Xn线性组合Y??aiXi?c的特征函数。ai和c是常数。

i?1n解：互相独立随机变量之和的特征函数等于各随机变量特征函数之积。

?Y(?)?E{exp[j?(?aiXi?c)]}?eE[?ej?aX]

j?ciinni?1i?1

1.20设有高斯随机变量X~N(?,?2)，试利用随机变量的矩发生特性证明：

(1) EX?? (2) EX2??2??2 (3) EX3?3??2??3

解：特征函数为?X(v)?exp(j?v??2v22)，由矩发生性质，

?(0)?(?j)(j???2v)ej?v??EX?(?j)?X22v2v?0????2ej?v??22??(0)?(?j)2?(j???2v)2ej?v??EX2?(?j)2?X????(0)EX3?(?j)3?X?(?j)3?(j???2v)3ej?v???2222v2v2???2??2?v?0

v2?3?2(j???2v)ej?v??22v2??3??2??3?v?0

1.21证明：

sint1?cost]?（1）H[tt

j?0tj?0tH[e]??je（2）

1]??(t) （3）H[?tt1?1H[]?（4）

1?t21?t2

sint?1sintsin200?t]?cos200?t (5) H[ttsint?1sintH[cos200?t]??sin200?t (6)

tt?1

1.22证明：（1）偶函数的希尔伯特变换为奇函数。（2）奇函数的希尔伯特变换为偶函数。

练习题

第二章 随机过程 本章要点：

具体内容：

一、随机过程的概念

定义一：把随机过程看作是依赖于样本空间的时间函数集：

1X?t??limx?t?dtT??2T?-T (2－47)

式(2－46)表明，若望（均值）。

（2）相关函数的遍历性过程：设

TX?t?具有均值遍历性，则

X?t?的时间平均以概率1等于

X?t?的数学期

X?t?a,e是一平稳随机过程，若有

(2－48)

X?t?X?t?????X????E??X?t?X?t??????RX??? P?1则称

X?t?具有相关函数遍历性，式中

?X????X?t?X?t????x?t?x?t???T

1?limx?t?x?t???dtT??2T?-T (2－49)

式(2－48)表明，若

X?t?具有自相关函数遍历性，则

X?t?的时间相关函数以概率1等于

X?t?的自相关函数（二阶联合原点矩）。

（3）宽遍历性过程

设

X?t?是一平稳随机过程，若

X?t?同时具有均值遍历性和自相关函数遍历性，则称

X?t?为宽遍历性过程，简称遍历过程。

四、常用随机过程 例题

2.1 随机过程X(t)?Acos?t?Bsin?t，其中?为常数，A、B是两个相互独立的高斯变量，并且E[A]?E[B]?0，E[A2]?E[B2]??2。求X(t)的数学期望和自相

关函数。

解： E[X(t)]?E[Acos?t?Bsin?t]?E[Acos?t]?E[Bsin?t]

?E[A]cos?t?E[B]sin?t

?0 （E[A]?E[B]?0）

RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[(Acos?t1?Bsin?t1)(Acos?t2?Bsin?t2)] ?E[A2cos?t1cos?t2?ABcos?t1sin?t2?ABsin?t1cos?t2?B2sin?t1sin?t2]

?E[A2]cos?t1cos?t2?E[A]E[B]cos?t1sin?t2?E[A]E[B]sin?t1cos?t2?E[B2]sin?t1sin?t2?E[A2]cos?t1cos?t2?E[B2]sin?t1sin?t2 （E[X2]?D[X]?(E[X])2） ??2cos?(t2?t1)

??2cos?(?) （??t2?t1）

2.2给定随机过程X(t)和常数a，试以X(t)的自相关函数来表示差信号Y(t)?X(t?a)?X(t)的自相关函数。 解：

由题意可得：

RY(s,t)?E[Y(s)Y(t)]?E{[X(s?a)?X(s)][X(t?a)?X(t)]}

?E[X(s?a)X(t?a)]?E[X(s?a)X(t)]?E[X(s)X(t?a)]?E[X(s)X(t)]?RX(s?a,t?a)?RX(s?a,t)?RX(s,t?a)?RX(s,t)

2.3若随机过程X(t)在均方意义下连续，证明它的数学期望也必然连续。

证： 由均方连续的定义limE[X(t??t)?X(t)]?0，

?t?02展开左式为：limE[X2(t??t)?X(t??t)X(t)?X(t??t)X(t)?X2(t)]

?t?0=lim{E[X(t??t)((X(t??t)?X(t))]?E[X(t)((X(t??t)?X(t))]?0

?t?0固有limE[X(t??t)]?E[X(t)]?0，证得数学期望连续。

?t?0

2.4 证明随机过程存在均方导数的充分条件是：自相关函数在他的自变量相等时

?2R(t1,t2)存在二阶偏导数

?t1?t2证：

t1?t2。

?R(t1,t2)R(t??t1,t2)?R(t1,t2)E[X(t1??t1)X(t2)]?E[X(t1)X(t2)] ?limX1?lim?t?0?t?011?t1?t1?t1?limE[X(t1??t1)X(t2)?X(t1)X(t2)]E[X(t2){X(t1??t1)?X(t1)}] ?lim?t1?0?t?01?t1?t1?2R(t1,t2)E[X(t2??t2){X(t1??t1)?X(t1)}]?E[X(t2){X(t1??t1)?X(t1)}]?lim?t1?0,?t2?0?t1?t2?t1?t2

??t1?0,?t2?0limE[{X(t2??t2)?X(t2)}{X(t1??t1)?X(t1)}]在t1?t2时存在，

?t1?t2X(t??t)?X(t)2}]存在。

?t也就是limE[{?t?0

2.5 假定正弦电压信号X(t)?Acos??t???，其中，A服从均匀分布U(?1,?1)，?服从均匀分布U(??,??)，它们彼此独立。如果信号施加到RC并联电路上，求总的电流信号及其均方值。 解：由电路原理的相关知识可知：

A 总电流I为I?cos(wt??)?ACwsin(wt??)，则

RAE[I2]?E[(cos(wt??)?ACwsin(wt??))2]RA2A2C2?E[2cos(wt??)?sin(2wt?2?)?A2C2w2sin2(wt??)]

RR1C2w2?2?3R32.6 判断随机过程X(t)?Acos(?t?Φ)是否平稳？其中?为常数，A、Φ分别为均匀分布和瑞利分布的随机变量，且相互独立。

fΦ(?)?12?0???2?； fA(a)?2?a?e2?a22?2a?0

解： E[cos(?t?Φ)]??cos(?t?Φ)01d??0 2?E[X(t)]?E[Acos(?t?Φ)]?E[A]E[cos(?t?Φ)]?0

RX(t,t??)?E[A2cos(?t?Φ)cos{?(t??)?Φ}]?1E[A2]E[cos(2?t?2Φ???)?cos??]2

1E[A2]cos?? 与时间的起点无关，且E[X2(t)]?? 2因此，是广义平稳的随机过程。

2.7 证明由不相关的两个任意分布的随机变量A、B构成的随机过程

?X(t)?Acos?0t?Bsin?0t

是宽平稳而不一定是严平稳的。其中?0t为常数，A、B的数学期望为零，方差?2相同。

证：E[X(t)]?E[A]cos?0t?E[B]sin?0t?0

RX(t,t??)?E[(Acos?0t?Bsin?0t)(Acos?0(t??)?Bsin?0(t??)]

?E[A2cos?0tcos?0(t??)?ABcos?0tsin?0(t??)?ABsin?0tcos?0(t??)?B2sin?0tsin?0(t??)]?E[A2]cos?0tcos?0(t??)?E[A]E[B]cos?0tsin?0(t??)?E[A]E[B]sin?0tcos?0(t??)?E[B2]sin?0tsin?0(t??)2?E[A2]cos?0tcos?0(t??)?E[B2]sin?0tsin?0(t??)

（E[X2]?D[X]?(E[X])2）

??2cos?0?

E[X2(t)]??

因此，是广义平稳的随机过程。

RX(t1,t2,t3)?E[(Acos?0t1?Bsin?0t1)(Acos?0t2?Bsin?0t2)(Acos?0t3?Bsin?0t3)]

?E[(A2cos?0t1cos?0t2?ABcos?0t1sin?0t2?ABsin?0t1cos?0t2?B2sin?0t1sin?0t2)(Acos?0t3?Bsin??E[(A3cos?0t1cos?0t2?A2Bcos?0t1sin?0t2?A2Bsin?0t1cos?0t2?AB2sin?0t1sin?0t2)cos?0t3]?E[(A2Bcos?0t1cos?0t2?AB2cos?0t1sin?0t2?AB2sin?0t1cos?0t2?B3sin?0t1sin?0t2)sin?0t3]

?E[A3cos?0t1cos?0t2cos?0t3]?E[B3sin?0t1sin?0t2sin?0t3]

可见，该随机过程构不成三阶平稳，因此不符合严平稳过程的要求。

2.8 有三个样本函数x1(t)?2,x2(t)?2cost,x3(t)?3sint组成的随机过程X(t)，每个样本函数发生的概率相等，是否满足严平稳或宽平稳的条件？

解：X(t)?{x1(t),x2(t),x3(t)}?{2,2cost,3sint}

P1?P2?P3?31 31E[X(t)]??xi(t)Pi?(2?2cost?3sint)

3i?1由于数学期望与时间相关，不为常数，因此不满足一阶平稳，也就不满足严

平稳或宽平稳的条件。

2.9 已知随机过程X(t)?Acos(?t?Φ)，Φ为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，A可能是常数、时间函数或随机变量。A满足什么条件时，X(t)是各态历经过程？

解：

（1）考查X(t)为平稳过程的条件

在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足

E[X(t)]?0RX(t,t??)?E[X(t)X(t??)]?E[A2cos(?t?Φ)cos{?(t??)?Φ}]1E[A2]{E[cos(2?t?2Φ???)]?E[cos??]} 21?E[A2]cos?? 2?

?RX(?)

（2）考查X(t)为各态历经过程的条件

在A为常数或与Φ不相关的随机变量时，满足

11AX(t)?limX(t)dt?limAcos(?t?Φ)dt?limcosΦsin?T?0?E[X(t)]T??2T?T??2T?T???T?T?T 而

TT11X(t)X(t??)?limX(t)X(t??)dt?limA2cos(?t?Φ)cos{?(t??)?Φ}dt ??T??2TT??2T?T?TTT

1A2?lim[cos(2?t?2Φ???)?cos??]dt T??2T?2?TA2?cos?? 2T只有在A为常数时，满足X(t)X(t??)?RX(?)。 欲使X(t)是各态历经过程，A必为常数。

2.10 设X(t)和Y(t)是相互独立的平稳随机过程，他们的乘积是否平稳？

解：令Z(t)?X(t)Y(t)

E[Z(t)]?E[X(t)Y(t)]?E[X(t)]E[Y(t)]?mXmY RZ(t,t??)?E[X(t)Y(t)X(t??)Y(t??)]?E[X(t)X(t??)]E[Y(t)Y(t??)]?RX(?)RY(?)?RZ(?)又E[Z2(t)]?E[X2(t)Y2(t)]??

X(t)和Y(t)的乘积是平稳的。

2.11 求用X(t)自相关函数及功率谱密度表示的Y(t)?X(t)cos(?0t?Φ)的自相关函数及功率谱密度。其中，Φ为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，X(t)是与Φ相互独立的随机过程。

解

：

RY(t,t??)?E[Y(t)Y(t??)]?E[X(t)cos(?0t?Φ)X(t??)cos{?0(t??)?Φ}]

?E[X(t)X(t??)]E[cos(?0t?Φ)cos{?0(t??)?Φ}]

?1RX(?)cos?0? 2?RY(?)

1SY(?)??RY(?)e?j??d???RX(?)cos?0?e?j??d?2????1??RX(?)[e?j?0??ej?0?]e?j??d?4???1?j(???0)?j(???0)?R(?)[e?e]d?X?4??????

1?[SX(???0)?SX(???0)]4

2.12 平稳高斯过程X(t)的自相关函数为RX(?)?率密度。

1??2?RX(?)?limRX(?)?lime?0 解：mX??????21??e，求X(t)的一维和二维概2mX?0

2?X?RX(0)?RX(?)?1 2（1）X(t)的一维概率密度：

1?2（2）平稳高斯过程n维概率密度等于n个以为概率密度的乘积。

2??222.13 对于两个零均值联合平稳随机过程X(t)和Y(t)，已知?X?5,?Y?10，说明

fX(x,t)?1?ex212?2?1e?x

2下列函数是否可能为他们的自相关函数，并说明原因。

(1)(3)(5)RY(?)??cos(6?)eRY(?)?6?4e?3?2??(2)(4)(6)sin(3?)RY(?)?5[]3?RX(?)?5sin(5?) RX(?)?5e??2RX(?)?5u(?)e?3?解：

（a）自相关函数是偶函数，仅有(1)、(2)、(3)、(6)满足； （b）RX(0)?RX(?)，（a）中仅有(2)、(3)、(6)满足；

2（c）对于非周期平稳过程有?X（b）中仅有(6)满足。 ?RX(0)?RX(?)，

因此，(6)是自相关函数。

2.14 求随机相位正弦信号X(t)?cos(?0t?Φ)的功率谱密度，Φ为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，?0是常数。

RX(t,t??)?E[X(t)X(t??)]?E[cos(?0t?Φ)cos{?0(t??)?Φ}]解：

1?cos?0?2?

SX(?)??

???RX(?)e?j??1d???cos?0?e?j??d?2????2

[?(???0)??(???0)]2.15 已知随机过程X(t)??aiXi(t)，式中ai是常数，Xi(t)是平稳过程，并且相

i?1n互之间是正交的，若SXi(?)表示Xi(t)的功率普密度，证明X(t)功率谱密度为

SX(?)??ai2SXi(?)

i?1n证：因Xi(t)是平稳过程，并且相互之间是正交的，Rij(?)?0,i?j。

RX(?)?E[X(t)X(t??)]?E[?aiXi(t)?aiXi(t??)]

i?1i?1nn??aE[Xi(t)Xi(t??)]??ai2RXi(?)

2ii?1i?1nn???j??SX(?)??RX(?)e??d????i?1??aR2inXi(?)e?j??d???ai2SXi(?)

i?1n

2.16 由X(t)和Y(t)联合平稳过程定义了一个随机过程

V(t)?X(t)co?0st?Y(t)si?n0t

（1）X(t)和Y(t)的数学期望和自相关函数满足那些条件可使V(t)是平稳过程。 （2）将（1）的结果用到V(t)，求以X(t)和Y(t)的功率谱密度和互谱密度表示的V(t)的功率谱密度。

（3）如果X(t)和Y(t)不相关，那么V(t)的功率谱密度是什么？

解：

（1）E[V(t)]?E[X(t)cos?0t?Y(t)sin?0t]?E[X(t)]cos?0t?E[Y(t)]sin?0t

欲使E[V(t)]与时间无关，不随时间函数cos?0t、sin?0t变化，X(t)和Y(t)的数学期望必须是E[X(t)]?0,E[Y(t)]?0；

RV(t,t??)?E[V(t)V(t??)]?E[{X(t)cos?0t?Y(t)sin?0t}{X(t??)cos?0(t??)?Y(t??)sin?0(t??)}]?E[X(t)X(t??)]cos?0tcos?0(t??)?E[X(t)Y(t??)]cos?0tsin?0(t??)?E[Y(t)X(t??)]sin?0tcos?0(t??)?E[Y(t)Y(t??)]sin?0tsin?0(t??)?RX(?)cos?0tcos?0(t??)?RXY(?)cos?0tsin?0(t??)?RYX(?)sin?0tcos?0(t??)?RY(?)sin?0tsin?0(t??)

在RX(?)?RY(?),RXY(?)??RYX(?)时，上式可写作与时间起点无关的表达式：

RV(?)?RX(?)cos?0??RXY(?)sin?0?

因此，当E[X(t)]?0,E[Y(t)]?0，RX(?)?RY(?),RXY(?)??RYX(?)时，V(t)是平稳过程。

（2）对RV(?)?RX(?)cos?0??RXY(?)sin?0?两边同时作傅氏变换：

???j??SV(?)????RV(?)ed???[RX(?)cos?0??RXY(?)sin?0?]e?j??d???11?[SX(???0)?SX(???0)]?[SXY(???0)?SXY(???0)]22（3）X(t)和Y(t)不相关，V(t)的互功率谱密度为零。

1SV(?)?[SX(???0)?SX(???0)]

2

2.17 设两个随机过程X(t)和Y(t)各是平稳的，且联合平稳

X(t)?cos(?0t?Φ)Y(t)?sin(?0t?Φ)

式中，Φ为在[0,2?]内均匀分布的随机变量，?0是常数。他们是否不相关、正交、统计独立。

解：E[X(t)]?E[Y(t)]?0

RX(?)?RY(?)?1cos?0? 21RXY(?)?E[X(t)Y(t??)]?E[cos(?0t?Φ)sin(?0t?Φ)]?sin?0?

21CXY(?)?RXY(?)?E[X(t)]E[Y(t)]?sin?0??0

2X(t)和Y(t)是相关的，不是统计独立的；

又RXY(?)?0，X(t)和Y(t)是非正交的。 2.18零均值高斯信号X(t)的自相关函数为RX(?)?0.5e维概率密度。

?t1?t2，求X(t)的一维和二

解：(1) 因为m(t)?0，D(t)?C(0)?R(0)?0.5，所以一维概率密度函

XXXX数为：

2?1??x?mX(t)???fX?x,t??exp???2D(t)2?DX(t)X????

?

1?exp??x2?(2) 高斯信号X(t)的二维概率密度函数为：

?X(t1)??t1??0?X???μ??，t??，??， X(t)t?2??2??0??C(t,t)C(t1,t2)??RX(t1,t1)RX(t1,t2)?C??11????C(t,t)C(t,t)R(t,t)R(t,t)?2122??X21X22??0.5???0.5exp??t1?t2??0.5exp??t1?t2????0.5?，

C(ti,tj)为协方差，则

fX?x,t??12?C1/2?xTC?1x?exp?? ?2??t1?t2)2.19某高斯的均值mX(t)?2，协方差CX(t1,t2)?8cos(，写出当t1?0、

t2?0.5和t3?1时的三维概率密度。 解：由定义得：

?C(t1,t1)C(t1,t2)...C(t1,tn)?C(0,0.5)C(0,1)????C(0,0)C(t,t)C(t2,t2)...C(t2,tn)???C??21??C(0.5,0)C(0.5,0.5)C(0.5,1)?

???C(1,0.5)C(1,1)????C(1,0)?C(t,t)C(t,t)...C(t,t)n1n2nn??又因为

C(0,0)?C(0.5,0.5)?C(1,1)?8cos(0)?8 C(0,0.5)?C(0.5,1)?C(0.5,0)?C(1,0.5)?8cos(0.5)

C(0,1)?C(1,0)?8cos(1)

设

88cos(1/2)8cos1??X(t1)??t1??2??????????X??X(t2)?，t??t2?，μ??2?，C??8cos(1/2)88cos(1/2)?

?2??8cos1??X(t)??t?8cos(1/2)83???????3?则

fX?x,t??1?2??3/2??x?μ?TC?1?x?μ??exp??? 1/22C?????2??23?2.20设随机变量?X,Y?~N?μ,C?，其中μ???，C???，求?X,Y?的概率

?2??35?密度和特征函数?XY?u,v?。

解：因为E(X)?2与E(Y)?2，DX?2,DY?5，而??于是，(X,Y)~N2,2;2,5;3/10。则 (X，Y)的概率密度函数为

??x?2?23?x?2??y?2??y?2?2?1fXY?x,y??exp{?5????}

2?255????Cov(X,Y)33??。

DXDY2510??其特征函数为

?XY?u,v??exp?2j?u?v??

练习题：

??1?2u2?6uv?5v2?? ?2?

第三章 平稳随机过程相关分析和谱分析

本章要点

具体内容

一、 平稳随机过程的相关函数

1 自相关函数、自协方差函数及其性质 平稳随机过程的自相关函数具有如下性质：

1）、

RX???、自协方差函数

KX???是时间间隔?的单变量函数，并

RX???是?的偶函数，即

RX????RX????

KX????KX????2）、 自相关函数在??0处达到极大值，即

22RX????RX?0??E??X?t?????X

22KX????KX?0??E??X?t??m1????X??

3）、 若平稳随机过程是一个周期过程，即

X?t??X?t?T?，则它的自相关函数必是一

个周期函数，且它的周期与过程的周期相同。这一结论可直接将函数的周期性条件代入相关

函数的定义去证明，其证明过程请读者自己独立完成。

推论：若平稳过程

X?t?含有一个周期分量，则其相关函数也会有一个同周期的周期分

量。

4）、 若平稳随机过程不包含任何周期分量，则有

???2limRX????RX????mX

2mmXX5）、 若平稳过程会有均值分量，则相关函数也将会有均值分量，即

2RX????KX????mX

或

2KX????RX????mX2在??0时，有?2?m?m2X。 X6）、 平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换在整个频率轴上非负：

S?????RX???e?j??d??0??? 对所有?。

2 互相关函数、互协方差及其性质

互协方差函数的讨论涉及到两个平稳相依的过程。

设平稳随机过程

X?t?和

Y?t?联合平稳，则它们的互相关函数定义为

RXY????E??X?t?Y?t?????可见1、 2、

RXY???是时间间隔?的单变量函数，并具有如下性质：

或

RXY?????RYX???同理还有

2RYX?????RXY???

2

YX

KXY?????K???

RXY????RX?0?RY?0?

22KXY????KX?0?KY?0???X?Y1RXY??????RX?0??RY?0???23、

4、两随机过程

X?t?、

Y?t?的互协方差函数与互相关函数之间有如下关系

KXY????E???X?t??mX??Y?t????mY??? ?RXY????mXmY5、若

X?t?与

Y?t?相互正交，则

RXY????E??X?t?Y?t??????0KXY????RXY????mXmY??mXmY

6、

X?t?与

Y?t???互不相关，则

KXY????RXY????mXmY?0RXY????E??X?t?????Y?t??????mXmY7、

???

limRXY????RXY????mXmYlimKXY????KXY????0

???

3 相关系数和相关时间

1、相关系数

对协方差函数进行归一化处理而引入相关系数的概念，即定义

2KX(?)RX(?)?mXRX(?)?RX(?) rX(?)???22KX(0)?X?X

为随机过程

X?t?的相关系数。

从上可见：

○1 相关系数rX(?)具有相关函数

RX???和协方差函数

KX???相似的主要性质；

○2 相关系数的值域区间为?1?rX(?)?1，这是归一化的直接结果；

○3 相关系数rX(?)能确切表示随机过程中的两个起伏量之间的线性关联程度，其中

rX(?)?0，表示不相关；rX(?)?1表示完全相关；rX(?)?0表示正相关，其含意是说明

?X?t??m?和?X?t????m?符号相同的可能性大；rXXX(?)?0表示负相关，说明符号相

反的可能性大。

2、相关时间

???相关系数在???时的性质表明，当???时，

X?t?与

X?t???之间互不相关，即

limrX(?)?rX(?)?0。实际上，取极限的过程本身就隐含着，随着?的增大，rX(?)会愈

X?t?与

来愈小；当?大到一定程度时，rX(?)就已经很小了，可以认为这时的

X?t???已

互不相关。在工程技术上，这样的?称为相关时间，记为?0；即当???0时，rX(?)事实上已经很小，可以认为

1） 定义1

X?t?与

X?t???实际上已不相关。

?0??rX(?)d?

0?

即用高为rX(0)?0，宽为?0的矩形面积等于??0时相关系数曲线下的总面积来定义?0。

2） 定义2

rX(?0)?0.05

这是工程上常用的定义，是指相关系数取值小于等于0.05时所对应的?为相关时间，意即相关系数取值小于等于0.05时，就认为是很小了，这时可以认为

X?t?与

X?t???互不相关。

相关时间?0的大小，意味着相关系数rX(?)随?增大变化速度的大小，反映了随机过程

随时间变化的激烈程度。相关时间?0小，意味着相关系数rX(?)随?增大迅速减小，表明随机过程随时间变化激烈；反之，相关时间?0大，表明随机过程随时间变化缓慢。

通过对互协方差函数进行归一化处理引入互相关系数

rXY(?)?KXY(?)KX(0)KY(0)?KXY(?)?X?Y?RXY(?)?mXmY?X?Y?RXY(?)?RXY(?)?X?Y

用以表示两个随机过程在间隔?时两个起伏量之间的相关程度，它也具有rX(?)相类似的性质及意义。 定义两个过程的互相关时间：

?0xy??rxy(?)d?

0?

4 时间自相关函数

随机过程的时间平均自相关函数定义如下：

1T?XtXt??dt?????T??2T??T?1T? ?x?t?x?t????lim?x?t?x?t???dt?T??2T?T?1TkX?????X?t??mX??X?t????mX??lim??X?t??mX??X?t????mX?dt ?T??2T?T??1T???x?t??mX??x?t????mX??lim??x?t??mX??x?t????mX?dtT??2T?T?

RX????X?t?X?t????lim时间自相关函数具有如下性质：

1）、时间平均自相关函数与集合平均自相关函数是等价的，即

RX????RX???。

2）、对过程的时间平均自相关函数与对过程的任一个样本函数的时间平均自相关函数是

等价的。

3）、时间平均自相关函数偶对称性

RX???具有集合平均自相关函数

RX???所具有的同样性质，如

RX?????x?t?x?t????x?t???x?t??RX??? 及相关函数与协方差、均值之间的如下关系：

2RX????kX????mX

二、

平稳随机过程的功率谱

1 功率谱密度的概念和定义

随机过程的功率谱密度：

2E?XT?????SX????lim?T??2T

从此定义可见，

SX???是对随机变量

XT???2求了集合平均的结果，

SX???已经不再具有

随机性了，它是?的确定性函数。

特别是若过程

X?t?具有各态历经性时，则有

2E?XT????? SX????lim?T??2T? limp?1a,eXT???2T2T??

这表明样本函数的功率谱密度以概率1等于随机过程的功率谱密度，即可写为

SX????lim对平稳随机过程，式（3-33）可写为

2E??X?t????XT???2T2T??

12?????SX???d?

平稳随机过程的平均功率就是均方值。分布，所以对

SX???描述了随机过程的功率在各个不同频率上的

SX???在

X?t?的整个频率范围内积分得到的就是随机过程的功率。

2 功率谱密度的性质

1）、非负性，即

SX????0根据定义式（3-34），由于2）、可积性，即

。

XT????02，故

TSX????012???TSX(?)d???

由式（3-35），功率谱密度函数曲线下的总面积等于过程的均方值，而均方值总是有限的，

所以功率谱密度可积。

3）、偶对称性，即

SX????SX????

SX???

的偶函数性质是对实随机过程而言。

4）、实函数特性，即

*SX????SX???

5）、可分解特性——谱分解定理

3 互功率谱密度

1）、概念和定义

*E?X?Y??????TT??

SXY????limT??2T

称为过程

X?t?和

Y?t?的互功率谱密度，它描述了

x?t?和

y?t?的互功率在各个不同频率上

在频域的积分来获得。

的分布；式中左边表明了对两个随机过程的互功率可以通过对

SXY???2、互功率谱密度的性质

与单个随机过程的功率谱密度不同，互功率谱密度不再是频率?的正的、实的、偶的函数。

1）

SXY???是一个非奇非偶函数，即

*SXY????SYX?????SYX???

2）

3）

SXY???SXY???不再是?的正实函数，而是一个复函数。 的实部是?的偶函数，虚部是?的奇函数。

4） 若两过程5） 若

X?t?与

Y?t?正交，则

SXY????SYX????0，

，则

X?t?与

Y?t?互不相关，且

E??X?t????mXE??Y?t????mY

SXY????SYX????2?mXmY????

三、

相关函数与功率谱之间的关系

1 维纳——辛钦定理

平稳随机过程的自相关函数的傅里叶变换为过程的功率谱密度

1RX????2?????SX???ej??d?

平稳随机过程的自相关函数与过程的功率谱密度为傅里叶变换，这一关系就是著名的维纳——辛钦定理。这一定理的主要意义在于它给出了平稳随机过程的时域特性和频域特性之间的联系，是分析随机信号的基本而重要的公式。

2 互相关函数与互功率谱密度

两平稳相依的实随机过程里叶变换对，即

X?t?和

Y?t?的互相关函数与互功率谱密度之间也构成一个傅

SXY?????RXY???e?j??d????

RXY????12?????SXY???ej??d?

例题：

3.1随机电压信号U?t?在各不同时刻上是统计独立的，而且，一阶概率密度函数是高斯的、均值为0，方差为2，试求：

（1）密度函数f?u;t?、f?u1,u2;t1,t2?和f?u1,u2,...,uk;t1,t2,...,tk?，k为任意整数；

（2）U?t?的平稳性。 解：

x2(1)f(u;t)?exp{?}

42?1u12?u221f(u1,u2;t1,t2)?f(u1,t1)f(u2,t2)?exp{?}

4?4kf(u1,u2,,uk;t1,t2,tk)??f(ui,ti)?i?11(2?)kexp{??ui?1k2i4}

(2)由于任意k阶概率密度函数与t 无关，因此它是严平稳的。

3.2已知随机信号X(t)和Y(t)相互独立且各自平稳，证明新的随机信号Z(t)?X(t)Y(t)也是平稳的。 解：

X(t)与Y(t)各自平稳，设mX=E[X(t)]，mY=E[Y(t)]，

RX(?)?E[X(t??)X(t)]，RY(?)?E[Y(t??)Y(t)]

mZ(t)?E[Z(t)]?E[X(t)Y(t)]?E[X(t)]?E[Y(t)]?mXmY，为常数

RZ(t??,t)?E[Z(t??)Z(t)]?E[X(t??)Y(t??)X(t)Y(t)]?E[X(t??)X(t)]?E[Y(t??)Y(t)]?RX(?)?RY(?)?RZ(?)?RZ(?)仅与?有关，故Z(t)?X(t)Y(t)也是平稳过程。

3.3RC积分电路的输入电压为X(t)?X0?cos(?0t?Φ)，其中X0和Φ分别是在[0，1]和[0，2?]上均匀分布的随机变量，且相互独立。求输出电压Y(t)的自相关函数。

解：RX(?)?E[X(t)X(t??)]?E[{X0?cos(?0t?Φ)}{X0?cos(?0t??0??Φ)}]

2?E[X0?X0cos(?0t?Φ)?X0cos(?0t??0??Φ)?cos(?0t?Φ)cos(?0t??0??Φ)] 2?E[X0]?0?0?E[cos(?0t?Φ)cos(?0t?Φ)cos(?0?)?cos(?0t?Φ)sin(?0t?Φ)sin(?0?)]

2?E[X0]?11E[cos2(?0t?Φ)?cos0]cos(?0?)?E[sin2(?0t?Φ)?sin0]sin(?0?) 22?11?cos?0? 32RC积分电路的H(?)?????j?,??1 RCSX(?)??RX(?)e?j??d?

??21=??(?)??[?(???0)??(???0)] 32?221SY(?)?H(?)SX(?)?2{??(?)??[?(???0)??(???0)]}

???23221RY(?)?2??j??S(?)ed? Y???11?21?2j?0??j?0? ??e?e222234???04???011?2??cos?0? 2232???0

3.4 冲激响应为h1(t)和h2(t)的两个系统并联，求h1(t)、h2(t)和X(t)的自相关函数表示的Y1(t)和Y2(t)的互相关函数。

解：设X(t)为平稳过程，h1(t)和h2(t)为线性时不变系统，有

??RY1Y2(t,t??)?E[Y1(t)Y2(t??)]?E[?

???????X(t??)h(?)X(t????)h(?)d?d?]11122212???????RX(???1??2)h1(?1)h2(?2)d?1d?2

?RX(?)?h1(??)?h2(?)

3.5 随机过程X(t)作用到脉冲响应为h1(t)和h2(t)的串联系统。求h1(t)、h2(t)和X(t)的自相关函数表示的Y1(t)和Y2(t)的互相关函数。

解：设X(t)为平稳过程，h1(t)和h2(t)为线性时不变系统，有

RY1(?)?RX(?)?h1(??)?h1(?)

RY1Y2(?)?RY1(?)?h2(?)?RX(?)?h1(??)?h1(?)?h2(?)若图示系统的输入X(t)为平稳随机过程，求输出的功率谱密度。

解：RY(?)?E[Y(t)Y(t??)]?E[{X(t)?X(t?T)}{X(t??)?X(t?T??)}

?2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)

???j??SY(?)??RY(?)e??d???{2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)}e?j??d?

???2SX(?)?SX(?)e?j?T?SX(?)ej?T

?2(1?cos?T)SX(?)

3.6随机信号X?t??10sin??0t???，?0为确定常数，?在???,??上均匀分布的随机变量。若X(t)通过平方律器件，得到Y(t)?X2(t)，试求： （1）Y(t)的均值；

（2）Y(t)的相关函数；

（3）Y(t)的广义平稳性。

解：(1)E[Y(t)]?E[X2(t)]?E[100sin2(?0t??)]?50E[1?cos(2?0t?2?)]?50

?2?RY(t??,t)?E[Y(t??)Y(t)]?E[X2(t??)X2(t)]?E[100sin2(?0t??)?100sin2(?0t??0???)]?2500E[1?cos(2?0?)?cos(4?0t?2?0??4?)]?2500E[1?cos(2?0?)]?RZ(?)仅与?有关，且均值为常数，故Y(t)是平稳过程。

3.7给定随机过程X?t??Acos??0t??Bsin??0t?，其中?0是常数，A和B是两个任意的不相关随机变量，它们均值为零，方差同为?2。证明X?t?是广义平稳而不是严格平稳的。 证明：

mX(t)?E[X(t)]?E[Acos(?0t)?Bsin(?0t)]?0

RX(t??,t)?E[X(t??)X(t)]?E{[Acos(?0t)?Bsin(?0t)]?[Acos(?0t??0?)?Bsin(?0t??0?)]}?E[A2cos(?0t)?cos(?0t??0?)?B2sin(?0t)?sin(?0t??0?)]11??2E[cos(2?0t??0?)?cos(?0?)]??2E[cos(?0?)?cos(2?0t??0?)]22??2cos(?0?)由于均值是常数，且相关函数只与?有关，故X(t)是广义平稳过程。

取t1?2?

?02??取t2?+时，X(t)?B,?02?0显然fX(x,t1)?fA(x)不一定等于fX(x,t2)?fB(x)?X(t)不是严格平稳的。时，X(t)?A

3.8Y(t)是广义周期平稳的实随机信号，平稳周期为100，有均值m(10)?20和相关函数R(5,1)?10，试求：

（1）E[5Y(110)]，E[10Y(310)?50]；

（2）E[Y(105)Y(101)]，E[30Y(205)Y(201)?200]； （3）E[10Y(305)Y(301)?6Y(210)?80]。

解：

Y(t)是广义周期平稳随机信号，(1)E[5Y(110)]?5E[Y(10)]?5m(10)?5?20?100E[10Y(310)?50]?10E[Y(10)]?50?250

(2)E[Y(105)Y(101)]?E[Y(5)Y(1)]?R(5,1)?10E[30Y(205)Y(201)?200]?30E[Y(5)Y(1)]?200?500(3)E[10Y(305)Y(301)?6Y(210)?80]?10R(5,1)?6m(10)?80?300

3.9两个统计独立的平稳随机过程X(t)和Y(t)，其均值都为0，自相关函数分别

??为RX(?)?e，RY(?)?cos2??，试求：

（1）Z(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数； （2）W(t)?X(t)?Y(t)的自相关函数； （3）互相关函数RZW(?)。 解：

(1)RZ(t??,t)?E[Z(t??)Z(t)]?E{[X(t??)?Y(t??)]?[X(t)?Y(t)]}?E[X(t??)X(t)]?E[Y(t??)Y(t)]?RX(?)?RY(?)?e?cos(2??)??

(2)RW(t??,t)?E[W(t??)W(t)]?E{[X(t??)?Y(t??)]?[X(t)?Y(t)]}?E[X(t??)X(t)]?E[Y(t??)Y(t)]?RX(?)?RY(?)?e?cos(2??)??

(3)RZW(t??,t)?E[W(t??)Z(t)]?E{[X(t??)?Y(t??)]?[X(t)?Y(t)]}?RX(?)?RY(?)?RXY(?)?RYX(?)又由于X(t)与Y(t)零均值相互独立，同时彼此正交，则RXY(?)?RYX(?)?0?RZW(t??,t)?RX(?)?RY(?)?e???cos(2??)

3.10对于两个零均值广义平稳随机过程Xt和Yt，已知?2?5，?2?10，问

????XY下述函数可否作为自相关函数，为什么？ （1）RX????5u???exp??3??；

?1（2）RX????5sin?5??；

（3）RY????9?1?2?2?； （4）RY?????cos?6??exp????；

?sin?10????sin?3??? （5）RX????5?； （6）。 RY????6?4????3???10?? （6）RX????5exp(??)； （7）RY????6?4exp(?3?2)。 解：根据平稳随机信号相关函数的性质，

(1)否，非偶函数 (2)否，非偶函数 (3) 否，RY(0)?9??2Y (4) 否，RY(0)??1在原点不是非负

(5)是 (6) 是 (7) 是 (8) 是

3.11已知随机过程X(t)和Y(t)独立且各自平稳，自相关函数为

??RX(?)?2ecos?0?与RY(?)?9?exp(?3?2)。令随机过程Z(t)?AX(t)Y(t)，其中A是均值为2，方差为9的随机变量，且与X(t)和Y(t)相互独立。求过程Z(t)的均值、方差和自相关函数。 解：

2Z(t)的均值:E[Z(t)]?E[A?X(t)?Y(t)] 　　　　?E[A]?E[X(t)]?E[Y(t)]　　　　?2E[X(t)]?E[Y(t)]2mX?RX(?)?lim2cos?0?e?????0?mX?0

?E[Z(t)]?0Z(t)的相关函数：Rz(s,t)?E[A2X(s)?Y(s)?X(t)?Y(t)]?E[A2]?E[X(s)?Y(s)?X(t)?Y(t)]?13?E[X(s)?X(t)]?E[Y(s)?Y(t)]?13?RX(?)?RY(?)?26?e??

2?cos?0??(9?e?3?)

?Z(t)的方差：D[Z(t)]?RX(0)?26?10?260

3.12功率谱密度为N0/2的白噪声作用到H(0)?2的低通网络，它的等效噪声带宽为2MHz。若在1欧姆电阻上噪声输出平均功率是0.1W，N0是多少？

解：设为??e等效噪声带宽，低通系统输出的平均功率为

N0??e2?106N04?1062RY(0)?H(0)??4?N0

2?2??N0???0.14?106??4?10?7W/Hz??

3.13平稳信号X(t)的功率谱密度为

?2（1）SX(?)?4

??3?2?2?8?(?)?20(1??/10),（2）S(?)??0,?求它们的自相关函数和均方值。

解：(1)

??10 ??10?2?12SX(?)?4????3?2?2?2?1?2?2?1??1?IFT???e?e22?RX(0)?11? 222?

?RX(?)

(2) 根据傅立叶变换的对称性，有:

T?4sin2()8202,其中，T?10 RX(?)???22?2?T?]?RX(?)?4/??mX2 D[x(t)?2T0? /?RX(0)?204/?

3.14下述函数哪些是实随机信号功率谱的正确表达式？为什么？

2?sin??

（1）?????

（2）

?2?6?3?2?3

（3）

???(?) 4??12 （4）

?4j????1262

（5）

? 42??2??1（6） e?(??1)

解： 判断的原则：实平稳信号功率谱是实的，非负的偶函数。

(1)是。 (2)是。

(3)不是，??0时值为负数。 (4)不是，功率谱为复数，与判断原则相悖。

(5)是。 (6)不是，因为它不是偶函数。

3.15 X(t)是平稳随机过程，证明过程Y(t)?X(t?T)?X(t)的功率谱是

SY(?)?2SX(?)(1?cos?T)

Y(t)的相关函数：RY(?)?E[?X(t?T)?X(t)???X(t???T)?X(t??)?]?E[X(t?T)?X(t???T)?X(t)?X(t??)?X(t)?X(t???T)?X(t?T)?X(t??)]

?2RX(?)?RX(??T)?RX(??T)???2Sx(?)?Sx(?)e

FT?j?T?Sx(?)ej?T?2Sx(?)?(1?cos?T)

3.16设两个随机过程X(t)和Y(t)联合平稳，其互相关函数为

?9e?3? RXY(?)???0求互谱密度SXY(?)与SYX(?)。 解：

??0 ??0

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