万学海文春季基础班讲义-刘西垣(高数下)

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62第六讲 向量代数与空间解析几何（数一）

一、知识网络图

二、重点考核点

这部分的重点是：

①向量概念与向量的各种运算，特别是它们的计算与应用． ②求直线与平面方程的方法，判断平面、直线间相互关系的方法．

§1 向量代数

向量的加（减）与数乘向量．

向量的数量积（又称点积，内积）：

定义：两向量,a b 的数量积?是一个数，且||||cos a b a b θ=? ，其中θ是与的夹

角．坐标表示：若＝{a 1，a 2，a 3}，={b 1，b 2，b 3}，

曲面与曲线概念及表示法

二次曲面的标准方程及其图形

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 63 则·=a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3．

特征性质：a ⊥b ?a ·b =0，即a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 = 0

主要应用： ①判定两向量垂直； ②求两向量、两直线、两平面以及直线与平面间的夹角； ③建立平面的点法式方程． 向量的向量积（又称叉积，外积）： 定义：两向量,a b 的向量积×是一个向量，其模θsin ||||||=×，其中θ是与的夹角，又×同时与和都垂直且、、×构成右手系．

坐标表示：若a ＝{a 1，a 2，a 3}，b ={b 1，b 2，b 3}，则 a ×b =3

2

1321b b b a a a k j i 特征性质：//0a b a b ?×= ． 主要应用：

①判定两向量平行；

②求平行四边形面积，求点到直线的距离；

③求两平面交线的方向向量，化直线的一般方程为标准方程．

向量的混合积：

定义：三向量a ，b ，c 的混合积［a ，b ，c ］是一个数，且［a ，b ，c ］＝（a ×）·．

坐标表示：若a ＝{a 1，a 2，a 3}，b ={b 1，b 2，b 3}，c ＝｛c 1，c 2，c 3｝则

［a ，b ，c ］=321

32

1321

c c c b b b a a a 特征性质：a ，b ，c 共面?［a ，b ，c ］= 0

主要应用：

①判定三向量或四个点共面，建立平面方程；

②求平行六面体的体积，求点到平面或两条异面直线间的距离；

③建立异面直线公垂线的方程．

【例1】设（a ×b ）·c ＝2，则［（a ＋b ）×（b ＋c ）］·（c ＋a ）＝________．

【解】

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64 【例2】||a ＝2，||b ＝2，a ·b =2，则||b a ×＝________．

【解】

【例3】指出下列等式成立的充要条件，并证明：

（1）||||b a b a ?=+；

（2）＋与?共线，其中，0b ≠ ．

【证明】（1）||||b a b a ?=+?（＋）·（＋）＝（?）·（?）?222222a a b b a a b b ++=?+??? a ·b = 0 ? a ⊥b （2）a ＋b 与b a ?平行?（a ＋b ）×（b a ?）＝θ?b ×a －a ×b ＝θ?a ×b ＝θ ? a 与b 平行．

§2 平面与直线

【例1】过直线L 1：

130211??=?=?z y x 且平行于直线L 2：1

1122z y x =?=+的平面方程是________．

【解】

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65 【例2】过点(1,2,1)?且与直线??

????=?=+?=1432t z t y t x 垂直的平面方程是________．

【解】

【例3】设直线L 为???=+??=+++0

31020123z y x z y x ，平面Π为4x －2y + z －2 = 0，则（ ）．

（A ）L ∥Π （B ）L 在Π上 （C ）L ⊥Π （D ）L 与Π斜交

【分析】

【例4】已知直线Ｌ在平面Π：x + y + z －1 = 0上，并且与直线??

???=+?=+=t z t y t x L 110垂直相交，

求L 的方程．

【分析与解法】1）将L 0的参数方程代入平面Π的方程，得

（t + 1）+（－t + 1）+ t －1 = 0，t = －1 ?Ｌ0与Π的交点Ｍ0（0，2，－1），它就是Ｌ与Π的交点． 2）L 0的方向向量0l ＝（1，－1，1），平面Π的法向量n ＝（1，1，1），Ｌ的方向向量l ∥n × 0l ×n 0l 111(2,02)//(1,0,1)111

i j k

==???

3）L 即是过Ｍ0以l 为方向向量的直线

1

1021?+=?=z y x 另解 若用两面式更简单．过Ｍ0与Ｌ0垂直的平面是

(2)(1)0x y z ??++=，即x －y + z + 3＝0

L 为交线??

?=?++=++?0103z y x z y x

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66§3 曲面方程

【例1】 求①直线Ｌ：1

1111??==?z y x 在平面Π：x －y + 2z －1＝0上的投影Ｌ0的方程．②直线Ｌ0绕y 轴旋转一周而成的曲面方程．

【分析与求解】①求Ｌ0即求过Ｌ与平面Π垂直的平面Π1与Π的交线．

平面Π1由点0(1,0,1)M 及与之平行的向量(1,1,1)l =? 与(1,1,2)n =? 所确定．方程为

0211

11

111=????z y

x 即 x －3y －2z + 1 = 0 L 0的方程为?

???=??=+?12312z y x z y x ②为求Ｌ0绕y 轴旋转的旋转面方程，先把Ｌ0的交面式方程化为以y 为参数的方程．

????????===)1(212y z y y y x 按参数式表示的旋转面方程得????

??????+==?+=θθsin ))1(21()2(cos ))1(21()2(2222y y z y y y y x

消去θ得 2222)1(4

14y y z x ?+=+ 即 2224174210x y z y +++?= 【评注】转参数来旋曲面用方程描述是方便的．

求一条直线Ｌ绕某坐标轴旋转产生的旋转面方程，如绕y 轴，先将Ｌ写成以y 为参数的方程．

?????+==+=d cy z y

y b ay x 旋转面的参数方程???????+==+=θ

θsin )()(cos )()(2222y z y x z y y y z y x x 消去θ得旋转面方程

2222()()x z ay b cy d +=+++

【例2】求直线Ｌ：1,x y z ==绕z 轴旋转一周所生成的旋转面方程．

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67 【解】直线Ｌ的参数方程是?????===z z z y x 1，旋转面的参数方程是???

????=+=+=z z z y z x θθsin 1cos 122

消去θ得旋转面方程 x 2 + y 2 = 1 + z 2

§4 空间曲线在坐标面上的投影曲线

【例1】求曲线C ：???=++=++1

1222z y x z y x 在xy 平面上的投影曲线的方程．

【解】投影曲线的方程是

???==??++0

1)1(222z y x y x

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68第七讲 常微分方程

一、知识网络图

二、重点考核点

①掌握方程类型的判别，根据类型选择合适的方法求解方程，会利用初值条件定出任意常数。

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 69 ②掌握列方程的常用方法．根据题意，分析条件，搞清问题所涉及的物理或几何意义，结合其他相关的知识和掌握的方法列出方程和初条件．

③一、二阶线性方程解的性质．

④对数三还要求差分方程，其重点是求解一阶线性差分方程与简单的经济应用． （注意，全微分方程的求解放在多元积分学部分介绍）

§1 微分方程的有关基本概念

微分方程：含有自变量，未知函数以及未知函数的导数（或微分）的函数方程，称为微分方程．当方程中的未知函数是一元函数时，称为常微分方程．

微分方程的阶：出现在微分方程中的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶．

设x 为自变量,()y y x =为未知函数，则n 阶微分方程的一般形式为

F （x ，y ，(),,,n y y y

′′′ ）= 0， 且在方程中)(n y 一定要出现．

微分方程的解：若把已知函数及其导数或微分代入微分方程后能使其成为恒等式，则称该函数为这个微分方程的一个解．含有与方程阶数相同个数的独立任意常数的解，称为微分方程的通解；不含任意常数的解称为微分方程的特解．

为了确定微分方程的特解，需要给出方程中未知函数应满足的附加条件，这种条件称为定解条件，通常给出的是未知函数及其若干阶导数在某点处的值，称为初始条件． 例如：对方程F （x ，y ，(),,,n y y y ′′′ ）= 0，初始条件可设为

，，，

，，10)1(201000)()()()(??==′′=′=n n y x y y x y y x y y x y

其中x 0，y 0，y 1，y 2，…，y n －1都是给定的常数．

求微分方程满足初始条件的特解的问题称为初值问题． §2 一阶微分方程的解法

（1）变量可分离方程

变量可分离方程的常见形式是

)()(d d y g x f x y =， 若()0g y ≠，方程可改写为x x f y g y d )()(d =， 求积分即得通解∫∫

=x x f y g y d )()(d ． 若存在y 0使g （y 0）=0，直接验算可知常值函数y = y 0也是原方程的一个解．

更一般的变量可分离方程是0d )()(d )()(=+y y Q x N x y P x M ．

当0)()(≠y P x N 时，经分离变量，方程可改写成

0d )()(d )()(=+x x N x M y y P y Q ，于是，积分可得通解∫∫=+C x x N x M y y P y Q d )

()(d )()(．

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 70若0y 是函数()P y 的一个零点，则0y y =也是方程的一个解．如果不限定自变量是x ，未知函数是y ，且x 0是函数()N x 的一个零点，则常值函数0x x =也是方程的一个解．在求解变量可分离的方程时，注意不要遗漏了这类常值函数解．如果在积分所得的通解表达式里，未知函数包含在对数中，应尽可能通过恒等变形把未知函数从对数中“解脱”出来．

（2）齐次微分方程

齐次微分方程的标准形式是)(d d x

y f x y =， 作变换,ux y x y u =?=由于d y = u d x +x d u ，代入方程可得u u f x

u x u f x u x u ?=?=+)(d d )(d d ，这是关于u 与x 的可分离变量方程．当()0f u u ?≠时，分离变量并积分可得ln ()du x C f u u

=+?∫. 把u 换回y x ，即得原方程的通解.同样,若存在0u u =是()0f u u ?=的根，则0y u x =也是原方程的一个解．

（3）一阶线性微分方程

一阶线性方程的标准形式是)()(x Q y x P y =+′，其中()P x 与()Q x 是已知函数．当()0Q x ≡时，称为一阶齐次线性方程，否则称为一阶非齐次线性方程．一阶线性方程的通解为()d ()d ()d e e ()e d p x x p x x p x x y C Q x x ??∫∫∫=+∫．

注意，通解公式中的第一项∫?x x p C d )(e

是对应齐次线性方程0)(=+′y x P y 的通解，通解公式中的第二项()d ()e ()e d p x x p x dx Q x x ?∫∫∫

是非齐次线性方程的一个特解．一阶线性方程通解的这种结构是所有线性微分方程通解的共同特点．

除了直接用上述通解公式求解外，还可用积分因子法求解．即用函数∫

x x p d )(e （称为方程的积分因子）同乘方程两端，按乘积的导数公式有 ()d ()d (e )()e p x x p x x y Q x ∫

∫′=，两端再积分一次，移项后就得出了通解公式．

【例1】已知函数()y x 在任意点x 处的增量α++Δ=Δ2

1x x y y ，且当0→Δx 时，α是比x Δ较高阶的无穷小，(0)y π=，则(1)y =（ ）

（A ）2π． （B ）π． （C ）4πe ． （D ）4ππe ．

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71 【例2】设函数()y x 连续，求解方程：∫=+x

x x y s s y 02)(2

1d )(． 【解】实质上()y x 可导．求导得 x x y x y 2)(2

1)(=′+又原方程中令x = 0得y （0）=0． 求解初值问题 ??

?==+′0)0(42y x y y 两边乘x x 2d 2e e ==∫μ，得 x x x y 22e 4)e (=′ 积分得C x C x x y x x x x +?=+=∫2222e e 2d e 4e

由(0)01y C =?=.x e x y 212?+?=

【例3】设函数()f x 在[)1,+∞连续，

且满足 ∫?=x f x f x t t f 122)]1()([31d )(．求函数()f x ． 【解】实质上()f x 可导，求导得)]()(2[3

1)(22x f x x xf x f ′+=原方程中令x = 1， 得0 = 0自然成立，不必另加条件.求解方程y x xy y ′+=2223（其中()y f x =）得

()y f x ==常数为?+C Cx

x ，13． §3 二阶常系数线性微分方程及其解法

二阶常系数线性微分方程的标准形式为)(x f by y a y =+′+′′，其中a ，b 是已知常数，右端项()f x 是已知函数．当()0f x ≡时，方程称为齐次的，否则，方程称为非齐次的． 引入记号by y a y y L +′+′′=][，则方程)(][)(x f y L x f by y a y ==+′+′′可写成． 二阶常系数线性微分方程的解满足叠加原理：若y 1是方程11[]()L y f x =的一个解，y 2是方程22[]()L y f x =的一个解，A ，B 是两个常数，则Ay 1 + By 2就是方程12[]()()L y Af x Bf x =+的一个解．

二阶常系数线性微分方程通解结构定理：方程[]()L y f x =的通解是

y = C 1 y 1 + C 2y 2 + y *．

其中y 1和y 2是对应齐次方程L [y ] = 0两个线性无关的解，即L [y 1]≡0和L [y 2]≡0，且不存在常数k 使得y 1≡ky 2，y *是非齐次方程的一个解，即[]()L y f x ?=，而C 1，C 2是两个任意常数．

（1）齐次方程两个线性无关解的求法：二次方程02=++b a λλ称为二阶常数系线性微分方

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 72程)(x f by y a y =+′+′′的特征方程，它的两个根12,λλ称为特征根．按照特征根的不同情况，可得齐次方程0=+′+′′b y a y 两个线性无关的解，如下表．

特征根

线性无关二解 实根21λλ≠

x x ，21e e λλ 实根21λλ=

x x x 11e ，e λλ 复根)0＞(ββαi ± cos ,sin x x e x e x ααββ

（2）非齐次方程一个特解的求法：当()f x 是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和与乘积时，可根据()f x 的形式选取适当形式的特解，然后代入非齐次方程并确定特解中的待定系数，即可求得所需的一个特解．若rx

m e x P x f )()(=，其中()m P x 是一个x 的m 次多项式，r 是一个实数，则可按照下表选取特解：(其中()m Q x 是系数待定的m 次多项式) ()f x r 与特征根1λ，2λ的关系

特解y *的形式 rx m x P e )( r ≠1λ，r ≠2λ

rx m x Q e )( rx m x P e )( r =1λ，r ≠2λ

rx m x xQ e )( rx m x P e )( r =1λ，r =2λ

rx m x Q x e )(2 若非齐次项()()m f x P x =，只需把它看成rx m x P x f e )()(=，且r = 0的特殊情形即可．若

)sin cos (e )(x N x M x f rx ωω+=，其中Ｍ，Ｎ，r ，ω都是实数，且ω＞0．特解的取法如下表：（其中A ，B 是两个待定的常数）

()f x ωi r ±与特征值的关系

特解y *的形式 )sin cos (e x N x M rx ωω+ωi r ±不是特征根

)sin cos (e x B x A rx ωω+ )sin cos (e x N x M rx ωω+ ωi r ±是特征根 )

sin cos (e x B x A x rx ωω+ 若非齐次项()cos sin f x M x N x ωω=+，只需把它看成是)sin cos (e )(x N x M x f rx ωω+=，

且r = 0的特殊情形即可．另外，无论系数Ｍ与Ｎ中是否有等于零的，在特解y *中仍应当假设包含两个待定系数A 与B ．

【例1】设线性无关的函数y 1，y 2，y 3都是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+′+′′的解,其中()p x ,()q x , ()f x 是连续的，且C 1和C 2是任意常数，则此方程的通解是y =（ ）．

（A ）C 1y 1 + C 2y 2+y 3． （B ）C 1y 1 + C 2y 2－（C 1 + C 2）y 3．

（C ）C 1y 1 + C 2y 2－（1－C 1－C 2）y 3． （D ）C 1y 1 + C 2y 2 +（1－C 1－C 2）y 3．

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73【例2】设x c by y a y e =+′+′′有一个特解为x x x y e )1(e

2++=，求常数a ，b ，c 的值及

此方程的通解．

【例3】微分方程x x y y sin 12++=+′′的特解形式可设为

（A ）y * = ax 2 + bx + c + x （A sinx + Bcosx ）．

（B ）y * = x （ax 2 + bx + c + A sinx + Bcosx ）．

（C ）y * = ax 2 + bx + c + Asinx ．

（D ）y * = ax 2 + bx + c + Acosx ．

【例4】设∫??=x

dt t f t x x x f 0)()(sin )(，其中()f x 连续．求()f x ．

【分析与求解】1）化为求解常微分方程的初值问题，事实上()f x 可导．先将方程写成 ∫∫+?=x x dt t tf dt t x

x x f 00)()(sin )( ① 两边求导得

∫+??=′x x xf x xf dt t f x x f 0)()()(cos )(

即 t t f x x f x

d )(cos )(0∫?=′ ②

在①式中令x = 0得(0)0f = ③ 求解①转化为求解② + ③

再将②求导得)(sin )(x f x x f ??=′′ ④ 在②中令x = 0得1)0(=′f ⑤ 求解② + ③又转化为求解④ + ③ + ⑤

2）求解初值问题．

令()y f x =，求解①转化为求解二阶线性常系数方程的初值问题：

?

??=′=?=+′′1)0(，0)0(sin y y x y y 特征方程012=+λ，特征根λ＝±i ，相应齐次方程的通解

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 74 y =1c cos x +2c sin x 再求原非齐次方程的如下特解(cos sin )y x A x B x ?

=+ 记y ＝A cos x + B sin x ，

于是y *＝x y ，且无论系数A ，B 取何值，其中的函数y ＝A cos x + B sin x 都满足对应的齐次方程．计算可得

，2)(，)(**y y x y y y x y ′+′′=′′+′=′?y y y y x y y ′=′++′′=+′′22)()(**．

代入方程就有 x x B x A y sin )cos sin (22?=+?=′，

由此可得02

1==

B A 于是原方程的通解为x x x c x c y cos 21sin cos 21++= 由初条件(0)0y =,121(0)102y c c ′== ,=定出．因此求得x x x x f y cos 21sin 21)(+== §4 某些高阶微分方程

§5 应用问题

一、利用定积分的几何意义列方程

【例1】设()y f x =是第一象限内连接()()0,1,1,0A B 的一段连续曲线，(,)M x y 为该曲线上任意一点，C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点，若梯形OCMA 的面积与曲边三角

形CBM 的面积之和为3

163+x ，求()f x 的表达式． 【分析与求解】（见右图）

1）列方程，定附加条件，按题意

[]3111()()263

x x x f x f t dt ++=+∫ ① 并有

(0)1f = ②

(1)0f = ③

2）转化，将①求导并化简得

])10((1)(1)(，x x

x x f x x f ∈?=?′ ④ 在①中令x = 1?(1)0f =与③一致．

3）求解④并满足②与③．

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 75解一阶线方程④并定常数得2()(1)f x x =? （0≤x ≤1）．

【例2】设函数()f x 区间［1，+ ∞］上连续，由曲线()y f x =与直线x = 1，x = t （t ＞1）及x 轴围成的平面图形绕x 轴旋一周所得旋转体的体积为)]1()([3

π)(2f t f t t V ?=

求： （1）()y f x =所满足的微分方程; （2）该微分方程满足条件9

22==x y 的解． 【解】（1）()V t 的积分表达式是

21()()d t V t f x x π=∫，按题意得221()d [()(1)]3t f x x t f t f ππ=?∫ 如同§2例3,()f t 满足此积分方程等价于()f t 满足微分方程)]()(2[31)(22t f t t tf t f ′+=

（2）将t 换成x ，记()y f x =，解y x xy y ′+=223 得通解31Cx x y +=

，由初值92)2(=y 得C = 1，于是31x

x y +=． 【例3】（数一，数二）设曲线()r r θ=上任意点为(,)M r θ，一个定点为0(2,0)M ，由此曲线与极径0OM ，OM 围成的曲边扇形的面积等于两点0M 与M 间弧长的一半，求此曲线的方程．

【分析与求解】1）首先用极坐标写出曲边扇形的

面积与弧长表达式．

见右图．极径0OM ，OM 与曲线()r r θ=围成的

曲边扇形面积∫=θθθθ0

2d )(21)(r S 0M ，M 间的弧长∫′+=θ

θθθθ022d )()()(r r s

2）按题意列方程并给出初值.)(21)(θθs S =

即22200()d ()()d r r r θθθθθθθ′=+∫∫还有(0)2r = 3）转化 将方程求导，原问题转化为求解

?????=

′

+=2

)0()()()(222r r r r θθθ? ?????=?±=′2)0(1)()()(2r r r r θθθ 4）求解初值问题

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 76 这是变量可分离的方程．用变量分离法求出通解C r +±=?θ1arcsin

由62)0(π

?=?=c r ．于是求得)6

πsin(1θ±=r 即 23=±y x ． 二、利用导数的几何意义列方程

【例4】设曲线Ｌ位于Oxy 平面的第一象限内，过Ｌ上任意一点M 处的切线与y 轴总相交，交点记作A ，且长度OA AM =．又Ｌ过点2

3

,23(，求Ｌ的方程． 【分析与求解】设Ｌ的方程为y = y （x ）

．由Ｌ上?点Ｍ（x ，y ）处的切线方程为 ))(()(x X x y x y Y ?′+=令Ｘ = 0得A 点坐标为．x y x x ，y ))()(0(′?由得AM OA =

2222)(y x x y x y ′+=′?化简得 y

x x y y 22?=?′ 初条件 23)23(=y 解初值问题???????=?=?′23

)2

3(22y y x x y y 这是齐次方程（也是伯努利方程）．解得)3(，322x x y x y x ?=

?=+（0＜x ＜3） 三、利用导数的经济意义列方程（数三，数四）

【例5】某商品的需求量Q 对价格的弹性为33p ?=η，市场对该商品的最大需求量为1（万件），求需求函数．

【解】设需求函数为()Q p ，需求弹性即p Q Q p d d ，按题意得p

Q Q p d d = －3p 3，(0)1Q = 这是可分离变量的方程，用分离变量法求得通解，再由初值定常数，最后得3e

p Q ?=．

四、利用变化率满足的条件列方程 【例6】设在一人群中推广某种新技术是通过其中已掌握技术的人进行的．已知该人群的总数为Ｎ，在t = 0时刻，已掌握新技术的人数为x 0，在时刻t ，已掌握新技术的人数为()x t （设()x t 是连续可微的），其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术的人数之积成正比，且比例常数k ＞0，求变量()x t ．

【解】t 时刻已掌握新技术人数为()x t ，它的变化率即

t x d d ，按题意：

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770d (),(0)d x kx N x x x t =?=这是可分离变量的，求出通解后定常数，得000e e Nkt Nkt

Nx x N x x =?+ 五、利用牛顿第二定律列方程（数一，数二）

【例7】从船上向海里沉放某种探测仪器时，需要确定仪器下沉深度y （从海平面算起）与下沉速度v 的函数关系．设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力与浮力的作用．设仪器的质量为m ，体积为B ，海水比重为ρ，仪器所受的阴力与下沉速度成正比，比例系数为k （k ＞0）．试建立y 与v 所满足的微分方程，并求出函数关系式()y y v =．

【分析与求解】建立坐标系：沉放点为原点0，Oy 轴正向铅直向下．

1）仪器受力：重力mg ，阻力t

y k d d ?，浮力－B ρ．按牛顿第二定律列方程 22d d d d y y m mg k B t t

ρ=??初条件 0)0(，0)0(=′=y y 2）转化：为求()y y v =，将方程改写．22d d d d d d d d y y v v v v v t y t

=== 于是方程化为d ,d y mv H kv H mg Bg v =??记即d d y mv v H kv =?相应的初值0)(0

==v v y 3）求解 直接积分并由初值定常数得2ln m mH H y v k H kv k =?

+? 六、利用微元法列方程（数一，数二）

【例8】要设计一形状为旋转体的水泥桥墩，桥墩高为h ，上底面直径为2a ，要求桥墩在任一水平截而上所受上部桥墩的平均压强为一常数p ，设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．

【分析与求解】首先建立坐标系，如图所示，x 轴为桥墩中心轴，y 轴为水平轴，设桥墩侧面的曲线方程为()y y x =，下面列方程并给初条件，然后求解．

【方法1】用微元法

任取[,][0,]x x x h +Δ?所对应桥墩的小薄片．

下层压力－上层压力＝薄片的重量

222π()π()()p y x p y x x y x x ρπ?+Δ≈Δ

2()()[()()]()y x x y x p y x x y x y x x

ρ+Δ??+Δ+≈Δ 令0→Δx 得 )(d d )

(22x y x y x py ρ=?

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78即 y p

x y 2d d ρ?=初条件 ()y h a = 解一阶线性齐次方程的初值问题??

???==+a h y y p x y )(02d d ρ

得 )(2e h x p a y ??=ρ

【方法2】用积分法

基本关系式 x 截面处所受压力＝顶面压力＋该截面上方桥

墩的重量t t y a p x y p h

x d )(ππ)(π222∫+=ρ 这是变限积分方程．

将上式求导，在上式中令x = h ，分别得?????=?=a

h y y x y py )(d d 22ρ其余同方法1． §6 一阶常系数线性差分方程及其解法（数学三）

一阶常系数线性差分方程标准形式为 1()t t y ay f t ++=,其中t = 0，1，2，…，常数a ≠0，已知函数()f t 当 t = 0，1，2，…时有定义．如果当t = 0，1，2，…时有()0f t ≡，则称方程为一阶常系数齐次线性差分方程，否则，称为一阶常系数非齐次线性差分方程．

可以证明一阶常系数线性差分方程的通解与一阶线性微分方程有相同的结构，即一阶常系数线性差分方程1()t t y ay f t ++=的通解可表示为()(0,1,2,,),t t t y C a y t ?

=?+=

其中C 是一个任意常数，y t *是非次齐次差分方程1()t t y ay f t ++=的一个特解．

注意，在上述非齐次方程通解的表达式中，()c t t y C a =?是对应齐次差分方程10t t y ay ++=的通解.代入方程不难验证这一结论．

当()f t 是多项式，指数函数，正弦函数，余弦函数以及它们的和差或乘积时，常用待定系数法求非齐次差分方程1()t t y ay f t ++=的一个特解.与二阶常系数微分方程类似，仍分为两大类来讨论：

（1）若()()t m f t P t d =

，其中()m P t 是t 的m 次多项式，常数d ≠0．非齐次项()()m f t P t =可看成d = 1的特例．

这时非齐次差分方程1()t t t m y ay P t d ++=的一个特解的取法如下表：（其中()m Q t 是待定系数的m 次多项式）

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79()f t d 与系数a 的关系

特解y t *的形式 ()t m P t d a + d ≠0

()t m Q t d ()t m P t d a + d = 0 ()t m tQ t d

（2）若()f t = Mc os ωt +Ｎsi n ωt ，其中Ｍ，Ｎ，ω是常数，且0＜ω＜2π，ω≠π．这时总可以取函数y t * =Ac os ωt + B si n ωt 为非齐次方程的一个特解，其中A ，B 是待定常数． 【例1】差分方程2y t + 1 + 10y t －5t = 0的通解为________．

【解】写成标准形式t y y t t 2

551=

++（a = 5，d = 1，a + d ≠0）特解形式：y t *＝At + B 代入方程得72

5，125，25)6(6，25)(5)1(?===++=++++B A t B A At t B At B t A 通解为 )61(125)5(?+?=t c y t t 【例2】差分方程y y + 1－y t = t 2t 的通解为________．

【解】a =－1，()f t = t 2t ，d = 2，a + d ≠0特解形式y t *

=（At + B ）2t ，代入方程得 1((1))2()22,2t t t A t B At B t At A B t +++?+=++=?A = 1，B =－2 即y t *＝（t －2）2t 因此，通解为 (2)2t

t y c t =+? 【例3】差分方程y t + 1－2y t = 3t 2

πcos

的通解为________． 【解】2

π=?，特解y t *＝t B t A 2πsin 2πcos +，代入方程得 t t B t A t B t A 2

πcos 32πsin 22πcos 2)2π2πsin()2π2πcos(=??+++ t t B A t A B 2πcos 32πsin )2(2πcos )2(=+???B －2A = 3，A + 2B = 0?5

6?=A ，53=B ．?通解为)2πsin 2πcos 2(532t t c y t t +?+= 【例4】设某人于某年年底在银行存款a 元，其年利率是r ，且按复利计算利息，又该存款人从存款满一年起每年年底均取出固定数额为b 元的部分存款，求该存款人每年年底在银行存款余额的变化规律．

【解】设y t 是存款t （t = 0，1，2…）年整时该存款人的存款余额，于是可得

11(1)(1)t t t t y r y b y r y b ++=+???+=?，且y 0 = a .注意，方程的通解是 r b r C y t t ++=)1(．

万学·海文春季基础班讲义－高等数学 80 利用初值r

b C a y +

==0可确定常数C ＝r b a ?，故该存款人每年年底在银行存款余额的变化服从如下规律： )2，1，0()1)(( =++?=t r

b r r b a y t t ．

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81第八讲 多元函数微分学

一、知识网络图

二、重点考核点

这部分的重点是：

①偏导数、全微分的计算，尤其是求复合函数的二阶偏导数（包括带函数记号的复合函数，隐函数，变量替换下方程的变形及初等函数等）．

②多元函数的简单极值与条件极值问题特别是有关的应用题（几何、物理与经济上的应用题）．

③几何应用（求曲面的切平面和法线，空间曲线的切线和法平面）（只对数一） ④求方向导数和梯度（只对数一）．

⑤可微性概念．

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82§1 多元函数微分学中的基本概念及其联系

由于多元初等函数的偏导数仍然是多元初等函数，从而这些偏导数还可以继续求偏导数，这样就能够逐阶求得多元初等函数的高阶偏导数．

)，(，)，(y x f y x f yx xy

′′′′这样的对不同变量求得的高阶偏导数称为混合偏导数．可以证明：若偏导函数)，(y x f xy ′′和)，(y x f yx

′′都在点（x 0，y 0）处连续，则必有00(,)xy f x y ′′=00(,)yx f x y ′′．这种性质称为混合偏导数与求导的次序无关，它成立的条件是这些混合偏导数连续．对一般的n （n ≥2）元函数的m （m ≥2）阶连续混合偏导数相应的结果也成立．

【例1】函数??

???=≠+=)0，0()，(0)0，0()，()，(22y x y x y

x xy y x f 则(,)f x y 在(0,0)处 （A ）连续，偏导数存在 （B ）连续，偏导数不存在

（C ）不连续，偏导数存在 （D ）不连续，偏导数不存在

B y o

Δ+()

B y o y =Δ+Δ

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