一元二次方程导学案(2)

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄 认识一元二次方程导学案 学习目标

1. 知道一元二次方程的定义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 ( ≠0) 2. 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识。

3. 会用试验的方法估计一元二次方程的解。 【重点难点】：

1.一元二次方程的意义及一般形式，会正确识别一般式中的“项”及“系数”。 2. 理解用试验的方法估计一元二次方程的解的合理性。 教学过程 一、情境引入：

(1)正方形桌面的面积是2m ，求它的边长? 解：设正方形桌面的边长是xm， 根据题意，得

(2)矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。如果花圃的面积是24m2，求花圃的长和宽?

解：设花圃的宽是 xm则花圃 的长是(19-2x)m

根据题意，得x(19-2x)=24 整理的

(3)我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册，平均每年增长的百分率是多少?

解：设平均每年增长的百分率是x 根据题意，得

整理，得

(4)长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。

解：设梯子滑动的距离是X米。根据勾股定理，滑动前梯子的顶端离地面4米，则滑动后梯子的顶端离地面(4-X)米，梯子的底端与墙的距离是(3+X)米。

根据题意得 整理。得 二、探究学习： 1.

像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程(quadratic equation in one unknown)

2.看谁眼力好:下列方程中那些是二元一次方程。

3.一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以化为 的形式,我们把 (a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式。

4.现学现用：指出下列方程的二次项、一次项和常数项及它们的系数： 5.典型例题

[例1] 将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数：

(1) (2) 6.巩固练习

把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项

三、归纳总结：

1、只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式为 ( ≠0)，一元二次方程的项及系数

都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的。

3、在实际问题转化为数学模型( 一元二次方程 ) 的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性

4.1一元二次方程 【课后作业】 班级 姓名 学号

1、若 是关于 的一元二次方程，求p的取值范围 2、下列方程中哪些是一元二次方程?试说明理由。 (1) (2) (3) (4)

2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) (2)(x-2)(x+3)=8 (3)

3、方程(2a—4)x —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程?在什么条件下此方程为一元一次方程

4、已知关于x的一元二次方程(m-1)x +3x-5m+4=0有一根为2，求m。 5、 是关于x的一元二次方程，求m的值。 教学反思：

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

认识一元二次方程导学案

学习目标：

1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念；知道一元二次方程的一般形式；

3、会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。 一、探究新知

【例1】小明把一张边长为10cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子，如果要求长方体的底面积为81cm ,那么剪去的正方形的边长是多少？

设剪去的正方形的边长为xcm，你能列出满足条件的方程吗？你是如何建立方程模型的？ 合作交流

动手实验一下，并与同桌交流你的做法和想法。 列出的方程是 . 二、自主学习

【做一做】根据题意列出方程：

1、一个正方形的面积的2倍等于50，这个正方形的边长是多少？ 2、一个数比另一个数大3，且这两个数之积为这个数，求这个数。

3、一块面积是150cm 长方形铁片，它的长比宽多5cm,则铁片的长是多少？

观察上述四个方程结构特征，类比一元一次方程的定义，自己试着归纳出一元二次方程的定义。 【我学会了】

1、只含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程，叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式： ,其中 二次项， 是一次项， 是常数项， 二次项系数 ， 一次项系数。 展示反馈

【挑战自我】判断下列方程是否为一元二次方程。

【例2】 将下列一元二次方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项、一次项和常数项及它们的系数。 （1） （2） 【挑战自我】

1、将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

（1）3x2－x=2； （2）7x－3=2x2;

（3）(2x－1)－3x(x－2)=0 （4）2x(x－1)=3(x＋5)－4. 2、判断下列方程后面所给出的数，那些是方程的解； （1） ±1 ±2； （2） ±2， ±4

3、要使 是一元二次方程，则k=_______.

4、已知关于x的一元二次方程 有一个解是0，求m的值。 1、已知关于x的方程 。问

（1）当k为何值时，方程为一元二次方程？ （2）当k为何值时，方程为一元一次方程？ 归纳小结

1、本节课我们学习了哪些知识？ 2、学习过程中用了哪些数学方法？

3、确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？ 作业：

课本第19页习题23.1第1、2、3题。

课后反思：

一元二次方程的解法（一）导学案

教学目标

1.会用直接开平方法解形如 （a≠0,a ≥0）的方程； 2.灵活应用直接开平方法解一元二次方程。 3.使学生了解转化的思想在解方程中的应用。 研讨过程 一、复习导学 1.什么叫做平方根? 2.平方根有哪些性质？ 二、探索新知 试一试：

解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流。 （1）x2=4 （2）x2-1=0 解（1）∵x是4的平方根 ∴x＝

即原方程的根为： x1= ，x2 = （2）移向，得x2=1 ∵ x是1的平方根 ∴x=

即原方程的根为： x1= ，x2 = 概括总结：

就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或 （a≠0,a ≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解的过程，叫做直接开平方法解一元二次方程。

如：已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（ ）

A.n=0 B.m、n异号 C.n是m的整数倍 D.m、n同号 例1解下列方程

（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0

解：（1）移项，得x2= （2）移项，得4x2= ∵x是 的平方根 两边都除以4，得 ∴x= ∵x是 的平方根 即原方程的根为： x1= ，x2 = ∴x= 即原方程的根为： x1= ，x2 = 例2解下列方程：

⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 练一练： 1.解下列方程：

（1）x2-0.81=0 （2）9x2=4 2.解下列方程：

（1）（x+2）2 =3 （2）（2x+3）2-5=0 （3）（2x-1）2 =（3-x）2

4、一个正方形的面积是100cm2， 求这正方形的边长是多少？ 1. 能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点

2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明。 课后反思：

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

一元二次方程的解法（二）导学案

教学目标

1、 会用直接开平方法解形如 （a≠0,a ≥0）的方程； 2、 灵活应用因式分解法解一元二次方程。

3、 使学生了解转化的思想在解方程中的应用，渗透换远方法。 研讨过程 一 、 复习练习：

1、 什么是直接开平方法？请举例说明。 2、 你能解以下方程吗？

（1）8－x2= —1 （2)3y2—18=0 （3) x(x-1)+4x=0 （4）—3x2 —27=0 二、例题讲解与练习 你是怎样解方程 的？

解：1、直接开平方，得x+1= 所以原方程的解是x1＝ ，x2＝ 2、原方程可变形为

方程左边分解因式，得（x+1+16） =0 即可（x+17） =0 所以x＋17=0， =0 原方程的蟹 x1＝ ，x2＝ 练习： 解下列方程

（1）（x＋1）2－4＝0； （2）12（2－x）2－9＝0. （3）（x＋2）2－16＝0； （4）(x－1)2－18＝0； （5）(1－3x)2＝1； （6）(2x＋3)2－25＝0. 三、读一读

小张和小林一起解方程 x（3x＋2）－6(3x＋2)＝0. 小张将方程左边分解因式，得 (3x＋2)(x－6)＝0,

所以 3x＋2＝0,或x－6＝0. 方程的两个解为 x1＝ ， x2＝6. 小林的解法是这样的：

移项，得 x(3x＋2)＝6(3x＋2), 方程两边都除以（3x+2），得 x＝6.

小林说:“我的方法多简便！”可另一个解x1＝ 哪里去了？ 小林的解法对吗？你能解开这个谜吗？ 四、讨论、探索：解下列方程

（1）(x+2)2=3(x+2) （2）2y(y-3)=9-3y （3）( x-2)2 -x+2 =0

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

实际问题与一元二次方程（2）导学案

学习目标

掌握增长率（或降低率）问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率（或降低率）问题

学习重、难点

重点：利用增长率（或降低率）问题中的数量关系，列出方程解决问题 难点：理清增长率（或降低率）问题中的数量关系 一：以旧引新 探究新知

1、 某厂今年1月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则二月份总产量为100

×（1+20℅）吨；三月份总产量为100× 吨。四月份总产量为100×＿＿＿＿＿吨。如果平均每月降低10％，那么二月份总产量为100×（1-10℅）吨,三月份总产量为100×________吨，四月份总产量为100×________吨。

2、某厂今年1月份的总产量为 吨，设平均每月增长率是x ，则：二月份总产量为_ __________吨；三月份总产量为 吨，四月份的总产量为_____________吨。

归纳：如果原有量为 ，ｘ是增长（或降低）率，ｎ为增长（或降低）的次数， ｂ为增长（或降低）后的量。则：

平均增长率： （ ） = b 平均降低率： （ ） =b 二：应用规律 理解新知

两年前生产1吨 甲种药品的成本是 5000 元 , 生产 1吨 乙种药品的成本是 6000元 , 随着生 产技术的进步 , 现在生产 1吨 甲种药品的成本是3000元 , 生产 1吨乙种药品的成本是 3600元 , 哪种药品成本的年平均下降率较

大 ?（精确到0.001）

问题1：，若设甲种药品成本的年平均下降率为x ，请填下表 两年前1吨 一年后甲种 两年后甲种 根据题意列出一元二次甲种药品成本 药品成本 药品成本 方程 甲种药品 ① 问题2：请解出①，得 ； 。

问题3：对问题2的结果你还有什么见解吗？

问题4：如何求出乙种药品的年平均下降率，请同学们独立完成，并比较两种药品哪个的年平均下降率大。

问题5：你能求出甲乙两种药品成本的年平均下降额各是多少吗？成本下降额较大的药品，它的成本下降率也一定较大吗？怎样全面的比较几个对象的变化状况。 三：当堂练习 巩固新知

1、某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本81是万元。则这种药品成本的年平均下降率是多少？

2、 青山村种的水稻2001年平均每公顷产8000千克，2003年平均每公顷产9680千克，则

水稻每公顷产量的年平均增长率是多少？

3、 某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐年上升，第一季度

共生产化工原料60万吨，设二三月份平均增长的百分率相同均为 ，可列出方程为__________________

四：总结反思 升华新知

1、列一元二次方程解应用题的步骤___________________________________。 2、本节应掌握的问题是

______________________________________。

五：达标检测 实践新知 1、填空题

（1）某农户的粮食产量平均每年的增长率为 ，第一年的产量为6万千克，第二年的产量为_______万千克，第三年的产量为__________万千克，三年的总产量为__________万千克 。

（2）某糖厂2002年产量为 吨，如果在以后两年平均增长的百分率为 ,那么2004年的产量将是_________________吨。

2、某电视机厂计划用两年时间把某种型号电视机的成本降低36%，若每年下降的百分数相同，这个百分数是多少？

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

学习目标

1、了解形如（x＋m）2= n（n≥0）的一元二次方程的解法 —— 直接开平方法 2、会用直接开平方法解一元二次方程

学习重点：会用直接开平方法解一元二次方程

学习难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系 教学过程

一、情境引入：

1. 我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?

如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。用式子表示：若x2=a，则x叫做a的平方根。记作x= ，即x= 或x= 。 如：9的平方根是±3， 的平方根是 平方根有下列性质：

(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的； (2)零的平方根是零； (3)负数没有平方根。

2如何解方程（1）x2=4，（2）x2-2=0呢? 二、探究学习： 1．尝试：

（1）根据平方根的意义， x是4的平方根，∴x＝±2 即此一元二次方程的解（或根）为： x1=2，x2 =－2 （2）移项，得x2=2

根据平方根的意义， x就是2的平方根，∴x= 即此一元二次方程的解（或根）为： x1= ，x2 =

一元二次方程的解法导学案

2．概括总结． 什么叫直接开平方法？

像解x2=4，x2-2=0这样，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。

说明：运用“直接开平方法”解一元二次方程的过程，就是把方程化为形如x2=a（a≥0）或（x+h）2=k（k≥0）的形式，然后再根据平方根的意义求解 3.概念巩固：

已知一元二次方程mx2+n=0(m≠0),若方程可以用直接开平方法求解，且有两个实数根，则m、n必须满足的条件是（ ）

A.n=0 B.m、n异号 C.n是m的整数倍 D.m、n同号 4.典型例题： 例1解下列方程

（1）x2-1.21=0 （2）4x2-1=0

解：（1）移向，得x2=1.21 （2）移向，得4x2=1 ∵x是1.21的平方根 两边都除以4，得x2= ∴x=±1.1 ∵x是 的平方根 即 x1=1.1，x2=-1.1 ∴x= 即x1= ，x2= 例2解下列方程：

⑴ （x＋1）2= 2 ⑵ （x－1）2－4 = 0 ⑶ 12（3－2x）2－3 = 0

分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解；第2小题先将－4移到方程的右边，再同第1小题一样地解；第3小题先将－3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可。

解：（1）∵x+1是2的平方根 ∴x+1=

即x1=-1+ ，x2=-1- （2）移项，得（x-1）2=4 ∵x-1是4的平方根 ∴x-1=±2 即x1=3，x2=-1

(3)移项，得12（3-2x）2=3 两边都除以12，得（3-2x）2=0.25 ∵3-2x是0.25的平方根 ∴3-2x=±0.5

即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 ∴x1= ，x2=

例3解方程(2x－1)2=(x－2)2

分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解 解：2x-1= 即2x-1=±（x-2）

∴2x-1=x-2或2x-1=-x+2 即x1=-1，x2=1

5.探究：（1）能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？

如果一个一元二次方程具有（x＋h）2= k（k≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。

（2）用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根的概念求解

(3)任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明 6.巩固练习：

（1）下列解方程的过程中，正确的是（ ） ①x2=-2,解方程，得x=± ②(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4

③4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1= ;x2= ④(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4 （2）解下列方程：

①x2=16 ②x2-0.81=0 ③9x2=4 ④y2-144=0 （3）解下列方程：

①（x-1）2=4 ②（x+2）2=3 ③（x-4）2-25=0 ④（2x+3）2-5=0 ⑤（2x-1）2=（3-x）2

（4）一个球的表面积是100 cm2，求这个球的半径。（球的表面积s=4 R2，其中R是球半径）

三、归纳总结：

1、不等关系在日常生活中普遍存在. 2、用不等号表示不等关系的式子叫做不等式. 3、列不等式表示不等关系. 4.2一元二次方程的解法（ 1） 【课后作业】

1、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条件是（ ）

A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o 2、方程（1-x）2=2的根是（ ）

A.-1、3 B.1、-3 C.1- 、1+ D. -1、 +1 3、解下例方程

（1）36－x2＝0； (2)4x2=9 （3）3x2－ ＝0 (4)(2x+1)2-3=0

(5)81(x-2)2=16 ； (6)(2x－1)2=(x－2)2 (7) =0(a≥0) (8)(ax+c)2=d(a≠0,d≥0)

4.便民商店1月份的利润是2500元，3月份的利润为3025元，这两个月利润的平均月增长的百分率是多少？

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

一元二次方程的解法 导学案

一、学习目标

1、 了解形如（x?m)2?n(n?0)的一元二次方程的解法 2、 会用直接开平方法解一元二次

3、 在直接开平方法解一元二次方程的过程中，体会转化的思想。 重点：会用直接开平方法解一元二次方程

难点：理解直接开平方法与平方根的定义的关系 二、知识准备

1、如果x?a那么x叫做a的______,记作________; 2、如果x?4,那么记作________;

3、3的平方根是 ；0的平方根是 ；-4的平方根 。 三、学习内容

问题1、如何解方程：x?2?0？

（使学生注意直接开平方法的实质和操作过程）

问题2、比较用直接开平方法解方程和求一个非负数的平方根的差异。 例题教学：

例1、解下例方程

1、x?4?0 2、4x?1?0

提出问题：你是怎么解一元二次方程的？每一步的依据是什么？你有什么经验能与大家交流一下吗？

例2、解方程：(x?1)?2

分析：第1小题中只要将（x＋1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解； 课堂练习： 解下例方程：

22

1、（x－1）－4 = 0 2、12（3－x）－3 = 0

222222 提出问题：通过这几个小题你有什么收获？

2

（如果一个一元二次方程具有（x＋m）= n（n≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解。（用直接开平方法解一元二次方程就是将一元二次方程的左边化为一个完全平方式，右

边化为常数，且要养成检验的习惯）

四、知识梳理

问题1：用直接开平方法解一元二次方程的主要步骤是什么？

问题2：任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明

五、达标检测

达标检测一

1、用直接开平方法解方程（x＋h）2=k ，方程必须满足的条件是（ ）

A．k≥o B．h≥o C．hk＞o D．k＜o 2、方程（1-x）2=2的根是（ ）

A.-1、3 B.1、-3 C.1-2、1+2 D.2-1、2+1 3、下列解方程的过程中，正确的是（ ）

(1)x2=-2,解方程，得x=±2 (2)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 (3)4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)= ±3, x1=

71;x2= 44(4)(2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4

4、解下例方程

(1)4x2=9 (2)3(2x+1)2=12

达标检测二

1、解下例方程： （1）（2）45－x2＝0； （2）12y2－25＝0；

（3）16x2－25＝0. （4） 4x2－1＝0

2、解下例方程

(1)81(x-2)2=16 ； (2)(2x+1)2=25；

24、 一个球的表面积是100? cm,求这个球的半径。（球的表面积 S?4?R2,其中R是

球的半径）

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

一元二次方程的解法——配方法1导学案

一、学习目标

1、 会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程

2、 经历探究将一般一元二次方程化成（x?m)2?n(n?0)形式的过程，进一步理解配方法的意义

3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想。

重点：使学生掌握配方法，解一元二次方程

2

难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）= n（n≥0）形式 二、知识准备

1、 请说出完全平方公式。

2 2

（a＋b）= （a-b）= 2、 用直接开平方法解下例方程：

（1）(x?3)2?5 （2）(x?5)2?4?13 3、思考如何解下例方程

（1）x?4x?4?16 （2）x?10x?25?4?13

（通过设计富有启发性的问题，激发学生的学习兴趣，同时也渗透了类比的思想） 三、学习过程

问题1、请你思考方程(x?3)2?5与x?6x?4?0 有什么关系，如何解方程

222x2?6x?4?0呢？

学生尝试解答

2问题2、能否将方程x?6x?4?0转化为（x?m)?n的形式呢？

2x2?6x?4?0

先将常数项移到方程的右边，得

2

x＋6x = －4

2

即 x＋2·x·3 = －4

2

在方程的两边加上一次项系数6的一半的平方，即3后，得

22 2

x＋2·x·3 ＋3= －4＋3

2

（x＋3）= 5 解这个方程，得 x＋3 = ±5

所以 x1 = ―3＋5 x2 = ―5

由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为（x＋m）= n的形式（其中m、n都是常数），如果n≥0，再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方程的方法叫做配

2

方法。 例题教学 解下例方程

（1）x－4x＋3＝0. （2）x＋3x－1 = 0

1、学生先解方程，然后讨论：在配方时方程两边同时加上的常数究竟是如何确定的？ 2、引导学生通过探究，讨论，结合完全平方公式的形式，理解配方的关键，同时注意解题格式的规范性和检验的必要性。 3、学生自学“数学实验室”

通过自学P86-P87理解为什么在配方过程中，方程的两边总是加上一次项系数一半的平方？ 四、知识梳理

问题1：配方法解一元二次方程的作用是什么？配方法时要注意什么？ 问题2、配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？

达标检测一

1、填空：

（1）x2+6x+ =(x+ )2；(2)x2-2x+ =(x- )2； (3)x2-5x+ =(x- )2；(4)x2+x+ =(x+ )2； (5)x2+px+ =(x+ )2；

2、将方程x2+2x-3=0化为(x+m)2=n的形式为 ；

3、用配方法解方程x2+4x-2=0时，第一步是 ，第二步是 ，第三步是 ，解是 。

达标检测二

1、用配方法解一元二次方程x2+8x+7=0，则方程可变形为（ ） A.(x-4)2=9 B.(x+4)2=9 C.(x-8)2=16 D.(x+8)2=57

22

526 )=的形式，则q的值为（ ） 242519196A. B. C. D. - 44442、、已知方程x2-5x+q=0可以配方成(x-3、、已知方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p )2=7的形式，那么q的值是（ ） A.9 B.7 C.2 D.-2 4、、用配方法解下列方程：

（1）x2-4x=5； （2）x2-100x-101=0； （3）x2+8x+9=0； （4）y2+22y-4=0； 5、试用配方法证明：代数式x2+3x-

315的值不小于-。 24

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

一元二次方程的解法——配方法2导学案

一、知识目标

1、 会用配方法二次项系数不为1的一元二次方程

2、 经历探究将一般一元二次方程化成（x?m)2?n(n?0)形式的过程，进一步理解配方法的意义

3、 在用配方法解方程的过程中，体会转化的思想

重点：使学生掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 难点：把一元二次方程转化为的（x＋m）2= n（n≥0）形式

二、知识准备

1、用配方法解下列方程：

(1)x2-6x-16=0； (2)x2+3x-2=0； 2、请你思考方程x2-

5x+1=0与方程2x2-5x+2=0有什么关系？ 2

三、学习内容

问题1、如何解方程2x2-5x+2=0？

对于二次项系数不为1的一元二次议程，如何用配方法求解？ 引导学生交流思考与探索

（对于二次项系数不为1的一元二次议程，我们可以先将两边同时除以二次项系数，再利用配方法求解）

问题2、对于二次项系数是负数的一元二次方程，如何用配方法求解？

例题教学： 解下例方程：

3x2?8x?1?0 -3x2?4x?1?0

思维拓展

如何用配方法解4.1节“花园围栏问题”中的方程-2x?19?20

2

四、知识梳理

问题1：对于二次项系数不为1的一元二次方程，用配方法求解时要注意什么？ 问题2、：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 系数化一，移项，配方，开方，解一元二次方程

达标检测一

1、填空：

(1)x2-

1x+ =(x- )2, (2)2x2-3x+ =2(x- )2. 32、用配方法解一元二次方程2x2-5x-8=0的步骤中第一步是 。 3、方程2(x+4)2-10=0的根是 . 4、用配方法解方程2x2-4x+3=0，配方正确的是（ ）

A.2x2-4x+4=3+4 B. 2x2-4x+4=-3+4

C.x2-2x+1=

33+1 D. x2-2x+1=-+1 2225、用配方法解下列方程：

（1）2t?7t?4?0； （2）3x?1?6x

达标检测二

1、用配方法解下列方程，配方错误的是（ ） A.x2+2x-99=0化为(x+1)2=100 B.t2-7t-4=0化为(t-27265)= 24210C.x2+8x+9=0化为(x+4)2=25 D.3x2-4x-2=0化为(x-)2=

392、a2+b2+2a-4b+5=(a+ )2+(b- )2

2、用配方法解下列方程：

(1)2x2+1=3x； (2)3y2-y-2=0； 3、试用配方法证明：2x2-x+3的值不小于

23. 8

4、已知(a+b)2=17，ab=3.求(a-b)2的值.

5、一个小球竖直上抛的过程中,它离上抛点的距离h(m)与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系:h=24t-5t2.经过多少时间,小球离上抛点的高度是16m

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

一元二次方程的解法——公式法导学案

一、知识目标

1、 会用公式法解一元二次方程

2、体验用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，明确运用公式求根的前提条件是b2－4ac≥0

3、在公式的推导过程中培养学生的符号感

重点：掌握一元二次方程的求根公式，并应用它熟练地解一元二次方程

难点：求根公式的结构比较复杂，不易记忆；系数和常数为负数时，代入求根公式常出符号错误

二、知识准备

1、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？ 2、 用配方法解下例方程

（1）2x?7x?2?0 （2）2x?4x?5?0

三、学习内容

2

问题1：如何解一般形式的一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）？

回顾用配方法解数字系数的一元二次方程的过程，让学生分组讨论交流，达成共识：

2因为a?0，方程两边都除以a，得 x?22bcx??0 aabc2移项，得 x?x??

aabbcb2?x?()2???()2 配方，得 x?2?2a2aa2ab2b2?4ac)?即 (x? 2a4a2问题2、为什么在得出求根公式时有限制条件b2－4ac≥0？

b2?4ac当b?4ac?0，且a?0时，大于等于零吗？ 24a222让学生思考、分析，发表意见，得出结论：当b?4ac?0时，因为a?0，所以4a?0，

b2?4ac?0 从而

4a2到此，你能得出什么结论？

让学生讨论、交流，从中得出结论，当b?4ac?0时，一般形式的一元二次方程

2bb2?4ac?b?b2?4ac，即x?。 ??ax?bx?c?0(a?0)的根为x?2a2a2a2由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)的求根公式：

?b?b2?4ac2 （b?4ac?0） x?2a这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法。

例题教学

例 6 解下列方程：

2 2

⑴ x＋3x＋2 = 0⑵ 2 x－7x = 4

分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。 四、知识梳理 引导学生总结：

1、用公式法解一元二次方程时要注意什么？

2、任何一个一元二次方程都能用公式法求解吗？举例说明。

3、若解一个一元二次方程时，b2－4ac＜0，请说明这个方程解的情况。

五、达标检测

达标检测一

1、把方程4-x2=3x化为ax2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b2-4ac= . 2、方程x2+x-1=0的根是 。 3、用公式法解方程2x2+43x=22,其中求的b2-4ac的值是（ ） A.16 B. ?4 C.

32 D.64

4、用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac= ，方程的根是 .。 5、用公式法解方程3x2+4=12x，下列代入公式正确的是（ ） A.x1.2=

12?144?12?12?144?12 B. x1.2=

2212?144?1212?144?48 D. x1.2=

26C. x1.2=

达标检测二

22

1、把方程(2x-1)(x+3)=x+1化为ax + bx + c = 0的形式，b2-4ac= ，方程的根是 .

22、方程x?4x?0的解为 ．

3、方程(x-1)(x-3)=2的根是（ ） A. x1=1,x2=3

B.x=2?23 C.x=2?3 D.x=-2?23

4、已知y=x-2x-3，当x= 时，y的值是-3 5、用公式法解下列方程：

（1）x2-2x-8=0； （2）x2+2x-4=0；

（3）2x2-3x-2=0； （4）3x(3x-2)+1=0.

4、 已知等腰三角形的底边长为9，腰是方程x?10x?24?0的一个根，求这个三角形的

周长。

22

班级：九 科目：数学 教研组长审核： 姓名：杨智雄

一元二次方程的根的判别式导学案

一、学习目标

1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用 2、能用b2－4ac的值判别一元二次方程根的情况

3、在理解根的判别式的过程中，体会严密的思维过程 重点：一元二次方程根与系数的关系

难点：由一元二次方程的根的情况求方程中字母系数的取值 二、知识准备

1、 一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）当b?4ac?0时，X1,2 = 2、 解下例方程：

（1）x2 -4x+4=0 （2）2x2 -3x -4=0 (3) x2+3x+5=0

三、学习内容 1、情境创设

1、引导学生思考：不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？

222

⑴ x＋2x－8 = 0 ⑵ x = 4x－4 ⑶ x－3x = －3 2、探索活动

1、一元二次方程根的情况与一元二次方程中二次项系数、一次项系数及常数项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情况呢？

例 解下列方程：

⑴ x＋x－1 = 0 ⑵ x－23x＋3 = 0 ⑶ 2x－2x＋1 = 0

2

2

2

2

2分析：本题三个方程的解法都是用公式法来解，由公式法解一元二次方程的过程中先2

求出b－4ac的值可以发现它的符号决定着方程的解。 3、 你能得出什么结论？

22

由此可以发现一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）的根的情况可由b－4ac来判定：

2

当b－4ac＞0时，方程有

2

当b－4ac = 0时，方程有

2

当b－4ac ＜ 0时，方程

22

我们把b－4ac叫做一元二次方程ax＋bx＋c = 0（a≠0）的根的判别式。 4、若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到的值的符号呢？

2

当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b－4ac

2

当一元二次方程有两个相等的实数根时， b－4ac

2

当一元二次方程没有实数根时，b－4ac

例题教学

不解方程，判断下列方程根的情况：

1、2x?x?6?0； 2、x?4x?2； 3、4x?1??3x

222四、知识梳理

请同学们议一议一元二次方程根与系数的关系

五、达标检测

达标检测一

1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 . 2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（ ）

A.有两个不等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 3下列方程中，没有实数根的方程式（ ）

A.x2=9 B.4x2=3(4x-1) C.x(x+1)=1 D.2y2+6y+7=0

4、方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么总成立的式子是（ ） A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac＜0 C. b2-4ac≤0 D. b2-4ac≥0

5、如果方程9x2-(k+6)x+k+1=0有两个相等的实数根，那么k= .

达标检测二

1、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（ ）

A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 2、关于x的一元二次方程 的根的情况是( )

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3、关于x的方程x2+2kx+1=0有两个不相等的实数根，则k( )

A.k＞-1 B.k≥-1 C.k＞1 D.k≥0

4、已知方程x2-mx+n=0有两个相等的实数根，那么符合条件的一组m，n的值可以是m= ,n= .

5、若方程kx?6x?1?0有实数根，则k的范围是_____________________。

6、若关于x的一元二次方程mx?2x?1?0有两个相等的实数根，则m?___________。 7、不解方程，判断下列方程根的情况：

（1） 3x2－x＋1 = 3x （2）5（x2＋1）= 7x （3）3x2－43x =－4 8、当k为何值时，关于x的方程kx2－（2k＋1）x＋k＋3 = 0有两个不相等的实数根？

22

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