《等腰三角形的判定》练习

篇一：等腰三角形经典练习题[1]

等腰三角形练习

知识梳理

说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义 2、利用定理。

知识点4：等腰三角形的推论

1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点5： 等腰三角形中常用的辅助线

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 一、知识点回顾 等腰三角形的性质：

△ABC中，AB=AC．点D在BC边上

（1）∵AB=AC， ∴∠_____=∠______；（即性质1）

（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2） （3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）

（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2） 等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C ∴_____=_____． 二、基础题

第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．

第2题. 在△ABC中， ∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（） A．2

B．3

C．4

D．5

第3题. 如图1，△MNP中， ∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）

B

知识点1：等腰三角形的性质定理1

（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） （2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）

（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。 知识点2：等腰三角形性质定理2

（1） 文字语言：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线， 底边上的高，互相重合（简称“三线合一”） （2）符号语言：

∵AB=AC，∠1=∠2 ∵AB=AC，AD⊥BC ∵AB=AC，BD=DC ∴AD⊥BC，BD=DC ∴∠1=∠2，BD=DC∴∠1=∠2，AD⊥BC （3）定理的作用：可证明角相等，线段相等或垂直。

说明：在等腰三角形中经常添加辅助线，虽然“顶角的平分线，底边上的高、底边上的中线互相

重合，如何添加要根据具体情况来定，作时只作一条，再根据性质得出另两条”。 知识3：等腰三角形的判定定理

（1）文字语言：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写为“等角对

等边”）

（2）符号语言：在△ABC中,∵∠B=∠C ∴AB=AC （3）证明：过A作AD⊥BC于D，则∠ADB=∠ADC=90°。在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD （AAS） ∴AB=AC

（4）定理的作用：等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。

M

A

Q B Q P 图图2

C

B D E C 图3 图4

G N

A．

8+2

a

B

．8+aC．6+aD．6+2a

第4题. 如图2，O是△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E点，若

BC=10cm，那么△ODE的周长为（ ）

A．8cm

B．9cm

C．10cm

D．11cm

第5题. 如图3，已知: P，Q是△ABC边上BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数． 第6题. 等腰三角形底边中点与一腰的距离为6，则腰上的高为______．

第7题. 如图4，DE是线段BC垂直平分线上两点，连DB、DC、EB、EC，则∠DBC与∠DCB的关系是________，∠DBE与∠DCE的关系是________．

第8题. 等腰三角形底角的外角比顶角的外角大30°，则这个三角形各内角度数是________． 第9题. 等腰三角形有一个角是50°，那么其他两个角的度数是____________． 第10题. 如图5，AB=AC，FD⊥BC于D，DE⊥AB于E，若∠AFD=145°，则∠EDF=______．A

A

F 图E 图6

B D

C

B

D C 第11题. 如图6，,ABC是等腰三角形，D为BC上一点，DE∥AB且交AC于E，请判断△EDC是什么三角形?

并说明理由．

第12题. 如图7，已知AE平分∠DAC，AE

∥BC，那么AB=AC吗?请简要说明理由．

A

P E 图图P 图9

B C

B

C

M Q N

第13题. 如图8，PQ为Rt△MPN斜边上的高， ∠M=45°，则图中等腰三角形的个数是（ ） A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

第14题. 等腰三角形的两边长为3和6，则这个三角形的周长为（ ）

A．9

B．12 C．15 D．12或1

第15题. 如图9，在△ABC中，AB=AC， ∠A=50°，P是△ABC内一点， ∠PCB=∠PCA，且∠PBC=∠PBA，则∠BPC度数为（ ） A．115°

B．100°

C．130° D．140°

第16题. 下列命题正确的个数是（ ）

①如果等腰三角形内一点到底边两端点的距离相等，那么过这点与顶点的直线必垂直于底边;②如果把等腰三角形的底边向两个方向延长相等的线段，那么延长线段的两个端点与顶点距离相等;③等腰三角形底边中线上一点到两腰的距离相等;④等腰三角形高上一点到底边的两端点距离相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第17题. 等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ） A．42° B．60° C． 36°

D． 46°

第18题. 等边三角形两条角平分线所夹锐角的度数是（ ） A．120°

B． 150° C．60° D．90°

第19题. 如图10，∠ABC中，AD⊥BC，AB=AC， ∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（ ） A．10° B．12．5° C．15° D． 20°

A

图10

图11

图12

E B

C

B

D

C

第20题. 如图11，△ABC中，点D在AC上，且AB=AD， ∠ABC=∠C+30°，则∠CBD等于（ ）

A．15° B． 18° C． 20° D． 22.5°

第21题. 已知:如图12，AB=AC，BD⊥AC，请探索∠DBC与∠A的关系并说明理由．

第22题. 如果一个三角形的一条边上的中点到其他两边的距离相等，那么它一定是（ ）

A．等边三角形 B．等腰三角形 C．不等边三角形

D．不等腰钝角三角形

第23题. 如下图，在△ABC中，AB=AC， ∠A=36°，BD、CE分别 E

是∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等腰三角形的个数为（ ） A．12 B．10 C．9

D．8

B 第24题. 一个等腰三角形的一个内角为90°，那么这个等腰三角形的一个底角为（C

）

A．90° B． 45° C． 50° D． 22.5°

第25题. 等腰三角形的两条边长分别为15cm和7cm，则它的周长为（ ） A．37cm

B．29cm

C．37cm或29cm

D．无法确定 第26题. △ABC中，∠ACB=90°，DE是AB的

垂直平分线，且∠BAD∶∠CAB=1∶3，则∠B等于_______度． 第27题. 已知Rt△ABC是轴对称图形，且∠C＝90°， 那么∠B＝_____度，∠A＝______度；点A的对应点是______， 点C的对应点是_______．

A E

B

第28题. 在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线相交于点P，则第29题. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是BC且满足AD＝AE=BD=CE，则图中与∠B相等的角有________个角，

分别是________________________． 图中全等的三角形有________________________________

第30题. 已知线段a，b（a>2b），以a、b为边作等腰三角形，则（ ） A．只能作以a为底边的等腰三角形

B．只能作以b为底边的等腰三角形 C．可以作分别以a、b为底的等腰三角形 D．不能作符合条件的等腰三角形AD

B第31题. 如图，在△ABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥

AC，则△PDE的周长是___________ cm.

第32题如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断（ ）

A．等腰三角形B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状

二、解答题

1．如图，已知AB=AC，E、D分别在AB、AC上，BD与CE交于点F，?且∠ABD=?∠ACE，

求证：BF=CF．

A

ED

F

B

D2．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC 于F交BC于E，?

B

求证：△DBE是等腰三角形． E

A

FC

3. 如图, 已知：点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,AD=AE.求证：BD=CE

4. 如图：△ABC中,AB=AC,PB=PC．求证：AD⊥BC

5. 已知：如图,BE和CF是△ABC的高线,BE=CF,H是CF、BE的交点．求证：HB=HC

6．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC交BC?于点D，?求证：?BC=3AD. A

7．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE?都是等边三角形．BDBE交AC于FC，AD交CE于H，①求证：△BCE≌△ACD；②求证：CF=CH；③判断△CFH?的形状并说明理由．

A

B

D

8.已知:如图，△BDE是等边三角形，A在BE延长线上，C在BD的延长线上，且AD=AC。求证：DE+DC=AE。

9. 如图,△ABC中,D在BC延长线上,且AC=CD,CE是△ACD的中线,CF平分∠ACB,交AB于F,求证:(1)CE⊥CF;(2)CF∥AD.

三、探究题

A

1．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D 满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：连接CE）

D

B

2．如图，AF是△ABC的角平分线，BD⊥AF交AF的延长线于D，DE∥AC?交AB于E， 求证：AE=BE．

EB

3．如图，△ABC中，∠C=2∠B，∠1=∠2 ，试说明：AB=AC+CD ．

4. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。

E

篇二：等腰三角形性质与判断练习题

等腰三角形的判定与性质练习题

1、已知：BE平分∠ABC，DE∥BC 求证：DE=DB

B

C

2、已知：AE∥BC ,AE平分∠DAC 求证：AB=AC

E

3、已知：EF∥BC， AB平分∠EAD，

AC平分∠FAD， 求证：BD=DC

D

4、已知：DE∥BC， BF平分∠ABC，

CF平分∠ACB， 求证：DE=BD+CE A

B

C

5、已知：MF∥BC， BF平分∠ABD，

CF平分∠ACD， 求证：①MB=MF A

②NC=NF

③MN=MB-NC

BD

6、已知：BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，

DE∥AB，DF∥AC

求证：△DEF的周长=BC

B

7、已知：AB=AC，DE⊥BC, 求证：DA=FA

B

8、已知：AF=AE，AB=AC,

D为BC的中点

求证：AD∥EF

9、已知：△ABC中，BA=BE, CA=CD,

∠BAC=130°.

求：①∠DAE的度数 （答案25°）

②探究∠DAE与∠B、∠C的关系

B

10、已知：△ABC中，BF垂直平分AE,

CG垂直平分AD,∠BAC=100°. 求：∠DAE的度数

E

B

C

11、已知：AB=AC,AD=AE, ∠CDE=32°， 求：∠BAD的度数

B

C

C

12、已知：如图，△ABC是等腰直角三角形，

AC=BC，AD⊥DE，BE⊥DE。

判断DE、AD、BE有怎样的关系， 13、已知：△ABD和△CED都是等腰直

角三角形。

判断AC、BE有怎样的关系，请 请证明你的结论

①

②

③

证明你的结论 ①

②

③

A

A

A

14、已知：△ABC和△DCE都是等边角三角形。 15、已知：C在BE上，△ABC和△CED

判断BD、AE有怎样的关系，请证明你的结论 都是等边三角形。 ① 求证：①BD=AE ②图中有几对全等三角形

③∠BPE= 度

④连结MN,则MN∥

BE ⑤连接PC，则PC平②

③

分∠BPC

篇三：等腰三角形练习题及答案

等腰三角形典型例题练习

一．选择题（共2小题）

1．如图，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=5cm，BD=3cm，则点D到AB的距离为（ ）

2．如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为边并且在AB的同一侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交CD于M，连接BD交CE于N．给出以下三个结论：

①AE=BD

②CN=CM

③MN∥AB

其中正确结论的个数是（ ）

二．填空题（共1小题）

3．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，则△DEF的面积与△ABC的面积之比等于 _________ ． 1

三．解答题（共15小题）

4．在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°，求证DE=DF．

5．在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请说明DE=BD+EC．

6．＞已知：如图，D是△ABC的BC边上的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF．请判断△ABC是什么三角形？并说明理由．

2

7．如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．

（1）∠E等于多少度？

（2）△DBE是什么三角形？为什么？

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，∠A=30°．求证：AB=4BD．

9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC的延长线上，且BD=CE，DE与BC相交于点F．求证：DF=EF．

10．已知等腰直角三角形ABC，BC是斜边．∠B的角平分线交AC于D，过C作CE与BD垂直且交BD延长线于E，

求证：BD=2CE．

3

11．（2012?牡丹江）如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下： 如图①，连接AP．

∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，

∴S△ABP=AB?PE，S△ACP=AC?PF，S△ABC=AB?CH．

又∵S△ABP+S△ACP=S△ABC， ∴AB?PE+AC?PF=AB?CH．

∵AB=AC，

∴PE+PF=CH．

（1）如图②，P为BC延长线上的点时，其它条件不变，PE、PF、CH又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：

（2）填空：若∠A=30°，△ABC的面积为49，点P在直线BC上，且P到直线AC的距离为PF，当PF=3时，则AB边上的高CH= _________ ．点P到AB边的距离PE= _________ ．

12．数学课上，李老师出示了如下的题目：

4

“在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED=EC，如图，试确定线段AE与DB的大小关系，并说明理由”．

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：

（1）特殊情况，探索结论

当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE _________ DB（填“＞”，“＜”或“=”）．理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为1，AE=2，求CD的长（请你直接写出结果）．

13．已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF于点E，点D在AF上，ED=EA，点P在CF上，连接PB交AF于点M．若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．

5

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