函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)

函数中因动点产生的相似三角形问题

例题 如图1，已知抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B。

⑴求抛物线的解析式；（用顶．点．式．求得抛物线的解析式为

1y??x2?x）

4⑵若点C在抛物线的对称轴上，点D在抛物线上，且以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形，求D点的坐标；

⑶连接OA、AB，如图2，在x轴下方的抛物线上是否存在点P，使得△OBP与△OAB相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。

分析:1.当给出四边形的两个顶点时应以两个顶点的连线为四边形的边．．．．．．．和对角线来考虑问题以O、C、D、B四点为顶点的四边形为平行四边形要分类讨论:按OB为边和对角线两种情况

- 一 -

yAOBxOyABx图1 例1题图

图2

2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径

① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边．

和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角．形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。

②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。

③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而

用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。

练习1、已知抛物线y?ax2?bx?c经过P(?53?3，，3)E?0?0)． ?2，?及原点O(0，??（1）求抛物线的解析式．（由一．般．式．得抛物线的解析式为

253y??x2?x）

33（2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC下方的抛物线上，任取一点Q，过点Q作直线QA平

- 二 -

行于y轴交x轴于A点，交直线PC于B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC．是否存在点Q，使得△OPC与△PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由．

（3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形△OPC，△PQB，△OQP，△OQA之间存在怎关系？为什么？

练习2、如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点A在x轴上，点C在y轴上，将边BC折叠，使点B落在边OA的点D处。已知折叠CE?55，且tan?EDA?34yCOPBQA样的Ex。

（1）判断△OCD与△ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线CE与x轴交点P的坐标；

（3）是否存在过点D的直线l，使直线l、直线CE与x轴所围成的三角形和直线l、直线CE与y轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存在，请说明理由。

- 三 -

y C B E O D 练习2图 A x

练习3、在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，其顶点

3)和(?3，?12)． 的横坐标为1，且过点(2，（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为．．．

y??x2?2x?3）

（2）若直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），则是否存在这样的直线l，使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D的坐标；若不存在，请说明

0)B(3，0),C(0，3) 理由；A(?1，，（3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任

x ?PCO与?ACO的大小（不必证明）意一点，试比较锐角，并写出此时点y l P的横坐标xp的取值范围．

P C

A A B y o C B x x?1 练习4图

练习3图

- 四 -

练习4 (2008广东湛江市) 如图所示，已知抛物线y?x2?1与x轴交于A、

O

B两点，与y轴交于点C．

（1）求A、B、C三点的坐标．

（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积． （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG?x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．

练习5、已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，

?ACB?9030)，C(1，0)，tan?BAC?． ，点A，C的坐标分别为A(?3，40)，C(1，0)，B（1）求过点A，B的直线的函数表达式；点A(?3，y?39x? 44(1，3)，

（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括

- 五 -

全等），并求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，如P，Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP?DQ?m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

参考答案

例题、解:⑴由题意可设抛物线的解析式为y?a(x?2)2?1 ∵抛物线过原点， ∴0?a(0?2)2?1 ∴a??1.

4A

x

O C y B 抛物线的解析式为

1y??x2?x

41y??(x?2)2?14,即

OyABx

⑵如图1,当OB为边即四边形OCDB是平∥OB, 行四边形时,CD＝

由0??1(x?2)2?1得x1?0,x2?4,

4- 六 -

C图1 D

∴B(4,0),OB＝4. ∴D点的横坐标为6

将x＝6代入y??1(x?2)2?1,得y＝－3,

4∴D(6,－3);

根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点D,使得四边形ODCB是平行四边形,此时D点的坐标为(－2,－3),

当OB为对角线即四边形OCBD是平行四边形时,D点即为A点,此时D点的坐标为(2,1)

⑶如图2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO. 若△BOP与△AOB相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO 设OP交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) ∴直线OP

的解析式为y??1x

2

OA'yABEx图2 P由?1x??1x2?x,

24得x1?0,x2?6 .∴P(6,－3)

过P作PE⊥x轴,在Rt△BEP中,BE＝2,PE＝3, ∴PB＝

13≠4.

∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO, ∴△PBO与△BAO不相似,

同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点.

- 七 -

所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP与△AOB相似.

练习1、解：（1）由已知可得：

?3a?3b?3?25353?75 解之得，a??，b?，c?0． a?b?0?332?4?c?0?因而得，抛物线的解析式为：y??2x2?5333x．

（2）存在．

设Q点的坐标为(m，n)，则n??2m2?5333m，

2533?m2?mBQPBm?33?nm?333要使△OCP∽△PBQ,?，则有，即 ??CPOC3333解之得，m1?23，m2?2．

3，2)

当m1?23时，n?2，即为Q点，所以得Q(22533?m2?mBQPBm?33?nm?333?要使△OCP∽△QBP,?，则有，即 ?OCCP3333解之得，m1?33，m2?3，当m?3时，即为P点，

- 八 -

当m1?33时，n??3，所以得Q(33，?3)．

故存在两个Q点使得△OCP与△PBQ相似．

Q点的坐标为(23，，2)(33，?3)．

（3）在Rt△OCP中，因为tan?COP?CP?OC3．所以?COP?303．

当Q点的坐标为(23，2)时，?BPQ??COP?30．

所以?OPQ??OCP??B??QAO?90．

△PQB，△OPQ，△OAQ都是直角三角形． 因此，△OPC，又在Rt△OAQ中，因为tan?QOA?QA?AO3．所以?QOA?303．

即有?POQ??QOA??QPB??COP?30． 所以△OPC∽△PQB∽△OQP∽△OQA， 又因为QP⊥OP，QA⊥OA?POQ??AOQ?30， 所以△OQA≌△OQP． 练习2

解：（1）△OCD与△ADE相似。

理由如下：

由折叠知，?CDE??B?90°，

∴?1??2?90°，?1??3?90，??2??3.

O C 3 E 1 图1

2 D A x y B 又∵?COD??DAE?90°，

∴△OCD∽△ADE。

- 九 -

（2）∵tan?EDA?则AD=4t。

y AE3?AD4，∴设AE=3t，

由勾股定理得DE=5t。

l C N M G E P D A x B ∴OC?AB?AE?EB?AE?DE?3t?5t?8t。 由（1）△OCD∽△ADE，得OC?CD， O ADDE∴8tCD?， 4t5t∴CD?10t。

在△DCE中，∵CD2?DE2?CE2，

F ∴(10t)2?(5t)2?(55)2，解得

∴OC=8，AE=3，点

t=1。

图2

C的坐标为（0，8），

点E的坐标为（10，3）， 设直线CE的解析式为y=kx+b，

1??10k?b?3，?k??，解得?∴?2

b?8，???b?8，1∴y??x?8，则点

2P的坐标为（16，0）。

（3）满足条件的直线l有2条：y=－2x+12，

y=2x－12。

- 十 -

如图2：准确画出两条直线。 练习3

解：（1）二次函数图象顶点的横坐标为1，且过点(2，3)和(?3，?12)，

?b??2a?1，?a??1，???由?4a?2b?c?3， 解得?b?2，

?c?3.?9a?3b?2??12.????此二次函数的表达式为 y??x2?2x?3．

（2）假设存在直线l:y?kx(k?0)与线段BC交于点D（不与点B，C重合），使得以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似．

在y??x2?2x?3中，令y?0，则由?x2?2x?3?0，解得x1??1，x2?3

?A(?1，，0)B(3，0)．

3)． 令x?0，得y?3．?C(0，x 设过点O的直线l交BC于点D，过点D作DE⊥x轴于点E． C l 0)，点C的坐标为(0，3)，点A的坐标为点B的坐标为(3，，0)． D (?1?AB?4，OB?OC?3，?OBC?45.

A O E B y ?BC?32?32?32．

要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC， 已有?B??B，则只需或

BOBC?BDBA.

BDBC?BOBA， ①

x?1 ②

成立．

- 十一 -

若是①，则有BD?BOBCBA?3?3292?44．

而?OBC?45，?BE?DE．

?在Rt△BDE中，由勾股定理，得

?92?2222BE?DE?2BE?BD???4????2．

解得

BE?DE?9（负值舍去）． 493?． 44?OE?OB?BE?3??39??点D的坐标为?，?．

?44?将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?3．

?满足条件的直线l的函数表达式为y?3x．

［或求出直线AC的函数表达式为y?3x?3，则与直线AC平行的直线l的函数表达式为y?3x．此时易知△BOD∽△BAC，再求出直线BC的函数表

39?达式为y??x?3．联立y?3x，y??x?3求得点D的坐标为?］ ?，?．

?44?若是②，则有BD?BOBABC?3?4?22． 32而?OBC?45，?BE?DE．

?在Rt△BDE中，由勾股定理，得BE?DE?2BE?BD?(22)2．

2222解得 ． BE?DE?2（负值舍去）

?OE?OB?BE?3?2?1．

2)． ?点D的坐标为(1，将点D的坐标代入y?kx(k?0)中，求得k?2．

∴满足条件的直线l的函数表达式为y?2x．

- 十二 -

，使得?存在直线l:y?3x或y?2x与线段BC交于点D（不与点B，C重合）

39?以B，O，D为顶点的三角形与△BAC相似，且点D的坐标分别为??，?或

?44?(1，2)．

（3）设过点C(0，，3)E(1，0)的直线y?kx?3(k?0)与该二次函数的图象交于点

P．

0)的坐标代入y?kx?3中，求得k??3． 将点E(1，?此直线的函数表达式为y??3x?3．

?3x?3)，并代入y??x2?2x?3，得x2?5x?0． 设点P的坐标为(x，解得x1?5，x2?0（不合题意，舍去）．

?x?5，y??12． ?12)． ?点P的坐标为(5，x 此时，锐角?PCO??ACO． 又二次函数的对称轴为x?1，

3)． ?点C关于对称轴对称的点C?的坐标为(2，C · C? A O E B ?当xp?5时，锐角?PCO??ACO；

x?1 P 当xp?5时，锐角?PCO??ACO；

当2?xp?5时，锐角?PCO??ACO．

练习四

解：（1）令y?0，得x2?1?0 解得x??1 令x?0，得y??1

∴ A(?1,0) B(1,0) C(0,?1)

（2）∵OA=OB=OC=1 ∴?BAC=?ACO=?BCO=45 - 十三 -

y P A o C B 图1 x

∵AP∥CB， ∴?PAB=45

过点P作PE?x轴于E，则?APE为等腰直角三角形 令OE=a，则PE=a?1 ∴P(a,a?1) ∵点P在抛物线y?x2?1上 ∴a?1?a2?1 解得a1?2，a2??1（不合题意，舍去） ∴PE=3

∴四边形ACBP的面积S=1AB?OC+1AB?PE=1?2?1?1?2?3?4

2222(3)． 假设存在

∵?PAB=?BAC =45 ∴PA?AC

∵MG?x轴于点G， ∴?MGA=?PAC =90 在Rt△AOC中，OA=OC=1 ∴AC=在Rt△PAE中，AE=PE=3 ∴AP= 设M点的横坐标为m，则M

2 32

(m,m2?1)

①点M在y轴左侧时，则m??1 (ⅰ) 当?AMG ∽?PCA时，有

AGPA=MGCA2

M y P ∵AG=?m?1，MG=m2?1即?m?1?m32?1 2

G A 解得m1??1（舍去）

2m2?（舍去）

3AGCAoC 图2 B x(ⅱ) 当?MAG ∽?PCA时有即

=MGPA

?m?1m2?1解得：m??1（舍去） m2??2 ?232- 十四 -

∴M(?2,3)

② 点M在y轴右侧时，则m?1 (ⅰ)

当?AMG ∽?PCA时有

AGPAy =MGCA

P M ∵AG=m?1，MG=m2?1 ∴

m?1m?1 解得m1??1（舍去） m2?4 ?33222A oC 图3 G B x ∴M(4,7)

39(ⅱ) 当?MAG∽?PCA时有AG=MG

CAPA即

m?1m2?1 ?232解得：m1??1（舍去） ∴M(4,15)

m2?4

∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与?PCA相似 M点的坐标为(?2,3)，(4,7)，(4,15)

39 练习5、

0)，C(1，0) 解：（1）点A(?3，?AC?4，BC?tan∠BAC?AC?3?4?3，B点坐标为(1，3) 4设过点A，B的直线的函数表达式为y?kx?b，

?0?k?(?3)?b由? 得k?3，b?9?直线AB的函数表达式为y?3x?9

y 4444?3?k?bB - 十五 -

P A O Q C 图1

D x

（2）如图1，过点B作BD?AB，交x轴于点D， 在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∠BAC?∠DAB

tABC∽ ?R△R△tADB ，

?D点为所求又tan∠ADB?tan∠ABC?4， 3?CD?BC?tan∠ADB?3?4913?13???OD?OC?CD?，?D?，0? 3444??（3）这样的m存在

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB?5如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD 则m?53?13?m254m?，解得 1393?4A y B P 如图2，当PQ?AD时，△APQ∽△ADB 则

m?133?43?13?m4，解得m?125

365Q O C 图2

D x

- 十六 -

（2）如图1，过点B作BD?AB，交x轴于点D， 在Rt△ABC和Rt△ADB中，

∠BAC?∠DAB

tABC∽ ?R△R△tADB ，

?D点为所求又tan∠ADB?tan∠ABC?4， 3?CD?BC?tan∠ADB?3?4913?13???OD?OC?CD?，?D?，0? 3444??（3）这样的m存在

在Rt△ABC中，由勾股定理得AB?5如图1，当PQ∥BD时，△APQ∽△ABD 则m?53?13?m254m?，解得 1393?4A y B P 如图2，当PQ?AD时，△APQ∽△ADB 则

m?133?43?13?m4，解得m?125

365Q O C 图2

D x

- 十六 -

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